高中数学导数及其应用知识点
导数知识点归纳及其应用
●知识点归纳
一、相关概念 1.导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量∆x ,那么函数y 相应地有增量∆y =f(x 0+∆x )-f (x 0),比值
∆y
叫做函数y=f(x )在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率,即∆x
∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y =。如果当∆x →0时,有极限,我们就说函数y=f(x)在点x 0∆x ∆x ∆x
处可导,并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|x =x 0。 即f’(x 0)=lim 说明:
(1)函数f (x )在点x 0处可导,是指∆x →0时,就说函数在点x 0处不可导,或说无导数。
(2)∆x 是自变量x 在x 0处的改变量,∆x ≠0时,而∆y 是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数y=f(x )在点x 0处的导数的步骤: ① 求函数的增量∆y =f(x 0+∆x )-f (x 0); ② 求平均变化率
∆x →0
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y
=lim 。 ∆x →0∆x ∆x
∆y ∆y
有极限。如果不存在极限,∆x ∆x
∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0)
=; ∆x ∆x
③ 取极限,得导数f’(x0)=lim
∆y
。
∆x →0∆x
例:设f(x)= x|x|, 则f ′( 0)= . [解析]:∵lim
∆x →0
f (0+∆x ) -f (0) f (∆x ) |∆x |∆x
=lim =lim =lim |∆x |=0 ∴f ′( 0)=0 ∆x →0∆x →0∆x →0∆x ∆x ∆x
2.导数的几何意义
函数y=f(x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f(x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f(x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f’(x 0)。 相应地,切线方程为y -y 0=f(x 0)(x -x 0)。
/
例:在函数y =x 3-8x 的图象上,其切线的倾斜角小于
是 A .3
B .2
C .1
π
的点中,坐标为整数的点的个数4
( )
D .0
[解析]:切线的斜率为k =y /=3x 2-8 又切线的倾斜角小于故0
π
,即0
88或
故没有坐标为整数的点
3. 导数的物理意义
如果物体运动的规律是s=s(t ),那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s '(t )。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v(t ),则该物体在时刻t 的加速度a=v ′(t )。 例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数,其图像可能是( ) A .
答:A 。
B .
C .
D .
练习:已知质点M 按规律s =2t +3做直线运动(位移单位:cm ,时间单位:s )。
2
∆s
; ∆t ∆s
(2) 当t=2,∆t =0. 001时,求;
∆t
(1) 当t=2,∆t =0. 01时,求(3) 求质点M 在t=2时的瞬时速度。
答案:(1)8.02(2)8.002;(3)8
二、导数的运算
1.基本函数的导数公式: ①C '=0; (C 为常数) ②x n
()'=nx
n -1
;
③(sinx ) '=cos x ;
④(cosx ) '=-sin x ; ⑤(e x ) '=e x ; ⑥(a x ) '=a x ln a ;
1
; x 1
⑧(l o g a x )'=log a e .
x
⑦(ln x )'=
例1:下列求导运算正确的是 ( )
A .(x+) '=1+
x
x
1x 11
B.(log 2x) ′=
x ln 2x 2
2
C .(3) ′=3log 3e D. (xcosx) ′=-2xsinx
例2:设f 0(x ) = sinx ,f 1(x ) =f 0′(x ) ,f 2(x ) =f 1′(x ) ,…,f n +1(x ) = f n ′(x ) ,n ∈N ,则f 2005(x ) = ( )
A .sinx B.-sinx C.cos x D.-cosx
2.导数的运算法则
法则1:两个函数的和(或差) 的导数, 等于这两个函数的导数的和(或差) , 即: (u ±v ) =u ±v .
法则2:两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以第二个函数, 加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即:(uv ) =u v +uv .
若C 为常数, 则(Cu ) =C u +Cu =0+Cu =Cu . 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: (Cu ) =Cu .
法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,
'
'
'
'
'
'
'
'
' ' ' ' '
'
⎛u ⎫u ' v -uv '
再除以分母的平方: ⎪=(v ≠0)。 2
v ⎝v ⎭
例:设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数, 当x <0时, f '(x ) g (x ) +f (x ) g '(x ) >0. 且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)<0的解集是 ( )
A . (-3,0)∪(3,+∞) B. (-3,0)∪(0, 3) C. (-∞,- 3)∪(3,+∞) D. (-∞,- 3)∪(0, 3)
/
[解析]:∵当x <0时, f '(x ) g (x ) +f (x ) g '(x ) >0 ,即[f (x ) g (x )]>0
∴当x <0时,f(x)g(x)为增函数,
又g(x)是偶函数且g(3)=0,∴g(-3)=0,∴f(-3)g(-3)=0 故当x 0时,f(x)g(x)为增函数,且f(3)g(3)=0 故当0
3. 复合函数的导数
形如y=f[ϕ(x ) ]的函数称为复合函数。复合函数求导步骤: 分解——>求导——>回代。
法则:y '|X = y'|U ·u '|X 或者f '[ϕ(x )]=f '(μ)*ϕ'(x ) .
