任意角与弧度制导学案

第一章 三角函数

1.1.1 任意角

【学习目标】

1． 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念

2． 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示 【学习重点、难点】

用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入

问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？

______________________________________________________ 所学的角的范围是什么？

______________________________________________________ 问题2：在体操、跳水中，有“转体720”这样的动作名词，这里的“720”，怎么刻画？ ______________________________________________________

二、建构数学 1．角的概念

角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。

2．角的分类

按__________方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。

如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_________重合。这样，我们就把角的概念推广到了___________，包括_______、________和________。

3. 终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个_________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 ______.

4．象限角、轴线角的概念

我们常在直角坐标系内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。

如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________.

1

象限角的集合

（1）第一象限角的集合：_______________________________________

（2）第二象限角的集合：_______________________________________

（3）第三象限角的集合：_______________________________________

（4）第四象限角的集合：_______________________________________

轴线角的集合

（1）终边在x轴正半轴的角的集合：_______________________________________

（2）终边在x轴负半轴的角的集合：_______________________________________

（3）终边在y轴正半轴的角的集合：_______________________________________

（4）终边在y轴负半轴的角的集合：_______________________________________

（5）终边在x轴上的角的集合：_______________________________________

（6）终边在y轴上的角的集合：_______________________________________

（7）终边在坐标轴上的角的集合：_______________________________________

三、课前练习

在直角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。

300,1500,600,3900,3900,1200

【典型例题】

例1 （1）钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？

（2）若将钟表拨慢了10分钟，则时针和分针分别转了多少度？

2

例2 在0到360的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角。

（1）650 （2）150 （3）240 （4）99015

例3 已知与240角的终边相同，判断

00

'



是第几象限角。 2

例4 写出终边落在第一、三象限的角的集合。

例5 写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）

（1） （2） （3）

【拓展延伸】

3

已知角是第二象限角，试判断

【巩固练习】



为第几象限角？ 2

1、设60，则与角终边相同的角的集合可以表示为___________________.

2、把下列各角化成k3600(003600,kZ)的形式，并指出它们是第几象限的角。 （1）1200 （2）55 （3）1563 （4）1590

3、终边在y轴上的角的集合_______________________________;终边在直线yx上的角的集合______________________;终边在四个象限角平分线上的角的集合_________________________. 4、 终边在30角终边的反向延长线上的角的集合___________________________.

5、 若角的终边与45角的终边关于原点对称，则___________；若角，的终边关于

00

__. 直线xy0对称，且60，则__________

6、集合A{|k9036,kZ}，

. B{|18001800}，则AB_________

7、若



是第一象限角，则的终边在_______________________________ 2

【课后训练】

1、 分针走10分钟所转过的角度为___________;时针转过的角度为____________.

00

2、若90135，则的范围是_________，的范围是________.

4

3、（1）与3530'终边相同的最小正角是________;

（2）与715终边相同的最大负角是_______________; （3）与1000终边相同且绝对值最小的角是__________;

（4）与1778终边相同且绝对值最小的角是___________.

4、与15终边相同的在108003600之间的角为_______________________.

5、已知角,的终边相同，则的终边在___________________________.

6、若是第四象限角，则1800是第_____象限角；1800是第____象限角。

7、若集合A{|k1800300k1800900,kZ}， 集合B{|k3600450k3600450,kZ}，

0000

___. 则AB__________

8、已知集合M{锐角（1）PN，}，N{小于900的角}，下列说法：}，P{第一象限的角（2）NPM，（3）MP，（4）(MN)P其中正确的是____________.

9、角小于180而大于180，它的7倍角的终边又与自身终边重合，求角。

10、已知与60角的终边相同，分别判断

【课堂小结】

5

00



，2是第几象限角。 2

【布置作业】

1.1.2 弧度制

【学习目标】

3． 理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数

4． 掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题 5． 了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系 【学习重点、难点】

弧度的概念，弧度与角度换算 【自主学习】 一、复习引入

请同学们回忆一下初中所学的1的角是如何定义的？

二、建构数学 1．弧度制

角还可以用__________为单位进行度量，

___________________________________叫做1弧度的角，用符号_____表示，读作________。 2．弧度数：正角的弧度数为_________，负角的弧度数为_________，零角的弧度数为_____如果半径为r的圆心角所对的弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是_________。 这里，的正负由____________________________________决定。 3．角度制与弧度制相互换算

360°＝_________rad 180°＝_________rad 1°＝_________rad 1 rad＝_________°≈ _________°

4．角的概念推广后,在弧度制下, ________________与______________之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数(即_______________)与它对应;反过来,每一个实数也都有________________(即_______________)与它对应。 5．弧度制下的弧长公式和扇形面积公式：

角的弧度数的绝对值||______________ （l为弧长，r为半径）

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弧长公式：____________________________

扇形面积公式：____________________________

【典型例题】

例1．把下列各角从弧度化为度。 （1）

35 （2） （3） （4）2 （5）3.5 5126

例2．把下列各角从度化为弧度。

（1）750 （2）1440 （3）6730 （4）252 （5）1115'

例3．（1）已知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，求该扇形的面积。

（2）已知扇形周长为4cm，求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数。

例4．已知一扇形周长为C(C0)，当扇形圆心角为何值时，它的面积最大？并求出最大面积。

7

'

00

【巩固练习】

2、若角3，则角的终边在第____象限；若6，则角的终边在第___象限。

3、将下列各角化成2k,(02)，kZ的形式，并指出第几象限角。 （1）

1922230

（2）315 （3） （4） 332

4、圆的半径为10，则2的圆心角所对的弧长为______；扇形的面积为________。

5、用弧度制表示下列角终边的集合。

（1）轴线角 （2）角平分线上的角 （3）直线y3x上的角

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6、若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么该圆弧的圆心角等于_____。

【课堂小结】

【布置作业】

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