傅里叶级数及其应用毕业论文

傅里叶级数及其应用毕业论文

专业：数学与应用数学

目 录

引言 ................................................................................................................................................................... 3 1 傅立叶级数的计算 ........................................................................................................................... 5

1.1 傅立叶级数的几何意义 ................................................................................................................ 5

1.2 傅里叶级数的敛散性问题 . ......................................................................................................... 10

1.3 傅里叶级数的展开 ....................................................................................................................... 11

1.4 关于傅里叶级数展开的个别简便算法 . .................................................................................. 16

1.5 利用二元函数微分中值定理研究函数性质 . ......................................................................... 19 2 傅里叶级数的相关定理及其应用 ......................................................................................... 21

2.1 n 元函数中值定理及其几何意义 . ............................................................................................ 21

2.2 利用n 元函数微分中值定理研究函数的性质 ...................................................................... 28 3 微分中值定理在复数域上的推广 ......................................................................................... 32

3.1 复数域上的中值定理 . .................................................................................................................. 32

3.2 利用复数域内中值定理研究函数性质 . .................................................................................. 36 结论 ................................................................................................................................................................. 39 致谢 ................................................................................................................................................................. 40 参考文献 ...................................................................................................................................................... 41

摘 要

为了更好地认识和应用微分中值定理，使微分中值定理能够最大的发挥其重要作用，在深刻理解和掌握教材内微分中值定理的基础上，将微分中值定理在n 元函数以及复数域内推广及应用加以探讨．首先根据一元函数微分中值定理的内容，给出了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒中值定理公式的统一形式．而后又仿照一元函数微分中值定理的形式对教材中二元函数微分中值定理进行补充，给出了二元函数罗尔定理、柯西中值定理和二元函数泰勒中值定理的表述，并且构造“辅助函数”给出了证明过程，然后讨论了二元函数罗尔定理与拉格朗日定理的几何意义．接着通过对比一元函数与二元函数微分中值定理，给出了n 元函数罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理和泰勒中值定理的表述形式，而后同样借助构造的“辅助函数”把n 元函数转化为一元函数，进而给出了四个定理的证明，并通过几个典型例题验证了n 元函数微分中值定理的可用性．最后从二元函数微分中值定理着手，给出了复数域上的罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的表述形式，同时通过几个例题验证了复数域上微分中值定理的可用性．

关键词：

n 元函数； 微分中值定理； 几何意义； 复数域

Abstract

In order to understand and make better use of the differential mean value theorem which can play a largest role in application, we explore the generalization and the application of the differential mean value theorem in n-variable functions and complex field based on the comprehension and mastery of the differential mean value theorem in textbook. At first, according to the differential mean value theorem of one-variable function, we give the uniform of Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem. Then we complement the differential mean value theorem of two-variable function in textbook following one- variable function, give the expressions of Rolle theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem of two-variable function, constitute auxiliary function and give the proof procedure, discuss the geometric significance of the Rolle theorem and Lagrange theorem of two-variable function. Later, we give the expressions of the Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem of n- variable function by comparing the differential mean value theorem of one-variable function and two-variable function. Similarly, by constituting auxiliary function, we change n-variable function into one-variable function and give the proof of four theorems. Check the availability of the differential mean value theorem by some typical examples. At last, proceed from the differential mean value theorem of two-variable function, we give the expressions of Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem in complex field and check the availability of the differential mean value theorem by some typical examples at the same time.

Keywords:

n-variable function; differential mean value theorem; geometric significance; complex field

引 言

微分中值定理是微分学的核心定理，它是联系函数与导数的桥梁，微分中值定理把函数在某个区间上的函数值与其导数值联系起来，应用局部状态的导数研究函数在区间上的“整体”性态，它是研究函数性态的重要工具．

在大学四年的学习中，已经掌握了一些有关一元微分中值定理的内容，我们知道一元函数的罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理分别建立了函数与一阶导数的关系和函数与高阶导数的关系．在实际应用中，很多情况要突破一元微分学和平面领域这些局限，为了更好的利用微分学中值定理这个重要工具，需要把它的应用范围加以扩展，使之能够在n 元微分学即n 1维空间以及复数域上得以使用．

