关于[高等数学]教学基本要求的说明

关于《高等数学》教学基本要求的说明

1．这份基本要求是根据原国家教委批准的高等工业学校《高等数学课程教学基本要求》，在我校原数学教研组制定的基本要求的基础上，结合近年来《高等数学》课程教学改革的实践和面临的新时代要求修订而成的。 各章所列基本要求是指一年课程结束后应达到的要求。

2．《高等数学》课程的基本任务概括地说，是传授微积分（含常微分方程等）的基础知识，培养学生抽象思维、逻辑推理、自己获取知识，应用数学知识解决实际问题等方面的能力，以提高数学素养。在教学过程中，通过分折、归纳、类比、联想、几何直观等方法和现代教育手段逐步提高学生的数学理解力和探索创新的精神。同时，要对极重要应用的数学思想方法，如映射的思想、坐标方法的思想、极限的思想、局部线性化的思想，逼近的思想、变换的思想，以及最优化的思想等，予以足够的重视，使学生在学完本课程后，对这些思想方法有一定的领悟。

3．电类专业自99级起将复变函数的主要内容放在高等数学课程中，这块内容的基本要求尚未融入高等数学中，仍单独列出。

4．函数的有关内容中学基本已学过，这里作复习，突出复合函数与分段函数概念以及了解函数的单调性、周期性、奇偶性及有界性。

5．基本要求的高低用下列三级词汇区分：

从高到低，概念分“理解”、“了解”、“知道”三级；

运算分“熟练掌握”、“掌握”、“会”三级。

《高等数学》教学基本要求

《高等数学》是工科院校的一门重要的基础理论课程。通过这门课程的学习，要使学生系统地获得微积分方程的基本知识（基本概念，必要的基础理论和常用的运算方法），培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维和形象思维能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、自学能力以及一定的数学建模能力, 正确领会一些重要的数学思想方法, 使学生受到数学分折的基本概念、理论、方法以及运用这些概念、理论、方法解决几何、物理及其它实际问题的初步训练, 以提高抽象概括问题的能力和应用数学知识解决实际问题的能力, 同时为学习后继课程和知识的自我更新奠定必要的基础。

一、极限与连续

基本要求：

1．理解极限的概念，了解极限的-N, -, -X 定义的含意，理解函数左，右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系，会利用极限定义证明某些简单的极限。

2．掌握极限的性质及四则运算法则。

3．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握用两个重要极限求极限的方法，知道Cauchy 收敛准则。

4．理解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小替换求极限。

5．理解函数在一点处连续和间断的概念，知道函数的一致连续性概念。

6．了解初等函数的连续性，掌握讨论连续性的方法，会判别间断点的类型。

7．了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理，最值定理和介值定理），会用介值定理讨论方程根的存在性。

重点：

根限概念，无穷小量，极限的四则运算，函数的连续性。

难点

极限的定义，函数的一致连续性概念。

二、一元函数微分学

基本要求：

1．理解导数和微分的概念及其几何意义，了解函数的可导性和连续性的关系，会平面曲线的切线方程和法线方程，会用导数描述一些简单的物理量。

2．熟练掌握导数与微分的运算法则及导数的基本公式，了解一阶微分形式的不变性。

3．熟练掌握初等函数的一阶、二阶导数的计算，会求分段函数的导数，会计算常用简单函数的n 阶导数。

4．会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。

5．理解并会用Rolle 定理，Lagange 中值定量，了解并会用Cauchy 中值定理。

6．理解函数的极值概念，熟练掌握利用导数求函数的极值，判断函数的增减性、凸性、求曲线的拐点及函数作图（包括求渐近线）的方法，会解决应用题中简单的最大值和最小值问题。

