矩阵的运算
第二节 矩阵的运算
内容分布图示
★ 矩阵的加法
★ 数与矩阵的积
★ 例1 ★ 例2 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例9
★ 例8
★ 矩阵的线性运算规律 ★ 矩阵的乘法 ★ 例3 ★ 矩阵的乘法的运算规律 ★ 线性方程组的矩阵表示 ★ 转置矩阵及其运算性质 ★ 方阵的幂(例12) ★ 对称矩阵 (例14)
★ 例10 ★ 例11 ★ 方阵的行列式 ★ 例13 ★ 例15
★ 共轭矩阵 ★ 例16 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题2-2
★ 返回
内容要点:
一、矩阵的线性运算
定义1 设有两个m⨯n矩阵A=(aij)和B=(bij),矩阵A与B的和记作A+B, 规定为
⎡a11+b11⎢
a21+b21=⎢⎢ ⎢
⎣am1+bm1
a12+b12a22+b22
am2+bm2
a1n+b1n⎤
⎥
a2n+b2n
⎥. ⎥
⎥
amn+bmn⎦
A+B=(aij+bij)n⨯m
注:只有两个矩阵是同型矩阵时,才能进行矩阵的加法运算. 两个同型矩阵的和, 即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵.
设矩阵A=(aij),记
-A=(-aij),
称-A为矩阵A的负矩阵, 显然有
A+(-A)=O.
由此规定矩阵的减法为
A-B=A+(-B).
定义2 数k与矩阵A的乘积记作kA或Ak, 规定为
⎛ka11
ka21
kA=Ak=(kaij)=
ka⎝m1
ka12ka22 kam2
ka1n⎫
⎪ka2n⎪
. ⎪
⎪kamn⎪⎭
数与矩阵的乘积运算称为数乘运算.
矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 它满足下列运算规律: 设A,B,C,O都是同型矩阵, k,l是常数, 则 (1) A+B=B+A;
(2) (A+B)+C=A+(B+C); (3) A+O=A; (4) A+(-A)=O; (5) 1A=A;
(6) k(l)A=(klA);
(7) (k+l)A=kA+lA; (8) k(A+B)=kA+kB.
注:在数学中,把满足上述八条规律的运算称为线性运算.
二、矩阵的相乘 定义3 设
⎛a11 a2s=
a⎝m1
a12a2s am2
a1s⎫
⎪a2s⎪
, ⎪
⎪ams⎪⎭⎛c11 c21=
c⎝m1
⎛b11 b21=
b⎝s1
b12b22 bs2
b1n⎫
⎪b2n⎪
. ⎪
⎪bsn⎪⎭
A=(aij)m⨯sB=(bij)s⨯n
矩阵A与矩阵B的乘积记作AB, 规定为
c12c22 cm2
c1n⎫
⎪c2n⎪
, ⎪
⎪cmn⎪⎭
AB=(cij)m⨯n
s
其中 cij=ai1b1j+ai2b2j+ +aisbsj=
∑aikbkj,(i=1,2, ,m;j=1,2, ,n).
k=1
记号AB常读作A左乘B或B右乘A.
注: 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才能进行乘法运算.
若C=AB,则矩阵C的元素cij即为矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素乘积的和. 即
⎫⎪⎪
Cij
⎪=ai1b1j+ai2b2j+ +aisbsj. ⎪⎪⎭
矩阵的乘法满足下列运算规律(假定运算都是可行的): (1)(AB)C=A(BC); (2)(A+B)C=AC+BC;
⎛b1j b2j
=(ai1,ai2, ,ais)
b⎝sj
(3)C(A+B)=CA+CB; (4)k(AB)=(kA)B=A(kB).
注: 矩阵的乘法一般不满足交换律, 即AB≠BA; 例如, 设A=
⎛-2⎝1
4⎫⎛2
⎪ ,B=⎪ -3-2⎭⎝
4⎫⎛2
⎪ -2⎪⎭⎝-34⎫⎛-2
4⎫
⎪, 则 ⎪-6⎭
4⎫⎛-16⎪= -6⎪⎭⎝84⎫
⎛0
0⎫-32⎫
⎪, 16⎪⎭
⎛-2
AB= 1
⎝
⎛2
⎪而 BA= -3-6⎪⎪ 1⎪= 00⎪⎪, -2⎝⎭⎝⎭⎝⎭
于是 AB≠BA; 且BA=O
从上例还可看出: 两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从AB=O必然推出A=O或B=O.