本文将分三部分对微分中值定理进行推广，第一部分中，首先从数学分析教材入手，梳理教材中学过的有关一元函数微分中值定理的相关内容，进而研究一元函数罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理之间的关系，试图找出统一的中值公式，通过这个公式全面认识这四个定理．其次，对照一元函数微分中值定理的分析研究，探讨二元函数罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，二元函数泰勒中值定理的形式及成立的条件，然后探讨定理之间的关系，

找到统一的中值公式，透过这个公式再认识微分中值定理，接着仿照一元函数微分中值定理给出证明及其几何意义．第二部分中，对比一元函数与二元函数微分中值定理，给出n 元函数微分中值定理的成立条件和中值公式，同样通过构造“辅助函数”证明定理成立，并自由想象多元函数微分中值定理的几何意义．第三部分中，从二元函数微分中值定理入手，仿照二元函数中值定理的形式，探讨微分中值定理在复数域上的表述．接着再通过构造“辅助函数”给出定理证明．

1 傅立叶级数

自然界中周期现象的数学描述就是周期函数．最简单的周期现象，如单摆的摆动等，都可以用正玄函数y =a sin wt 或余弦函数y =a cos wt 表示．但是，复杂的周期现象，如热传导、电磁波以及机械振动等，就不能仅用一个正弦函数和余弦函数表示，需要用很多个甚至无限多个正弦函数和余弦函数的叠加表示．因此，傅里叶级数就应运而生．傅里叶级数就是将周期函数展成无限多个正弦函数与余弦函数之和的一种解决问题的简便方法．其主要是研究级数的敛散性问题，从而利用傅里叶级数解决其他生活中的很多相关问题． 傅里叶级数应用到我们生活中的各个角落，主要是在数字信号处理等方面有重要应用，为我们的生活无私的奉献着．

1.1 一元函数中值定理及其几何意义

从“几何”的角度来看待傅里叶级数，当我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时，其实我们只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的坐标轴上．

考虑一个简单的二维平面的例子. 如下图所示，给定两个向量u 和v ，从u 的末端出发作到v 所在直线的垂线，得到一个跟v 同向的新向量p ．这个过程就称作u 到v 所在直线的投影，得到的新向量p 就是u 沿v 方向的分量。图中的系数c 是p 跟v 的比例，也就是u 在v 轴上的“坐标”．可以用尺规作图来完成投影这个动作，问题是：如果给定

的向量u 和v 都是代数形式的，怎么用代数的方法求c ？

图片1：向量u 到v 所在直线的投影

知道u -cv 这个向量是“正交”于v 的，用数学语言表达就是(u -cv ) Tv =0．

马上就可以得到 c 的表达式如下：

u T v c =T (1) v v

如下图所示，现在引进一组正交基 {v 1, v 2}，那么u 可以展开成以下形式

u =c 1v 1+c 2v 2 (2)

图片2：向量u 在正交基{v 1, v 2}上的展开

从图上来看，(2)式其实说的是可以把u “投影”到 v 1和v 2这

c 1和c 2就是u 的新两个坐标轴上，“坐标”. 问题是：怎么求c 1和c 2呢？

利用之前关于投影的讨论，可以直接得出答案，直接利用(1)式就可以得到如下的表达式：

u T v u T v c =T ； c =T v 1v 1v 2v 2 ；

如果想把一个向量在一组正交基上展开，也就是找到这个向量沿每条新“坐标轴”的“坐标”，那么我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了，也就是把(1)式中的v 换成新坐标轴就好了. 这些东西

f (x )，跟傅里叶级数有什么关系？给定一个周期是21的周期函数 它的

傅里叶级数为：

n πx n πx ⎫⎛f (x )=a 0+∑ a n cos +b n sin (4) ⎪l l ⎭n =1⎝∞

其中系数表达式如下：

f (x )dx =； -1a 02l

a n =

b n ⎰1-1f (x )cos l f (x )sin l n πx dx , n ≥1 ⎰=1-1n πx dx , n ≥1

从几何角度来看，f (x )可以用下面这组由无限多个三角函数（包括常数）组成的“正交基”来展开，{1,cos πx

l ,sin πx

l ,cos 2πx 2πx ,sin ,......} l l

从几何投影的观点来看待傅里叶级数，理解变得更加容易，因为容易理解投影的概念；同事，傅里叶级数所有的公式都可以轻松的记住，想忘记都难了. 还可以尝试着用不同的角度去看待同一个问题，这样做会发现更多的简便方法和问题.