7．熟练掌握利用洛必达法则求未定式极限的方法。

8．理解并会用Taylor 定理，掌握、、、ln(1+x)及(1+x)的Maclau- rin 公式。

9．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

10．知道求方程近似根的二分法和切线法。

重点

1．导数、微分的概念，导数的几何意义，初等函数导数的求法。

2．Lagrange 中的值定理、Tanylor 公式、洛必达法则，函数增减性的判定，函数的根值及其求法，最值问题。

难点

Lagrange 中值定理，Taylor 公式。

三、一元函数积分学

基本要求：

1．理解原函数、不定积分和定积分的概念及性质。

2．熟练掌握不定积分的基本公式，不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法。

3．会求简单有理函数、简单的三角函数有理式及简单无理函数的积分。

4．理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握Newton-Leibniz 公式。

5．熟练掌握用微元法建立一些常见的几何量和物理量的定积分表达式，从而求出这些量的方法。

6．会用梯形法和和抛物线法求定积分的近似值。

7．理解两类反常积分的概念，会计算一些简单的反常积分，知道反常积分的审敛法（比较法和极限法）。

重点：

1．原函数、不定积分和定积分的概念，积分中值定理，基本积分公式。

2．不定积分和定积分的换元法和分部法，变上限的定积分作为上限的函数及其求导定理，Newton-Leibniz 公式。

3．微元法。

难点：

定积分概念，变上限的定积分作为上限的函数及其求导定理，微元法。

四、常微分方程

基本要求

1．理解微分方程的解、通解、初始条件和特解等基本概念。

2．熟练掌握一阶变量可分离方程和线性方程的识别和解法。

3．掌握一阶齐次方程和Bernoulli 方程的识别和解法，会用简单的变量代换解某些微分方程。

4．会识别及解全微分方程。

5．掌握用降阶法求解=, =和型的方程。

6．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

7．熟练掌握二阶常系数线性齐次及非齐次方程（其中自由项是(x),, 以及它们的和与积）的解法，知道高阶常系数线性齐次方程的解法。

8．了解用常数变易法解二阶常系数线性微分方程的思想。

9．掌握Euler 方程及其解法。

10．了解微分方程的幂级数解法。

11．会用微分方程或方程组解决一些简单的应用问题。

12．知道简单的常系数线性微分方程组的解法。

重点

微分方程的概念、通解、特解，变量可分离方程与一阶线性方程的解法，线性微分方程解的结构，二阶常系数线性方程的解法。

五、无穷级数

基本要求：

1．理解级数的收敛、发散及收敛级数的和的概念，掌握级数收敛的必要条件和收敛级数的基本性质。

2．掌握几何级数和p 级数的收敛性。

3．掌握正项级数的比较审敛法和根值审敛法，熟练掌握正项级数的比值审敛法。

4．掌握交错级数的Leibniz 定理，并会估计通项单调递减的收敛的交错级数的截断误差。

5．理解无穷级数的绝对收敛和条件收敛的概念，知道任意项级数的审敛步骤。

6．理解函数项级数收敛域及和函数的概念，知道一致收敛概念和优级数判别法，知道一致收敛级数的性质。

7．熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的基本性质，会求一些幂级数的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

8．了解函数展开为Taylor 级数的充分必要条件。

9．熟练掌握、、、ln(1+x)和(1+x)的Maclaurin 展开式，会用间接法将一些简单函数展成幂级数，会用幂级数进行一些近似计算。

10．理解Fourier 级数的概念，了解函数展开为Fourier 级数的Dirichlet 定理，会将定义在［-］上的函数展开为Fourier 级数，会将定义在［0，］上的函数展成正弦级数或余弦级数，知道Fourier 级数的复数形式。

重点：

1．无穷级数收敛和发散的概念，正项级数的比较审敛法和比值审敛法。

2．幂级数的收敛半径和收敛域的求法，Taylor 级数，函数的幂级数展开。

3．Fourier 级数，函数展开为正弦或余弦级数。

难点：

正项级数的比较审敛法，条件收敛级数的判定，级数求和，函数项级数一致收敛的概念，用间接法将函数展为Taylor 级数。

六、向量代数与空间解析几何

基本要求：

1．理解向量的概念，熟练掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积）及两个向量夹角的求法，平行和垂直的条件，知道三向量共面的条件。

2．掌握单位向量、方向数、方向余弦及向量的坐标表达式，熟练地用坐标表达式进行向量运算。

3．熟悉平面和直线的标准方程，以及根据已知条件求平面和直线方程，掌握利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

4．理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的标准方程及其图形，知道用截痕法讨论曲面的方法。

5．掌握以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及毋线平行于坐标轴的柱面方程。

6．了解空间曲线的一般式方程与参数式方程，了解空间曲线在坐标面上的投影，并坐求其方程。

重点：

向量的概念，向量的坐标表达式及向量的运算，平面的点法式方程，直线的点向式方程，曲面方程的概念，空间曲线的一般式方程和参数式方程。

七、多元函数微分学

基本要求：

1．理解点集、邻域、区域及多元函数的概念。

2．了解二元函数的极限和连续的概念，知道有界闭区域上连续函数的性质。

3．理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的充分的条件和必要条件，理解方向导数和梯度的概念。

4．熟练掌握复合函数和隐函数的求导法则，掌握求高阶偏导数的方法，掌握方向导数和梯度的求法。

5．知道二元函数的Taylor 公式。

6．掌握空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的求法。

7．理解多元函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用Lagrange

乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。

重点：

多元函数的概念，偏导数和全微分的概念，偏导数的计算，Lagrange 乘数法。 难点：

多元函数的极限概念，复合函数的高阶偏导数，二元Taylor 公式。

八、多元函数积分学

基本要求：

1．理解二重积分、三重积分、两类曲线积分及两类曲面积分的概念和性质。

2．熟练掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）和三重积分的计算法（直角坐标、柱面坐标和球面坐标）。

3．知道重积分的一般换元法则，会用一般换元法则计算一些简单的二重积分和三重积分。

4．熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算法。

5．掌握Green 公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。

6．掌握Gauss 公式并会利用它计算曲面积分，了解Stokes 公式，并能利用它计算某些曲线积分。

7．会用重积分、曲线积分及曲面积分解决一些几何与物理问题。

8．知道散度，旋转的概念，并会计算。

重点：

二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的概念与计算方法，Green 公式、Gauss 公式，平面曲线积分与路径无关的条件。

难点：

重积分化为累次积分时积分上、下限的确定，第二型曲面积分的概念与计算。

九、复变函数

基本要求：

1．理解复数的概念、掌握复数的计算及其表示法。

2．理解乘幂与方根的概念，掌握模与幅角的定理。

3．理解复变函数、映射、极限与连续等概念。

4．理解复变函数的导数、解析概念，掌握并能运用Cauchy-Riemann 方程。

5．了解指数函数、对数函数、幂函数及三角函数的定义和主要性质。

6．掌握解析函数与调和函数的关系，并会由或求出相应的解析函数。

7．理解复变函数积分的概念，掌握Cauchy-Goursat 基本定理、复合闭路定理及Cauchy 积分公式，高阶导数公式。

8．了解复函数项级数收敛、发散与绝对收敛等概念，知道幂级数的收敛范围是圆域，会用间接法将某些简单的解析函数展成Taylor 级数。

9．会用适当方法将某些简单函数在环域内展成Laurent 级数。

10．理解孤立奇点的概念，知道孤立奇点的分类。

11．理解留数的概念，掌握留数定理，会计算留数，并会利用留数定理计算某些定积分。

*12．了解解析函数导数的几何意义及保角映射的概念.

*13．掌握分式线性映射。

*14．会求一些简单区域（平面、半平面、角形域、圆和带域）之间的保角映射。

学时分配