第四章图形的相似
图形的相似
比例线段及其性质 1、定义: 对于四条线段 a、b、c、d,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另外两条线段的比相等,如果 那么就说这四条线段 a、b、c、d 叫做成比例线段,简称比例线段。 注意: (1)在做比之前单位要统一 (2)要有一定的顺序 例题:如四条线段的长度分别是 4cm、8cm、3cm、6cm 判断这四条线段是否成比例? 解:
a c , b d
4 3 8 6
这四条线段是成比例线段
练习题:
AB CD AC AC 1、如图所示: (1)求线段比 BC 、 DE 、 BE 、 CD
(2)试指出图中成比例线段 2、线段 a、b、c、d 的长度分别是 30mm、2cm、0.8cm、12mm 判断这四条线段是否成比例? 3、线段 a、b、c、d 的长度分别是 2 、 3 、2、 6 判断这四条线段是否成比例? 4、已知 A、B 两地的实际距离是 250m 若画在图上的距离是 5cm,则图上距离与实际距离的比是___________ 5、已知线段 a=
b y 1 a c 、 b = 2 3 、c= 2 3 、若 ,则 x =_________若 y 0 ,则 y =__________ 2 b x y c
2、比例性质: 比例性质是根据等式的性质得到的,推理过程如下:
a c ,那么 ad bc (两边同乘 bd , bd 0 ) b d b d a b c d 、 、 在 abcd 0 的情况下,还有以下几种变形 a c c d a b a c ab cd (2) 合比性质:如果 ,那么 b d b d
(1) 基本性质:如果 (3) 等比性质:如果
a c e b d f
m b d f n
n 0 ,那么
ace bd f
m a n b
例题
填空: 如果
2b a 2 ,则 a = 、 3 b 3
2 3 = 、 a b
ab 5 = 、 b 3
ab 1 = b 3
练习题:
a 3 ab ,求 b 5 ab a 2b 3c a b c 2、若 ,则 =_________ a 2 3 4 3、已知 mx ny ,则下列各式中不正确的是(
1、已知 A
) D
m x n y
B
m n y x
x =_______ y
C
y m x n
x y n m
4、已知 5x 7 y 0 ,则
5、已知
x yz x y z ,求 =________ 3 4 5 x yz
比例线段阶段测试: (满分 20 分)
一、填空题(每空 1 分,共 6 分) 1、 已知线段 b 是线段 a、c 的比例中项,且 a=3,c=4,则 b=________ 2、 已知两地的实际距离是 400m,画在地图上的距离(图距)为 8cm 则图距:实距=_______ 3、 在 ABC 中, A : B : C 1: 2 : 3 ,则 a:b:c=_________ 4、 在相同时刻的物高与影长成正比, 如果在某时, 旗杆在地上的影长为 10m, 此时身高 1.8m 的小明的影长是 1.5m, 则旗杆的高度为___________ 5、 如图:已知菱形 ADEF,AC=15,AB=10,则 CF=_________ 二、选择题(每题 1 分,共 4 分) 1、下列四组线段中,不成比例的是 ( ) A a=3 b=6 c=2 d=4 C a=4 b=6 c=5 d=10 B a=1 b= 2 c= 3 d= 6 D a= 2 b= 3 c=2 d= 6 )
2、在直角三角形中,若有一个锐角为 30 ,则这个直角三角形三边的比为 ( A 1:2:3 B 1: 3 :2 C1: 3 : 2
D 以上答案都不对 )
3、如图:在梯形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,则下列不成立的是 (
AO BO CO DO AO BO C DO CO
A
AO CO AO D AC
B
DO BO DO BD
)
4、已知线段 AB 的长为 15,点 C 在 AB 上,且 AC:BC=3:2,则 BC 的长为 ( A2 B3 C6 D8 三、解答题(每题 5 分,共 10 分) 1、在 ABC 中,D、E 分别在 AB、AC 上,且 DE//BC,如果 2、在 ABC 中,DE//BC,EF//DC,求证 AD AB AF
2
AD 2 ,且 AC=10,求 AE 及 EC 的长。 DB 3
较难题
1、已知
a b c d = = = =k ,求 k 的值; bcd acd bad bca
2、 已 知
xz y z x y = = =k , 求 k 值 . x z y