1.2 傅里叶级数的敛散性问题

定义１ 若函数f (x )在区间[a , b ]除有限个第一类剪短点外皆连续，则称函数f (x )在[a , b ]逐段连续． 若函数f (x )与它的导函数f ' (x )都逐段连续， 则称函数f (x )在[a , b ]逐段光滑．

显然，逐段光滑的函数是可积的．

1.2.1 相关定理

定理１ 若f (x )是n 元函数f 在凸区域R 上以2π为周期的在

[-π, π]逐段光滑的函数，则函数f (x )的傅里叶级数在R 收敛，其和函

数

式

1

f (x +0)+f (x -0)⎤⎡⎣⎦2

，即

∀x ∈[-π, π]

i

n

，有

a 0∞1

=+∑(a n c nx o +b n s nx )． s f (x +0)+f (x -0)⎤⎡⎣⎦2n =12

，使得

∑f '(x

i =1

x i

n

10

+θ∆x 1, x 20+θ∆x 2, , x n 0+θ∆x n )∆x i =0．

n

特别地，当n =1时，∑f x '(x 10+θ∆x 1, x 20+θ∆x 2, , x n 0+θ∆x n )∆x i =0变为

i =1

i

0=f '(x 0+θ(x -x 0))(x -x 0)．

因为x ≠x 0，所以，f '(x 0+θ(x -x 0))=0, θ∈(0.1)．即

f '(c )=0，c ∈(x 0, x )．

这就是一元函数的罗尔定理的公式．

n 元函数罗尔定理的几何意义：在n +1维空间里，闭区域D 上有

连续超曲面y =f (x 10, x 20, , x n 0)，超曲面上每一点都存在超切平面，且在超曲面的底面与x 1x 2 x n -1面平行，则超曲面上至少有一点

C (ξ1, ξ2, , ξn , f (ξ1, ξ2, , ξn ))，使得过该点的超切平面平行于x 1x 2 x n -1

面．

定理2（n 元函数拉格朗日定理） 设n 元函数f 在凸区域D ⊂R n 上连续，在D 的所有内点都可微，对D 内任意两点，

P 1(x 10+∆x 1, x 20+∆x 2, , x n 0+∆x n )， P 2(x 10, x 20, , x n 0)∈D ，∃θ∈(0, 1)，使得

f (x 10+∆x 1, x 20+∆x 2, , x n 0+∆x n )-f (x 10, x 20, , x n 0)

=∑f x 'i (x 10+θ∆x 1, x 20+θ∆x 2, , x n 0+θ∆x n )∆x i

i =1n

．

(2-1)

证明 令ϕ(t )=f (x 10+t ∆x 1, x 20+t ∆x 2 x n 0+t ∆x n )，(0≤t ≤1)． 它是定义在[0, 1]上的一元函数，由定理中的条件知φ(t )在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可微，于是根据一元函数微分中值定理，∃θ∈(0, 1)，使得

ϕ(1)-ϕ(0)=ϕ'(θ)．

由复合函数的求导法则

ϕ'(θ)=f x '(x 10+θ∆x 1, x 20+θ∆x 2, , x n 0+θ∆x n )∆x 1+ +

i

f x '(x 10+θ∆x 1, x 20+θ∆x 2, , x n 0+θ∆x n )∆x n ．

n

=∑f x '(x 10+θ∆x 1, x 20+θ∆x 2, , x n 0+θ∆x n )∆x i ，θ∈(0,1)．

i =1

i

n

而φ(1)-φ(0)=f (x 10+∆x 1, x 20+∆x 2, , x n 0+∆x n )-f (x 10, x 20, , x n 0)．所以，

f (x 10+∆x 1, x 20+∆x 2, , x n 0+∆x n )-f (x 10, x 20, , x n 0)

