一种亚像素精度的边缘检测方法

第35卷第10期2009年10月北京工业大学学报

JOURNAL OF BEI J IN G UN IV ERSIT Y OF TECHNOLO GY

Vol. 35No. 10

Oct. 2009

一种亚像素精度的边缘检测方法

孙秋成1,2, 谭庆昌1, 安　刚1, 侯跃谦1,3

(11吉林大学机械科学与工程学院, 长春　130025; 21长春工业大学基础科学学院, 长春　130000;

31长春大学机械工程学院, 长春　130000)

摘　要:提出了一种基于贝塞尔边缘模型的亚像素边缘检测算法. 入修正参数t , 并与理想边缘模型卷积, , 型进行最小二乘拟合, 在拟合过程中, 通过修正参数t , 同时考虑数字采样等因素对灰度分布的影响, . 实验中测得边缘亚像素位置的平均误差为一个像素的3%, 其中误差方差为01、精度高等要求, 并关键词:; 亚像素; 贝塞尔中图分类号:TP 41

文献标志码:A

文章编号:0254-0037(2009) 10-1332-06

　　提高CCD 测量尺寸的精度是扩大CCD 检测技术应用的关键. 围绕CCD 测量尺寸的精度, 国内外的

研究集中在2个方面:亚像素边缘检测和高精度标定. 目前研究的亚像素级的边缘检测算法, 可以归纳为3种类型:矩方法、插值法和拟合法. Tabatabai 等[1]首先提出一种利用前三阶灰度矩对边缘进行亚像素边缘定位的算法, 随后基于空间矩[2]、Zernike 正交矩[3]的方法也相继被提出. 但是, 这些方法都是针对理想边缘模型提出的. Shan 等[4]对矩方法进行了改进, 使用了模糊边缘模型, 更能真实反映边缘信息. 矩方法的优点是计算简便, 并且可以得到解析解. 但是矩方法对图像噪声敏感, 如果考虑模糊后的边缘模型, 就会增加模型参数, 使得解析解的确定变得十分困难. 插值法的核心是对像素点的灰度值或灰度值的导数进行插值, 增加信息, 以实现亚像素边缘检测. 其中, 研究比较多的方法有二次插值[5]、B 样条插值[6]和切比雪夫多项式插值等. 插值类的运算时间短, 二次插值算法简单, 可以通过硬件实现[7], 适合在线检测. 当光学系统的线扩散函数对称时, 插值边缘检测的精度较高. 插值法的特点同基于矩的方法类似, 计算过程简单, 但是容易受噪声的影响. 拟合方法是通过对假设边缘模型灰度值进行拟合来获得亚像素的边缘定位. Nalwa 等[8]给出一种边缘模型为双曲正切函数的最小二乘拟合算法; Y e 等[9]提出的算法所用的边缘模型是理想边缘模型与高斯函数卷积得到的高斯型边缘函数. 这2种算法都能提供较高的亚像素边缘定位精度. 由于拟合不需要数值微分, 而且按各灰度值到拟合曲线的距离最小进行拟合, 不但合理地利用了有误差的灰度值, 又可以减小灰度值误差的影响, 因此拟合方法对噪声不敏感. 但因模型复杂, 其求解速度慢.

本文提出一种新的亚像素精度的边缘检测算法. 该方法给出了一种可修正的贝塞尔点扩散函数, 将其与理想边缘模型进行卷积后获得可修正的贝塞尔边缘模型, 应用最小二乘估计拟合获得亚像素边缘定位. 经实验验证, 该方法获得的边缘位置具有很高的精度, 平均误差仅为一个像素的3%左右.

1　贝塞尔边缘模型

111　可修正的贝塞尔点扩散函数

　　本文主要讨论光学系统没有像差时, 点光源由于衍射的原因所形成的像斑的亮度分布. 这种情况下

收稿日期:2008203222.

基金项目:吉林省资助项目:零件尺寸在线测量设备的开发研究(20070306) .

) , 男, 吉林长春人, 博士研究生; 谭庆昌(1957—) , 男, 吉林海龙人, 教授, 博士生导师. 作者简介:孙秋成(1980—

　第10期孙秋成, 等:一种亚像素精度的边缘检测方法1333

的点扩散函数-贝塞尔点扩散函数(BPSF ) [10212]为

(2

P (x , y ) =

m

(1)

πN A (x 2+y 2) 2/λ, N A 为镜头的数值孔式中, m =2

径, λ为拍摄条件下光的波长; J 1为第一类贝塞尔函数的一阶形式. 为方便讨论, 下面分析一维的情况. 当N A 和λ的值确定后, 点扩散函数P (x ) (函数图像如图1所示) 的函数形式也是确定的. 但是, 拍摄过程中往往无法精确地获得N A 和λ的值, 再加上散焦、数字化等因素的影响, 使得P (x ) 的形式具有一定的随机性, 无法直接给出其准确的函数形式. 能使BPSF 准确地描述成像过程, x ) 中引入修正参数t , (=

1　一维点扩散函数

Fig. 1　One dimension BPSF

(M

2

(2)

式中, M =

()

λt x. P t x 经归一化后, 可得到

π2((3) P t (x ) =t

16λM

定义函数P t (x ) 为可修正的BPSF , 其中修正参数t 可通过图像数据拟合得到. 由于修正参数t 的引入, 克服了上述提到的问题, 通过t 可以对点扩散函数的曲线形状进行调节, 对点扩散函数进行修正, 可以获得准确的点扩散函数形式.