3、已 知 ( a+b ) : ( b+c ) : ( c+a ) =7 : 14 : 9
求 : ① a: b: c ②
a 2 ab . c 2 bc
4、. 设 a , b , c 是 △ ABC 的 三 条 边 , 且
ab bc ca = = , 判 断 △ ABC 为 何 种 三 角 形 , 并 说 明 理 由 . c b a
平行线分线段成比例
1、平行线分三角形两边成比例线段 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所截得的对应线段成比例 例题:如图在 ABC 中, C 90 , DE BC, BD 3cm, DC 2cm, BE 5cm 求 EA 的长 解:
C 90 D E B C AC //DE BD BE DC EA
B D 3 c m , DC 2 c,m B E5 cm
BD
练习题:
DC
BE 3 5 EA 2 EA
EA= 10
3
1、 如图,在 Rt ABC 中, C 90 ,DE 交 AB 于 D,交 AC 于 E,如果 DE=5,AE=12, AC=28.求 AB 的长 2、在 ABC 中,DE//BC,交 AB 于 D,交 AC 于 E,F 为 BC 上一点,DE 交 AF 于 G,已知 AD=2BD,AE=5,求 (1)
AG ; (2)AC 的长 AF 4 ,由此判断 DE 与 BC 的 3
3、如图:在 ABC 中,点 D、E 分别在 AB、AC 上,已知 AD=3,AB=5,AE=2,EC=
关系是___________,理由是____________________________ 4、 如图:AM:MB=AN:NC=1:3,则 MN:BC=__________ 5、 如图:在 ABC 中, C 90 ,四边形 EDFC 为内接正方形,AC=5,BC=3,求:AE:DF 的比值。
第 1 题图
2、平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边反向延长线)所构成的三角形与原三角形相似 例题:如图:DE//BC,交 AB 于 D、交 AC 于 E,若 AD:DB=2:3,BC=15,求 DE 的长 解: DE//BC △ADE∽△ABC AD:DB=2:3 DE:BC=2:5 BC=15 DE=6 练习题: 1、如图:DE//BC,则图中________∽__________,理由是__________ 2、如图:AB//EF//DC,则图中相似三角形有_______对,它们分别是________ 3、如图:在 ABC 中,DE//BC,AD=EC、BD=1cm,AE=4cm、BC=5cm,求 DE 的长 第 1 题图 4、如图:AB//CD,OA:OD=1:2,AB=4cm,则 CD 的长为 ( ) A 2cm B 6cm C 8cm D 10cm 5、如图:AB//CD,则图中有_______对相似三角形
第 2 题图
较难题
1 、 己 知 : 如 图 , 在 菱 形 ABCD 中 , 点 E 、 F 分 别 在 边 BC 、 CD , ∠ BAF= ∠ DAE , AE 与 BD 交 于 点 G . ( 1 ) 求 证 : BE=DF ; ( 2) 当
DF AD = 时 , 求 证 : 四 边 形 BEFG 是 平 行 四 边 形 . FC DF
2 、 已 知 : 如 图 , 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , E 、 F 分 别 是 边 BC , CD 上 的 点 , 且 EF ∥ BD , AE 、 AF 分 别 交 BD 与 点 G 和 点 H , BD=12 , EF=8 . 求 : ( 1)
DF 的值; AB
( 2 ) 线 段 GH 的 长 .
3 、如 图 ,在 直 角 梯 形 ABCD 中 , DC ∥ AB ,∠ DAB=90 °, AC ⊥ BC , AC=BC ,∠ ABC 的 平 分 线 分 别 交 AD 、 AC 于 点 E , F, 则
BF 的值是( EF
) B . 2+
A.
2 −1
2
C.
2 +1
D.
2
4 、 如 图 , 已 知 梯 形 ABCD 中 , AB ∥ DC , △ AOB 的 面 积 等 于 9 , △ AOD 的 面 积 等 于 6 , AB=7 , 求 CD 的 长 .
5 、 如 图 , 在 矩 形 ABCD 中 , E 是 边 CB 延 长 线 上 的 点 , 且 EB=AB , DE 与 AB 相 交 于 点 F , AD=2 , CD=1 , 求 AE 及 DF 的 长 .