=∑f x 'i (x 10+θ∆x 1, x 20+θ∆x 2, , x n 0+θ∆x n )∆x i ．

i =1n

特别地，当n =1，则由(2-1)式有

f (x )-f (x 0)=f '(x 0+θ(x -x 0))(x -x 0)，(0

这就是一元函数的拉格朗日中值公式．

在n +1维空间里，闭区域D 上n 元函数拉格朗日定理的几何意义：

有连续超曲面y =f (x 10, x 20, , x n 0)，超曲面上每一点都存在超切平面，超曲面被超平面α所切得面β，则超曲面上至少有一点

C (ξ1, ξ2 ξn , f (ξ1, ξ2, , ξn ))，使得过该点的超切曲面平行于面β．

定理3（n 元函数柯西中值定理） 设n 元函数f 和g 在凸开域

D ⊂R n 上连续，在D 内关于各个变元具有连续的偏导数，对D 内任意

两

n

x i

点

10

P 1(x 10, x 20, , x n 0)

，

P 2(x 10+∆x 1, x 20+∆x 2, , x n 0+∆x n ) ∈D

，

∑g '(x

i =1

+θ∆x 1, , x n 0+θ∆x n ) ∆x i ≠0，则有

f (x 10+∆x 1, , x n 0+∆x n ) -f (x 10, , x n 0)

g (x 10+∆x 1, , x n 0+∆x n ) -g (x 10, , x n 0)

=

∑f '(x

i =1n

x i

i =1

x i

n

10

+θ∆x 1, , x n 0+θ∆x n ) ∆x i +θ∆x 1, , x n 0+θ∆x n ) ∆x i

，(0

∑g '(x

10

证明 首先证明g (x 10+∆x 1, , x n 0+∆x n ) -g (x 10, , x n 0) ≠0，用反证法．假设g (x 10+∆x 1, , x n 0+∆x n ) -g (x 10, , x n 0) =0．即

g (x 10+∆x 1, , x n 0+∆x n ) =g (x 10, , x n 0) ．

根据n 元函数的罗尔定理，∃θ∈(0, 1) ，使得

∑g '(x

i =1

x i

n i =1

i

n

10

+θ∆x 1, , x n 0+θ∆x n ) ∆x i =0，

与已知条件∑g 'x (x 10+θ∆x 1, , x n 0+θ∆x n ) ∆x i ≠0矛盾．

其次作辅助函数

ψ(t ) =f (x 10+t ∆x 1, , x n 0+t ∆x n ) -f (x 10, , x n 0) -

f (x 10+∆x 1, , x n 0+∆x n ) -f (x 10, , x n 0)

[g (x 10+t ∆x 1, , x n 0+t ∆x n ) -g (x 10, , x n 0)]

g (x 10+∆x 1, , x n 0+∆x n ) -g (x 10, , x n 0)

，

其中0≤t ≤1．由定理中的条件知ψ(t ) 在[0, 1]上连续，在(0, 1) 内可微，且ψ(1)=0， ψ(0)=0，根据一元函数的罗尔定理，存在θ(0

ψ'(θ) =∑f x 'i (x 10+θ∆x 1, , x n 0+θ∆x n ) ∆x i -

i =1n

f (1x 0+∆x , 1n , x +∆0g (1x 0+∆x , 1n , x +∆0-x )

x ) n -

n f (1x 0,

g (1x 0, , x 0)

g 'x 0+θ∆x , 1, n x +θ∑x i (10∆, 1x 0) n i =

n n

∆x n x ) ．i

又ψ'(θ) =0．所以，

f (x 10+∆x 1, , x n 0+∆x n ) -f (x 10, , x n 0)

g (x 10+∆x 1, , x n 0+∆x n ) -g (x 10, , x n 0)