练习:求下列各函数的导数: (1)y =
x +x 5+sin x
x
2
; (2)y =(x +1)(x +2)(x +3);
11-x
+
11+x
.
x x ⎫
(3)y =-sin ⎛ 1-2cos 2⎪; (4)y =
2⎝
4⎭
三、导数的应用
1. 函数的单调性与导数
'
(1)设函数y =f (x ) 在某个区间(a ,b )可导,如果f (x ) >0,则f (x ) 在此区间上为'
增函数;如果f (x )
(2)如果在某区间内恒有f (x ) =0,则f (x ) 为常数。
例:函数f (x ) =x -3x +1是减函数的区间为
A .(2, +∞) B .(-∞, 2) C.(-∞, 0)
D.(0,2)
32
( )
2.极点与极值:
曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;
32
例:函数f (x ) =x +ax +3x -9, 已知f (x ) 在x =-3时取得极值,则a = ( )
A .2
3.最值:
B.3 C.4 D.5
在区间[a,b]上连续的函数f (x ) 在[a,b]上必有最大值与最小值。但在开区间(a ,b )内
连续函数f (x )不一定有最大值,例如f (x ) =x 3, x ∈(-1,1) 。
求最值步骤:
①求函数ƒ(x ) 在(a,b) 内的极值;②求函数ƒ(x ) 在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b); ③将函数ƒ(x ) 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。
说明:(1)函数的最大值和最小值是一个整体性的概念,最大值必须是整个区间上所有函
数值中的最大值,最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。
(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值。
例:函数f (x ) =x 3-3x +1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是 .
●经典例题选讲
例1. 已知函数y =x f '(x ) 的图象如图所示(其中 f '(x ) 是函数f (x ) 的导函数),下面四个图象中y =f (x ) 的图象大致是
( )
例2. 设f (x ) =ax +x 恰有三个单调区间,试确定a 的取值范围,并求其单调区间。
例3. 已知函数f (x ) =x +bx +c x +d 的图象过点P (0,2), 且在点M (-1, f (-1)) 处的
3
2
3
切线方程为6x -y +7=0. (Ⅰ)求函数y =f (x ) 的解析式; (Ⅱ)求函数y =f (x ) 的单调区间.
例4. 设函数f (x )=x 3+bx 2+cx (x ∈R ) ,已知g (x ) =f (x ) -f '(x ) 是奇函数。
(Ⅰ)求b 、c 的值。 (Ⅱ)求g (x ) 的单调区间与极值。
例5. 已知f (x )=x +ax +bx +c 在x=1,x=-(1)求a 、b 的值。
(2)若对x ∈[-1, 2],都有f (x )
例6. 已知x =1是函数f (x ) =mx 3-3(m +1) x 2+nx +1的一个极值点,其中
3
2
2
时,都取得极值。 3
1
恒成立,求c 的取值范围。 c
m , n ∈R , m
(I )求m 与n 的关系式; (II )求f (x ) 的单调区间;
(III )当x ∈[-1,1]时,函数y =f (x ) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ,求m 的取值范围.
例7:(2009天津理20)已知函数f (x ) =(x +ax -2a +3a ) e (x ∈R ), 其中a ∈R
(1) 当a =0时,求曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))处的切线的斜率;
w.w.w.k s.5.u.c.o.m 22x
(2) 当a ≠
2
时,求函数f (x ) 的单调区间与极值。 3
w.w.w. .s.5.u.c.o.m 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。
参考答案:
例1 [解析]:由函数y =x f '(x ) 的图象可知:
当x 0,此时f (x ) 增 当-10,f '(x ) 1时,x f '(x ) >0,f '(x ) >0,此时f (x ) 增,故选C
例2.
解:f '(x ) =3ax +1
若a >0,f '(x ) >0对x ∈(-∞, +∞) 恒成立,此时f (x ) 只有一个单调区间,矛盾 若a =0,f '(x ) =1>0 ∴ x ∈(-∞, +∞) ,f (x ) 也只有一个单调区间,矛盾 若a
2
1|a |
) ⋅(x -1|a |
1|a |) 和(
) ,此时f (x ) 恰有三个单调区间 1|a |
∴ a
(-
1|a |
,
1|a |
)
例3 .
解:(Ⅰ)由f (x ) 的图象经过P (0,2),知d=2, 所以f (x ) =x +bx +cx +2,
3
2
f '(x ) =3x 2+2bx +c .
由在M (-1, f (-1)) 处的切线方程是6x -y +7=0,知
-6-f (-1) +7=0, 即f (-1) =1, f '(-1) =6. ⎧3-2b +c =6, ⎧2b -c =3, ∴⎨即⎨解得b =c =-3.