此外, 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从AC=BC必然推出A=B. 例如, 设
⎛1A= 0
⎝
2⎫⎛1⎪ ,B= 03⎪⎭⎝
0⎫⎛1
⎪ ,C= 04⎪⎭⎝
1⎫
⎪, 0⎪⎭
则 AC=
0⎝
⎛1
2⎫⎛1⎪ 3⎪⎭⎝01⎫⎛1
⎪= 0⎪⎭⎝01⎫⎛1
⎪= 0⎪⎭⎝00⎫⎛1
⎪ 4⎪⎭⎝01⎫
⎪=BC, 0⎪⎭
但 A≠B.
定义4 如果两矩阵相乘, 有
AB=BA,
则称矩阵A与矩阵B可交换.简称A与B可换.
注:对于单位矩阵E, 容易证明
EmAm⨯n=Am⨯n,
Am⨯nEn=Am⨯n.
或简写成
EA=AE=A.
可见单位矩阵E在矩阵的乘法中的作用类似于数1.
更进一步我们有
命题1 设B是一个n阶矩阵,则B是一个数量矩阵的充分必要条件是B与任何n阶矩阵A可换.
命题2 设A,B均为n阶矩阵,则下列命题等价: (1)AB=BA;
(2)(A+B)2=A2+2AB+B2 (3)(A-B)2=A2-2AB+B2
(4)(A+B)(A-B)=(A-B)(A+B)=A2-B2
三、线性方程组的矩阵表示 设有线性方程组
⎧a11x1+a12x2+ +a1nxn=b1,⎪
⎪a21x1+a22x2+ +a2nxn=b2,⎨
⎪
⎪ax+ax+ +ax=b,
m22mnnm⎩m11
(1)
若记
⎛a11
a21A=
a⎝m1
a12a22 am2
a1n⎫
⎪a2n⎪
, ⎪
⎪amn⎪⎭
⎛x1⎫⎛b1⎫
⎪ ⎪xb 2⎪ 2⎪X= ⎪,b= ,
⎪ ⎪ ⎪ x⎪ b⎪⎝n⎭⎝m⎭
则利用矩阵的乘法, 线性方程组(1)可表示为矩阵形式:
AX=b (2)
其中矩阵A称为线性方程组(1)的系数矩阵. 方程(2)又称为矩阵方程.
如果xj=cj(j=1,2, ,n)是方程组(1)的解, 记列矩阵
⎛c1⎫ ⎪ c2⎪C= ⎪,
⎪ c⎪⎝n⎭
则
Aη=β,
这时也称C是矩阵方程(2)的解; 反之, 如果列矩阵C是矩阵方程(2)的解, 即有矩阵等式AC=b成立, 则x=η, 即xj=cj(j=1,2, ,n)也是线性方程组(1)的解. 这样, 对线性方程组(1)的讨论便等价于对矩阵方程(2)的讨论. 特别地, 齐次线性方程组可以表示为
Ax=O.
将线性方程组写成矩阵方程的形式,不仅书写方便,而且可以把线性方程组的理论与矩
阵理论联系起来,这给线性方程组的讨论带来很大的便利.
四、矩阵的转置
定义6 把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵, 称为A的转置矩阵, 记作AT(或A'). 即若
⎛a11 a21A=
a⎝m1
a12a22 am2a21a22 a2n
a1n⎫
⎪a2n⎪
, ⎪
⎪amn⎪⎭am1⎫
⎪am2⎪ ⎪
⎪amn⎪⎭
则
⎛a11
a12=
a⎝1n
A
T
.
矩阵的转置满足以下运算规律(假设运算都是可行的): (1) (AT)T=A;
(2) (A+B)T=AT+BT; (3) (kA)T=kAT; (4) (AB)T=BTAT.
五、方阵的幂
定义5 设方阵A=(aij)n⨯n, 规定
A=E,
k
A称为A的k次幂.
k个
A=A⋅A⋅ ⋅A,k
k为自然数.
方阵的幂满足以下运算规律(假设运算都是可行的): (1) AmAn=Am+n(m,n为非负整数); (2) (Am)n=Amn.
注: 一般地,(AB)m≠AmBm, m为自然数
命题3 设A,B均为n阶矩阵,AB=BA, 则有(AB)m=AmBm, m为自然数,反之不成立。
六、方阵的行列式
定义7 由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵A的行列式,记作|A|或detA.