6 、如 图 ,△ ABC 为 等 边 三 角 形 ,点 E 在 BA 的 延 长 线 上 ,点 D 在 BC 边 上 ,且 ED=EC .若 △ ABC 的 边 长 为 4 ,AE=2 , 则 BD 的 长 为 ( A. 2 ) B. 3 C.
3
D.
3
+ 1
相似多边形 1、 相似形定义:具有相同形状的图形称为相似形 2、 相似多边形:对应角相等,对应边成比例的多边形叫相似多边形 3、 相似多边形的性质: 1 相似多边形的对应角相等,对应边的比相等 ○ 反过来,如果两个多边形满足对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相似。 例题:如图:已知,四边形 ABCD 与四边形 ABC D 相似,求 BC , C D 长和 D 的大小 解: 四边形 ABCD 四边形 ABC D
A A 150
D 360 150 60 75 75
BC AB C D BC AB CD BC 5 C D 即 8 4 5 BC 10 25 C D 4
5
练习题: 1、下列说法正确的是 ( ) A 任意两个菱形一定相似 B 任意两个矩形一定相似 C 有一个角是 30 的两个等腰三角形相似 D 任意两个等腰直角三角形一定相似 2、已知 AOB 26 ,在放大镜里看到的 AOB 的度数是___________ 3、在 ABC 中,BC=15cm,AC=45cm,AB=54cm,另一个与它相似的三角形最短边是 5cm,则最长一边是_ ______ 4、用一个放大镜看一个四边形 ABCD,若该四边形的边长放大 10 倍后,下列说法正确的是( ) A A 是原来的 10 倍 B 周长是原来的 10 倍 C 每个内角都发生了变化 D 以上说法都不对 5、四边形 ABCD 与四边形 A B C D 相似图形,且 A 与 A 、B 与 B 、C 与 C 是对应点,已知 AB=10、BC=8、 CD=8、AD=6、 AB 30 ,求四边形 ABC D 的其余三边的边长及周长。 6、 正五边形 ABCDE∽正五边形 ABC DE ,且
AB 2 ,若 C D 6 ,则 CD=___ AB
2 相似多边形对应边,周长的比等于相似比,相似多边形面积的比等于相似比的平方 ○ 例题:如图:在等腰梯形 ABCD 中,上底为 5,下底为 13,腰长为 5,等腰梯形 ABC D 与它相似,相似比为 求等腰梯形 ABC D 的周长及面积。 解:○ 1 由已知得 AB=5 、AD=BC=5、 DC=12
3 , 2
等腰梯形 ABCD 的周长为 5+5+5+12=27 等腰梯形 ABCD∽等腰梯形 ABC D 设等腰梯形 ABC D 周长为 l,则有 l 3 81 81 l 即 等腰梯形 ABC D 的周长为 27 2 2 2
2 ○ 过 A、B 分别作 AE DC 、 BF DC 则 EF=AB=5 DE=CF=
1 13 5 4 2
在 Rt ADE 中,AD=5、DE=4 AE=3
等腰梯形 ABCD 的面积为 5 13 3
等腰梯形 ABCD∽等腰梯形 ABC D 设等腰梯形 ABC D 面积为 S,则有
1 27 2
S 3 27 2
2
S= 60
3 4
即等腰梯形 ABC D 的面积为 60
3 4
练习题: 1、已知多边形 A 与多边形 B 相似,且多边形 A 与多边形 B 的周长比为 1:3,则 SB : SA =______ 2、已知两个相似多边形的相似比为 5:7,若较小的一个多边形的周长为 35,则较大的一个多边形的周长为___ __,若较大的一个多边形的面积是 4,则较小的一个多边形的面积是_____ 3、两个相似多边形的最长边分别是 70 和 28,它们的周长和为 280,则它们的周长分别为_______ 4、如果把一个 12cm 21cm的矩形按相似比为
3 进行变换,得到的新矩形的周长为___面积为____ 4
5、两个相似多边形一组对应边的长分别是 3cm 和 4cm,它们的面积相差 28 cm2 ,求这两个多边形的面积分别是多 少?
