高中数学选修4-1:几何证明选讲
几何证明选讲有助于培养学生的逻辑推理能力，在几何证明的过程中，不仅是逻辑演绎的程序，它还包含着大量的观察、探索、发现的创造性过程。本专题从复习相似图形的性质入手，证明一些反映圆与直线关系的重要定理，并通过对圆锥曲线性质的进一步探索，提高学生空间想象能力、几何直观能力和运用综合几何方法解决问题的能力。
一、内容与要求
1．复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理。
2．证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。
3．证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。
4．了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，体会平行投影；证明平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）。
5．通过观察平面截圆锥面的情境，体会下面定理：
定理：在空间中，取直线l为轴，直线l/与l相交于O点，其夹角为α，l/围绕l旋转得到以O为顶点，l/为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记β＝0），则：
（1） β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；
（2） β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；
（3） β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。
6．利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切）证明上述定理（1）情况。
7．试证明以下结果：
①在6中，一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π/；
②如果平面π与平面π/的交线为m，在5（1）中椭圆上任取一点A，该Dandelin球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e。（称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率。）
8．探索定理中（3）的证明，体会当β无限接近α时平面π的极限结果。
9．完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：
（1）知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，对数学证明的认识。
（2）拓展。通过查阅资料、独立思考，对某些内容和应用进行进一步探讨。
（3）学习本专题的感受、体会。
二、说明与建议
本专题的编写与教学，都应力求深入浅出。对内容与要求6、7的两个命题证明过程中，蕴涵着丰富的数学思想方法，它们有助于学生体会空间想象能力和几何直观能力在解决问题中的作用，有助于提高学生综合运用几何知识解决问题的能力。教学时，教师应鼓励学生独立思考，主动尝试、探索，必要时要给予适当的指导，并应鼓励学生写出课题报告，尽可能清晰地表达自己的思考过程与论证过程。
在条件允许的学校，教师可以利用现代计算机技术，动态地展现Dandelin两球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维。