=

∑f '(x

i =1n

x i

i =1

x i

n

10

+θ∆x 1, , x n 0+θ∆x n ) ∆x i +θ∆x 1, , x n 0+θ∆x n ) ∆x i

，(0

∑g '(x

10

函数在一点的导数表示的是曲线在这点的切线，一元函数微分中值定理表示的是过一点的切线与割线的位置关系．那么当函数变为n 元函数时，中值定理又对应着怎样的几何意义呢？

通过对一元函数泰勒中值定理与二元函数泰勒中值定理的探讨，不难有这样的问题：在n 元函数与高阶导数有怎样的关系，泰勒中值定理又会变成怎样的形式呢？

定理4（n 元函数的泰勒中值定理） 设函数u =f (x 1, x 2, , x n ) 在

点

P 0)内连续，且具有一阶及二阶连续偏导0(x 10, x 20, , x n 0) 的某一邻域U (P

数，(x 10+∆x 1, x 20+∆x 2, , x n 0+∆x n ) ∈U (P 0) ，则∃θ∈(0,1)，使得

f (x 10+∆x 1, x 20+∆x 2, , x n 0+∆x n )

=f (x 10, x 20, , x n 0) +∑

∂f (x 10, x 20, , x n 0)

∆x i +R 1，

∂x i =1i

n

1n n ∂2f (x 10+θ∆x 1, x 20+θ∆x 2, , x n 0+θ∆x n )

其中R 1=∑∑∆x i ∆x j ．

2! i =1j =i ∂x i ∂x j

证明 考虑函数

φ(t ) =f (x 10+t ∆x 1, x 20+t ∆x 2, , x n 0+t ∆x n ) ，0≤t ≤1．

则

φ(0) =f (x 10, x 20, , x n 0) ，φ(1) =f (x 10+∆x 1, x 20+∆x 2, , x n 0+∆x n ) ．

由于函数u =f (x 1, x 2, , x n ) 在点P 0(x 10, x 20, , x n 0) 的某一邻域U (P 0) 内连续，并且具有一阶及二阶连续偏导数，从而复合函数

φ(t ) =f (x 10+t ∆x 1, x 20+t ∆x 2, , x n 0+t ∆x n )

在t =0的邻域内对t 有连续的一阶及二阶导数．由一元函数的泰勒公式可以得到

φ(t ) =φ(0) +φ'(0) t +φ''(θt ) t 2，0

12!

因为

ϕ'(t ) =∑

∂f (x 10+t ∆x 1, x 20+t ∆x 2, , x n 0+t ∆x n )

∆x i ，

∂x i i =1

n

ϕ''(t ) =∑

n

d ⎛∂f (x 10+t ∆x 1, x 20+t ∆x 2, , x n 0+t ∆x n ) ⎫

⎪∆x i dt ∂x i =1i ⎝⎭

n

n

∂2f (x 10+t ∆x 1, x 20+t ∆x 2, , x n 0+t ∆x n )=∑∑∆x i ∆x j ．

∂x i ∂x j i =1j =1

所以，

ϕ'(0)=∑

n

n

∂f (x 10, x 20, , x n 0)

∆x i ，

∂x i =1i

n

∂2f (x 10+θt ∆x 1, x 20+θt ∆x 2, , x n 0+θt ∆x n )

ϕ''(θt ) =∑∑∆x i ∆x j ．

∂x i ∂x j i =1j =1

把φ(0), φ'(0), φ''(θt ) 代入(2-2)式后再令t =1，便得到泰勒公式

f (x 10+∆x 1, x 20+∆x 2, , x n 0+∆x n ) =f (x 10, x 20, , x n 0) +∑

∂f (x 10, x 20, , x n 0)

∆x i +R 1，

∂x i i =1

n

2

1n n ∂f (x 10+θ∆x 1, x 20+θ∆x 2, , x n 0+θ∆x n )∆x i ∆x j ． 其中R 1=∑∑2! i =1j =i ∂x i ∂x j

如果设函数u =f (x 1, x 2, , x n ) 在点P 0(x 10, x 20, , x n 0) 的某一邻域

U (P 0)