π112　可修正的贝塞尔边缘模型

尽管文献[829]中给出了多种理想的边缘模型, 考虑到传统的阶跃边缘模型(如图2) 在应用中较为常

见, 本文仅就该模型进行详细推导. 不考虑模糊作用, 一个理想阶跃边缘在一维情况下可由一个阶梯函数模拟, 即

(4)

h +k x >R

式中, f (x ) 为位于x ; h 和k 分别为灰度背景和灰度反差. 根据文献[13]中提到的图像形成过

f (x ) =

h

x ≤R

程, 应该考虑相机模糊作用. 以往的文献[9, 11]都以高斯模型作为考虑模糊的近似形式. 尽管在数学上有很多的优点, 但高斯模型仍然不能准确地模拟模糊作用[9], 因此本文提出了可修正的贝塞尔边缘函数模型(如图3) . 该模糊边缘可以看作是一个理想阶跃函数f (x ) 与可修正的BPSF 卷积的结果, 得出的函数形式为

I (x ) =h +k

λt u -R

式中, I (x ) 为在x 处的灰度; R 为边缘的位置; t 为模糊函数修正参数. 一维边缘模型可以扩展为二维形式, 即

2πI (x , y ) =h +t k

16λ

∫

x

-∞

2πP t (u -R ) d u =h +t k

16λ

∫

x

2J 1

πN 2

() t u -R

(

)

-∞

N d u (5)

λt u -y x

式中, I (x , y ) 为在(x , y ) 处像素的灰度; y (x ) 为边缘点在图像平面上的投影曲线. 如果y (x ) =R , 二维模型就简化为一维情况.

∫

y

2J 1

π2

(() ) t u -y x

(

() )

-∞

d u (6)

1334北　京　工　业　大　学　学　报2009年

图2　阶跃边缘模型

Fig. 2　Step edge

model

3　3model

2　模拟数字采样过程

CCD 是光积分器件分, . 由于CCD 的积分时间和积分面积是相对固定的, 所以它的输出灰度

[14]. 因此, 在一维图像中的每个像素的灰度值是下面积分的结果, 即

^

G (i ) =

^

∫

i +015i -015

I (x ) d x , 　-a ≤i ≤a (7)

式中, i 为像素的序号; G (i ) 为根据假设模型得到的估计灰度值; 数字窗口的大小为(2a +1) , 边缘点要保证落在数字窗里. 由以上分析可以看出, 像素的输出值是像素感光面上各部分光强综合作用的结果, 这就是方形孔径采样定理(square aperture sampling ) [15]. 一维情况的采样结果是一组离散灰度值. 同理, 在二

^

维图像中的每个像素的灰度值G (i , j ) 可表示为

^

G (i , j ) =

∫∫

i -015

i +015j +015j -015

I (x , y ) d y d x , 　-a ≤i ≤a , -b ≤i ≤b (8)

式中窗口的大小为(2a +1) ×(2b +1) . 需要注意一点, CCD 中的感光单元是由感光窗口和数字存储单元组成的. 数字存储单元虽然占用了感光单元的一部分面积, 但只负责数字存储, 没有感光效用. 为了准确模拟CCD 获得图像的过程, 感光区域的精确尺寸及其在感光单元中的位置需要考虑. 通常感光区域的面积相当于整个单元面积的1/3. 当上述信息已知后, 方形孔径采样定理中的积分区间将根据感光区域的位置和尺寸重新确定[16].

3　基于最小二乘差的边缘检测解法

本文的求解方法属于基于最小二乘法亚像素边缘检测方法的范畴. 该算法的基本思想就是通过最小化真实图像数据和模型估计数据间的误差来拟和模型参数, 最终确定边缘位置. 通常, 基于最小二乘差解法具有统计处理噪声的优点, 具有鲁棒性和准确性. 基于上述思想, 误差函数被定义(仅考虑一维情况) 为

a

Δ=

∑

-a

[G (i ) -G (i ) ]-a ≤i ≤a

～

～

2

(9)

式中, G (i ) 为从图像得到的灰度值. 选择G (i ) 中使得式(9) 最小的参数为最优的边缘参数, 那么边缘检测问题转化为多元最优化问题, 即

Δ(R , t , h , k ) (10) minimize 考虑到计算效率, 本文采用了修正牛顿法来求解该问题. 最终在一维情况得到最优的参数R , t , h , k. 显

然R 就是亚像素边缘位置, 而获得的修正参数t 的具体数值不是所需要的测量数据, 但是正是由于修正参数t 在求解过程中不断的对贝赛尔边缘模型的修正, 最终才能获得准确反映真实情况的边缘模型, 在此边缘模型下求得的亚像素边缘R 才是更精确的. 引入修正参数t 虽然增加了优化问题的求解维数, 增加

　第10期孙秋成, 等:一种亚像素精度的边缘检测方法1335

运算复杂度, 但是为了在正确边缘模型下精确求得亚像素边缘R , 引入修正参数t 是十分必要的.