注: 方阵与行列式是两个不同的概念, n阶方阵是n2个数按一定方式排成的数表,而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数值(实数或复数).
方阵A的行列式|A|满足以下运算规律(设A,B为n阶方阵, k为常数):
(1) |AT|=|A|(行列式性质1); (2) |kA|=kn|A|;
(3) |AB|=|A||B|.进一步AB=AB=BA
七、对称矩阵
定义8 设A为n阶方阵, 如果AT=A, 即
aij=aji
(i,j=1,2, ,n),
则称A为对称矩阵.
显然,对称矩阵A的元素关于主对角线对称. 例如
⎛0
-1⎝
⎛8
-1⎫ ⎪, 60⎪⎭
⎝1
690
1⎫⎪0⎪ 5⎪⎭
均为对称矩阵.
如果AT=-A,则称A为反对称矩阵.
八、共轭矩阵
定义9 设A=(aij)为复(数)矩阵, 记
A=(aij)
其中aij表示aij的共轭复数, 称A为A的共轭矩阵.
共轭矩阵满足以下运算规律(设A,B为复矩阵,k为复数, 且运算都是可行的): (1) A+B=A+B; (2) λA=λA; (3) AB=AB.
例题选讲:
矩阵的线性运算
⎛-1
例1 (讲义例1) 已知A= 0
4⎝⎛3
例2 (讲义例2) 已知A= 1
2⎝
⎛a 0A=
0⎝
230-154
3-23276
1⎫⎛4⎪ 1⎪,B= 5
12⎪⎭⎝0⎫⎛7
⎪ 9⎪,B= 5
38⎪⎭⎝
512
3-32-29-1
20-5
-1⎫
⎪
1⎪, 求3A-2B. 0⎪⎭
4⎫⎪
7⎪, 且A+2X=B,求X. 6⎪⎭
0a 0
注: n阶数量矩阵
0⎫
⎪0⎪ ⎪⎪a⎪⎭
=aEn.
⎛2
例3 (讲义例3) 若A= 1
3⎝3⎫⎪⎛1-2⎪,B= 2
⎝⎪1⎭
-2-1
-3⎫
⎪, 求AB. 0⎪⎭
⎛1⎫
⎪
例4设A=(1,0,4),B= 1⎪. A是一个1⨯3矩阵, B是3⨯1矩阵, 因此AB有意义, BA
0⎪⎝⎭
也有意义; 但
⎛1⎫ ⎪
AB=(1,0,4) 1⎪=1⨯1+0⨯1+4⨯0=1,
0⎪⎝⎭
⎛1⎫⎛1⨯1 ⎪
BA= 1⎪(1,0,4)= 1⨯1
0⎪ 0⨯1⎝⎭⎝⎛a1
例5设A=
⎝
1⨯01⨯00⨯0
1⨯4⎫⎛1
⎪ 1⨯4⎪= 1
0⨯4⎪⎭⎝0
000
4⎫
⎪4⎪. 0⎪⎭⎫⎪⎪⎪. ⎪bn⎪⎭
a2
⎫⎛b1
⎪ ⎪ ,B=⎪ ⎪ ⎪ an⎭⎝
b2
(这种记法表示主对角线以外没有注明的元素均为零),则 ⎛a1
(1)k
⎝⎛a1 (2)
⎝⎛a1 (3)
⎝
⎫⎛ka1⎪ ⎪ ⎪= ⎪
an⎪⎭⎝⎫⎛b1
⎪ ⎪ ⎪+ ⎪
an⎪⎭⎝⎫⎛b1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ an⎪⎭⎝
⎫
⎪⎪⎪; ⎪kan⎪⎭
⎫
⎪⎪⎪; ⎪
an+bn⎪⎭
a2
ka2
a2
b2
⎫⎛a1+b1
⎪ ⎪ ⎪= ⎪
bn⎪⎭⎝⎫⎛a1b1
⎪ ⎪ ⎪= ⎪
bn⎪⎭⎝
a2+b2
a2
b2
a2b2
⎫
⎪⎪⎪ ⎪anbn⎪⎭
例6 (讲义例4) 某地区有四个工厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,生产甲、乙、丙三种产品, 矩阵A
表示一年中各工厂生产各种产品的数量, 矩阵B表示各种产品的单位价格(元)及单位利润(元), 矩阵C表示各工厂的总收入及总利润.