内连续且具有

n +1

阶连续偏导数，

(x 10+∆x 1, x 20+∆x 2, , x n 0+∆x n ) ∈U (P 0) ，则∃θ∈(0, 1) ，使得

f (x 10+∆x 1, x 20+∆x 2, , x n 0+∆x n ) =f (x 10, x 20, , x n 0)+

⎫1⎛n ∂f (x 10, x 20, , x n 0)

∆x ∑∑i ⎪f (x 10, x 20, , x n 0)+R n ， k ! ∂x k =1i ⎝i =1⎭

n

k

1⎛n ∂f (x 10, x 20, , x n 0) ⎫

∆x i ⎪其中R n = ∑∂x i n +1! ⎝i =1⎭

n +1

f (x 10+θ∆x 1, , x n 0+θ∆x n )，这称

为拉格朗日余项．

证明 作辅助函数ϕ(t ) =f (x 10+t ∆x 1, x 20+t ∆x 2, , x n 0+t ∆x n )，0≤t ≤1． 则

φ(0) =f (x 10, x 20, , x n 0) ，φ(1) =f (x 10+∆x 1, x 20+∆x 2, , x n 0+∆x n ) ．

因为

d φn ∂f (x 10+t ∆x 1, x 20+t ∆x 2, , x n 0+t ∆x n )

=∑∆x i dt i =1∂x i

⎛n ∂f (x 10, x 20, , x n 0) ⎫

∆x i ⎪f (x 10+t ∆x 1, , x n 0+t ∆x n )， = ∑∂x i ⎝i =1⎭⎫ x ) 0d ϕ⎛n ∂f (1x 0, x 2, 0n

=∆x ∑i ⎪d 2t ⎝i =1∂i x ⎭

2

2

(f

10

x +∆t , 1x , n +∆t ) x ．0x n

用数学归纳法可以得到

⎛n ∂f (x 10, x 20, , x n 0) ⎫(k )

ϕ(t ) = ∑∆x i ⎪f (x 10+t ∆x 1, , x n 0+t ∆x n ) ，(k =1, 2, , n ) ．

∂x i ⎝i =1⎭

k

由一元泰勒公式

φ(1) =φ(0) +φ'(0) +φ''(0) + +φ(n ) (0) +

12! 1n ! 1

φ(n +1) (θ) ，(n +1)!

(0

将φ(0) =f (x 10, x 20, , x n 0) ，φ(n ) (0) 代φ(1) =f (x 10+∆x 1, x 20+∆x 2, , x n 0+∆x n ) ，入(2-3)式得

f (x 10+∆x 1, , x n 0+∆x n )

⎛n ∂f (x 10, x 20, , x n 0) ⎫

=f (x 10, , x n 0) + ∑∆x i ⎪f (x 10, , x n 0) +

∂x i ⎝i =1⎭

⎫1⎛n ∂f (x 10, x 20, , x n 0)

∆x i ⎪f (x 10, , x n 0) + + ∑2! ⎝i =1∂x i ⎭, 2 , 0x n , 0) ⎫1⎛n ∂f (x 10x

∆x i ⎪f (x 1, +R n ， ∑0 , x n )0

n ! ⎝i =1∂x i ⎭

n 2

其中

, n 0, ⎫1⎛n ∂f (x 1x 0, 2x R n =∆x i ⎪ ∑(n +1)! ⎝i =1∂x i ⎭

n +10

)

f (x 1+0θ∆x , , 1x n +θ∆x 0n )

，

(0

2.2 利用n 元函数微分中值定理研究函数的性质

例2.1 设n 元函数f 在凸开域D ⊂R n 上可微，D 上取定一点

P 0(x 10, x 20, , x n 0)

且

∀P (x 10+∆x 1, x 20+∆x 2, , x n 0+∆x n ) ∈D

，有

，即f (P ) 是常数函f x 'i (P ) =0, i =1, 2, , n ，则∀P ∈D ，有f (P ) =C （常数）数．

证明 n 元函数f 在D 上满足n 元函数的拉格朗日定理的条件，根据n 元函数的拉格朗日定理，∃θ∈(0, 1) ，使得

f (x 10+∆x 1, x 20+∆x 2, , x n 0+∆x n ) -f (x 10, x 20, , x n 0)