4　实验结果

本文使用型号为CV -M4+CL 的CCD 对实验模板进行数据采集, 获得图像的分辨率为1376×1024. 实验用的模板如图4所示, 分别选取该模板中4个位置的边缘作为实验对象, 4个边缘位置的灰度反差k 见表1. 实验步骤如下:首先将模板固定在高精度数控车床(型号:SB/C 2TMC ) 的溜板上, 利用溜

板移动模板. 根据CCD 的分辨率和拍摄条件, 溜板的移动步长(见表1) 图4　实验模板

的, . Fig. 4　Experiment pattern

制溜板的移动, 对模板

进行拍摄, 获得30～. 然后, 应用本文方法分别计算出每幅图像中的4个边缘的亚像素位置. 其中, 移动步长为10μm 时, 检测的4组边缘位置与边缘的移动距离之间的关系(如图5所示) , 基本是线性的, 其他步长下的检测结果与此相同. 由表1数据可见, 本文提出的亚像素边缘方法的平均误差仅为1个像素的3%左右, 而且检测误差的方差很小, 表明该算法具有很高的精度. 本实验中的修正参数t 的值分布在0142左右, 说明t 对边缘模型进行修正的效果明显. 同时, 发现本算法的精度与边缘的灰度反差k 有关, 通常k 值越大, 检测精度相对越高.

表1　拟合方法实验结果

T able 1　The experimental d ata for f itting

边缘移动步长/μm 边缘序号

12

拟合直线斜率修正参数t 均值平均灰度反差误差均值/像素误差方差/10-4像素2

[***********][***********][***********]1464

[***********][***********][***********][***********]

[***********]129793453

[***********][***********][***********]901027

[***********][***********]11

10

3412

8

3412

6

34

　　本文应用经典的空间矩亚像素边缘检测算法[2]对上述相同的数据进行边缘检测, 测得亚像素边缘的

平均误差和方差, 如表2所示. 由表2的数据可见, 本文方法的检测精度要高于空间矩方法, 并且该方法在主频116、内存512的硬件条件下的单次运算时间约为2s , 基本满足图像目标的实时在线测量要求.

1336北　京　工　业　大　学　学　报2009年

图5　边缘的拟合图像

Fig. 5　Fitting of 表2　T able 2　The moment

边缘移动步长/

μm

2

/

[***********][***********][***********]501034

矩方法误差方差/

10-4像素2

[***********][***********]

本文方法误差均值/本文方法误差方差/

像素

[***********][***********][***********]901027

10-4像素2

[***********][***********]11

10

3412

8

3412

6

34

5　结束语

在对物体与背景的亮度分布和描述成像系统特性的点扩散函数进行分析的基础上, 根据成像理论研究建立含有非线性修正参数的边缘灰度分布模型. 在最小二乘拟合过程中, 根据像素点的灰度值, 用修正参数对边缘模型进行调整, 保证获得准确的边缘灰度分布, 实现高精度边缘位置检测. 实验中测得亚像素边缘的平均误差仅为一个像素的3%左右, 检测误差的方差很小, 证明本算法具有很高的边缘定位精度. 参考文献:

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A Sub 2pixel Edge Detection Algorithm

SUN Qiu 2cheng 1,2, TAN Qing 2chang 1, AN G ang 1, HOU Yue 2qian 1,3

(1. Institute of Mechanical Science and Engineering , Jilin University , Changchun 130025, China ; 2. School of Basic Science , Changchun University of Technology , Changchun 130000, China ; 3. School of Mechanical Engineering , Changchun University , Changchun 130000, China )

Abstract :A sub 2pixel edge detection algorithm based on Bessel edge model is presented. Firstly , the algorithm import a modifiable parameter to the Bessel point spread function , and convolve with step edge model to obtain the Bessel edge model. Then Least 2square curve fitting method is used to estimate the model by making use of the image edge data , simultaneously considering the effect of digitization to curve fitting. Finally , the sub 2pixel location of image edge is obtained. Experimental results indicate that the average error of sub 2pixel location is 3%of a pixel , and the variance of error is 010005. It can satisfy the system requirements of non 2contact , higher precision and stabilization , as well as strong robustness to the image noise.

K ey w ords :edge detection ; least 2square fitting ; sub 2pixel ; bessel

(责任编辑　刘　潇)