-1+b -c +2=1. b -c =0, ⎩⎩
故所求的解析式是 f (x ) =x -3x -3x +2.
3
2
(Ⅱ)f '(x ) =3x 2-6x -3. 令3x 2-6x -3=0, 即x 2-2x -1=0.
解得 x 1=1-2, x 2=1+2. 当x 1+2时, f '(x ) >0; 当1-2
故f (x ) =x 3-3x 2-3x +2在(-∞, 1-2) 内是增函数, 在(1-2, 1+2) 内是减函数,在(1+2, +∞) 内是增函数. 例4.
解:(Ⅰ)∵f (x )=x +bx +cx ,∴f '(x )=3x +2bx +c 。从而
3
2
2
g (x ) =f (x ) -f '(x ) =x 3+bx 2+cx -(3x 2+2bx +c ) =x 3+(b -3) x 2+(c -2b ) x -c 是
一个奇函数,所以g (0)=0得c =0,由奇函数定义得b =3;
32
(Ⅱ)由(Ⅰ)知g (x ) =x -6x ,从而g '(x ) =3x -6,由此可知,
(-∞,
和+∞) 是函数g (x
) 是单调递增区间;(是函数g (x ) 是单调
递减区间;
g (x
) 在x =
, g (x
) 在x =
-。
例5.
解:(1)由题意f (x )=3x +2ax +b 的两个根分别为1和-
/
2
2
3
由韦达定理,得:1- 则a =-
22a b 2=-,=1⨯(-)
3333
1
,b =-2 2
3
12
x -2x +c ,f /(x )=3x 2-x -2 2
22///
当x ∈[-1, -) 时,f (x ) 0,当x ∈(-, 1) 时,f (x ) 0,当x ∈(1, 2]时,f (x ) >0,
33
2221
+c ,f (-1) =+c , f (2) =2+c , 当x =-时,f (x ) 有极大值2732
(2)由(1),有f (x )=x -
∴ 当x ∈[-1, 2],f (x ) 的最大值为f (2) =2+c 对x ∈[-1, 2],都有f (x )
2
解:(I)f '(x ) =3mx -6(m +1) x +n 因为x =1是函数f (x ) 的一个极值点,
11恒成立,∴2+c
2-1, 或c
所以f '(1)=0, 即3m -6(m +1) +n =0,所以n =3m +6
(II )由(I )知,f '(x ) =3mx 2-6(m +1) x +3m +6=3m (x -1) ⎢x - 1+
⎡⎣⎛⎝2⎫⎤⎪⎥ m ⎭⎦
当m 1+
2
,当x 变化时,f (x ) 与f '(x ) 的变化如下表: m 2 m
x
f '(x ) f (x )
2⎫⎛
-∞,1+ ⎪
m ⎝⎭
调调递减
1+
2⎫⎛
1+,1⎪
m ⎝⎭>0
单调递增
1
(1, +∞)
单调递减
0 极小值
0 极大值
故有上表知,当m
⎛⎝2⎫
⎪单调递减, m ⎭
2
,1) 单调递增,在(1,+∞) 上单调递减. m
2
(III )由已知得f '(x ) >3m ,即mx -2(m +1) x +2>0
2222
(m +1) x +
设g (x ) =x -2(1+) x +,其函数开口向上,由题意知①式恒成立,
m m
2
又m
22⎧
⎧g (-1)
3⎩g (1)
所以-
例7.
解:(I )当a =0时,f (x ) =x e ,f ' (x ) =(x +2x ) e ,故f ' (1) =3e .
2
x
2
x
4⎛4⎫
所以曲线y =f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线的斜率为3e .
(II )f ' (x ) =x +(a +2) x -2a +4a e .
[
22
]
x
w.w.w. s.5.u.c.o.m
令f ' (x ) =0,解得x =-2a ,或x =a -2. 由a ≠
以下分两种情况讨论。 (1)若a >
2
知,-2a ≠a -2. 3
2
,则-2a <a -2. 当x 变化时,f ' (x ) ,f (x ) 的变化情况如下表:
所以f (x ) 在(-∞,-2a ) ,(a -2,+∞) 内是增函数,在(-2a ,a -2) 内是减函数.
函数f (x ) 在x =-2a 处取得极大值f (-2a ) ,且f (-2a ) =3ae -2a . w.w. w. .s. 5.u.c.o.m
函数f (x ) 在x =a -2处取得极小值f (a -2) ,且f (a -2) =(4-3a ) e a -2.
(2)若a <
2
,则-2a >a -2,当x 变化时,f ' (x ) ,f (x ) 的变化情况如下表:所以f (x ) 在(-∞,a -2) ,(-2a ,+∞) 内是增函数,在(a -2,-2a ) 内是减函数。
函数f (x ) 在x =a -2处取得极大值f (a -2) ,且f (a -2) =(4-3a ) e a -2.