⎛a11 a21A=
a 31 a⎝41
甲
a12a22a32a42乙
a13⎫Ⅰ
⎪⎛b11
a23⎪Ⅱ,B= b21
a33⎪Ⅲ b⎪
⎝31
a43⎪⎭Ⅳ丙
单位价格
⎛c11
b12⎫甲
⎪ c21b22⎪乙,C=
c 31b32⎪丙⎭ c⎝41单位利润
总收入
c12⎫Ⅰ
⎪c22⎪Ⅱc32⎪Ⅲ
⎪c42⎪⎭Ⅳ总利润
其中, aik(i=1,2,3,4;k=1,2,3)是第i个工厂生产第k种产品的数量, bk1及bk2(k=1,2,3)分别是第k种产品的单位价格及单位利润, ci1及ci2(i=1,2,3,4)分别是第i个工厂生产三种产品的总收入及总利润. 则矩阵A,B,C的元素之间有下列关系:
⎛a11b11
a21b11 ab 3111 ab⎝4111
+a12b21+a13b31+a22b21+a23b31+a32b21+a33b31+a42b21+a43b31
总收入
a11b12+a12b22+a13b32⎫⎛c11
⎪
a21b12+a22b22+a23b32⎪ c21
=
a31b12+a32b22+a33b32⎪ c31
⎪
a41b12+a42b22+a43b32⎪⎭⎝c41
总利润
c12⎫
⎪c22⎪
.c32⎪ ⎪c42⎪⎭
其中cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j(i=1,2,3,4;j=1,2),即
C=AB.
⎛0
求与矩阵A=
0 0⎝
1000
0100
0⎫⎪0⎪1⎪⎪0⎪⎭
例7 (讲义例5) 可交换的一切矩阵.
例8 (讲义例6) 证明: 如果CA=AC,CB=BC, 则有
(A+B)C=C(A+B);
(AB)C=C(AB).
例9 (讲义例7) 解矩阵方程 1
⎝
⎛2
1⎫⎛1⎪ X= -12⎪⎭⎝2⎫
⎪, X为二阶矩阵. 4⎪⎭
⎛1
例10(1)设A= -1
2⎝
205
-11-3
⎛1
0⎫ ⎪ 24⎪, 则AT=
-1
⎪ 1⎭ 0
⎝⎛1⎫ ⎪2 ⎪
. = 3⎪ ⎪ -1⎪⎝⎭
-1014
2⎫
⎪5⎪
. -3⎪⎪1⎪⎭
(2)设A=(1,2,3,-1),则A
T
⎛2
例11 (讲义例8) 已知 A= 1
⎝
03
⎛1 -1⎫
⎪,B= 42⎪⎭ 2
⎝
720
-1⎫⎪T3⎪, 求(AB). 1⎪⎭
⎛λ
例12(讲义例9) 设A= 0
0⎝
1
λ0
0⎫⎪31⎪, 求A. λ⎪⎭
⎛1
例13设A= 2
3⎝
012
-1⎫⎛-2⎪ 0⎪,B= 0
0-1⎪⎭⎝
130
0⎫
⎪
1⎪, 则 2⎪⎭
⎛-2 AB= -4
-6⎝
159
-2⎫-2
⎪
1⎪,AB=-40⎪-6⎭
159
-210
=24;
又
1|A|=2
3
012
-1
0=-2,|B|=-1
-200
130
1=-12, 2
因此 |AB|=24=(-2)(-12)=|A||B|.
例14 (讲义例10) 设A与B是两个n阶反对称矩阵, 证明: 当且仅当AB=-BA时, AB
是反对称矩阵.
例15(讲义例11) 设列矩阵X=(x1,x2, ,xn)T满足XTX=1, E为n阶单位矩阵,
H=E-2XX
T
, 证明H是对称矩阵, 且HH
T
=E.
课堂练习
1.设A=(aij)为三阶矩阵, 若已知|A|=-2, 求||A|⋅A|.
⎛a11
2.计算矩阵乘积 (b1b2b3) a21
a⎝31
a12a22a32
a13⎫⎛b1⎫⎪ ⎪a23⎪ b2⎪.
⎪a33⎪⎭⎝b3⎭
3.证明任一n阶矩阵A都可表示成对称阵与反对称阵之和.