=∑f x 'i (x 10+θ∆x 1, x 20+θ∆x 2, , x n 0+θ∆x n )∆x i ．

i =1

n

'(P 因为点P 1(x 10+θ∆x 1, x 20+θ∆x 2, , x n 0+θ∆x n ) ∈D ，所以，f x 1) =0．即

i

f (x 10+∆x 1, x 20+∆x 2, , x n 0+∆x n ) =f (x 10, x 20, x n 0) ．

取f (x 10, x 20, , x n 0) =C ，∀P ∈D ，有f (P ) =C ，即f (P ) 是常数函数． 例2.2 若n 元函数f 和g 在凸开域D ⊂R n 上连续，在D 内关于各个变元具有连续的偏导数，D 上取定一点P 0(x 10, x 20, , x n 0) ，且对任意的点P (x 10+∆x 1, x 20+

∆x 2, , x n 0+∆x n ) ∈D ，有

，i =1,2, , n ．而且f x 'i (P ) =g 'x i (P )

∑g '(x

i =1

x i

n

10

+θ∆x 1, , x n 0+θ∆x n )

不为零．则∀P ∈D ，有

f (P ) =g (P ) +C ，

其中C 是常数，0

证明 因为n 元函数f 和g 在D 满足n 元函数的柯西定理的条件，则

f (x 10+∆x 1, , x n 0+∆x n ) -f (x 10, , x n 0)

g (x 10+∆x 1, , x n 0+∆x n ) -g (x 10, , x n 0)

=

∑f '(x

i =1n

x i

i =1

x i

n

10

+θ∆x 1, , x n 0+θ∆x n ) ∆x i +θ∆x 1, , x n 0+θ∆x n ) ∆x i

，(0

∑g '(x

10

, 2, , n ．即 又P 1(x 10+θ∆x 1, , x n 0+θ∆x n ) ∈D ，所以，f x '(P 1) =g 'x (P 1) ，i =1

i

i

∑f '(P ) ∆x =∑g '(P ) ∆x ．

i =1

x i

1

i

i =1

x i

1

i

n n

所以，

f (x 10+∆x 1, , x n 0+∆x n ) -f (x 10, , x n 0)

=g (x 10+∆x 1, , x n 0+∆x n ) -g (x 10, , x n 0) ．

即f (P ) =g (P ) +[f (P 0) -g (P 0)]．

设f (P 0) -g (P 0) =C ，则∀P ∈D ，有f (P ) =g (P ) +C ，其中C 是常数． 例2.3 证明：设n 元函数f 在凸开域D ⊂R n 上可微，对D 内任意两点

P 1(x 10, x 20, , x n 0) ，P 2(x 10+∆x 1, x 20+∆x 2, , x n 0+∆x n ) ∈D ，有

f (x 10+∆x 1, , x n 0+∆x n ) =f (x 10, , x n 0) ，且f x 'i (P ) =a , ∀P ∈D （a 是常数且a ≠0）其中(i =1,2, , n )．则

∑∆x

i =1

n

i

=0．

证明 因为n 元函数f 在D 上满足n 元函数的罗尔定理的条件，所以，∃θ∈(0, 1) ，使得

∑f '(x

i =1

x i

n

10

+θ∆x 1, , x n 0+θ∆x n ) ∆x i =0，

由已知条件，点P 3(x 10+θ∆x 1, , x n 0+θ∆x n ) ∈D ，有f x '(P 3) =a ，i =1, 2, , n ．

i

所以，

∑a ∆x

i =1

n

i

=0，a ∑∆x i =0．

i =1

n

因此，∑∆x i =0．

i =1

n

例2.4 若f (x , y , z ) =sin x sin y sin z ，证明对某θ∈(0, 1) 有

ππθπθπθππθπθπθππθπθπθ=cos sin sin +sin cos sin +sin sin cos ． [1**********]46

证明 三元函数f (x , y , z ) =sin x sin y sin z 在凸开域D ⊂R 3上连续，在

D 的所有内点都可微，则对D 内任意两点P 1(x 1, y 1, z 1) ，