较难题:
1 、 如 果 两 个 相 似 多 边 形 的 面 积 比 为 16 : 9 , 那 么 这 两 个 相 似 多 边 形 的 相 似 比 为 ( A . 16 : 9 B. 4: 3 C. 2: 3 ) D . 256 : 81
2、 下 列 说 法 中 , 错 误 的 是 ( A. 等 边 三 角 形 都 相 似 C. 矩 形 都 相 似
) B. 等 腰 直 角 三 角 形 都 相 似 D. 正 方 形 都 相 似
3 、 如 图 , 梯 形 ABCD 中 , AD ∥ BC , E 、 F 两 点 分 别 在 AB 、 DC 上 . 若 AE=4 , EB=6 , DF=2 , FC=3 , 且 梯 形 AEFD 与 梯 形 EBCF 相 似 , 则 AD 与 BC 的 长 度 比 为 何 ? ( A. 1: 2 B. 2: 3 ) C. 2: 5 D. 4: 9
4 、 在 一 张 由 复 印 机 复 印 出 来 的 纸 上 , 一 个 多 边 形 图 案 的 一 条 边 由 原 来 的 1cm 变 成 2cm , 那 么 这 次 复 印 出 来 的 多边形图案面积是原来的( A. 1 倍 ) C. 3 倍 D. 4 倍
B. 2 倍
5 、 如 图 , 把 矩 形 ABCD 对 折 , 折 痕 为 MN , 矩 形 DMNC 与 矩 形 ABCD 相 似 , 已 知 AD =
2 ,求
AB 的 长 .
6 、在 一 次 手 工 课 上 ,小 明 把 一 张 长 AB=a cm ,宽 BC=b cm 的 矩 形 报 纸 ABCD 沿 着 过 AB 、 CD 的 中 点 的 直 线 EF 对 折 后 , 发 现 矩 形 AEFD 的 长 与 宽 之 比 等 于 矩 形 ABCD 的 长 与 宽 之 比 , 则 a : b 等 于 ( A. )
2 :1
B. 1:
2
C.
3 :1
D. 1:
3
相似三角形 1、相似三角形的定义:对应角相等,对应边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。 (1)判定方法一 :如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,简单说 成:两角对应相等,两三角形相似。 例题:在 ABC 和 DEF 中,点 A、B、C 分别对应点 D、E、F,且 A 70 、 B 34 、 D 70 ,则当 F ______时, ABC ∽ DEF 解:∵∠A=∠D=70°,∠B=∠E=34° ∴△ABC∽△DEF ∴∠F=180°-∠D-∠E=76° 答案:76° 练习题: 1、如图:在 ABC 中, BAC 90 ,AD 是 BC 边上的高,图中相似的三角形共有( ) A 4对 B3对 C2对 D1对 2、如图:矩形 ABCD,E、F 分别为 CD、BC 上的点,且 AEF 90 ,则一定有( ) A △ADE∽△ECF B △AEF∽△ABF C △ECF∽△AEF D △ADE∽△AEF 3、如图:已知 PQR 是等边三角形, APB 120 ,证明:○ 1 △PAQ∽△BPR ○ 2 AQ RB QR
2
2 4、如图: BAC 90 ,BD=DC、DE BC,交 AC 于 E、交 BA 的延长线于 F,证明: AD DE DF
5、如图:在正方形 ABCD 中,AB=2,E 是 BC 的中点,DF AE 垂足为 F,求证:△ABE∽△DFA
(3)判定方法三:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似,简单 说成:三边对应成比例两三角形相似。 例题:根据下列条件判断 ABC 与 ABC 是否相似 AB=5cm, BC=6cm, AC=7cm AB 10cm , BC 12cm , AC 14cm 解:
AB 5 1 BC 6 1 AC 7 1 、 、 AB 10 2 BC 12 2 AC 14 2 AB BC AC C A C A B B ABC ∽ ABC
练习题: 1、 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边_______,那么这两个三角形相似 2、 已知,在 ABC 和 DEF 中,AB=4、BC=5、AC=8、DE=6、DF=12,那么 EF=_______时, ABC ∽ DEF 3、 一个直角三角形的两条直角边分别为 3cm、4cm,另一个直角三角形的两条直角边分别为 6cm、8cm,这两 个直角三角形是否相似?为什么? 4、 已知, ABC 的三边分别为 6cm、7.5cm、9cm, DEF 的一边长为 4cm,当 DEF 的另外两条边长是下列 哪组时,这两个三角形相似 ( ) A 2cm 、3cm B 4cm 、5cm C 5cm 、6cm D 6cm 、7cm 5、如图:已知
AB BC AC ,证明:△BAD∽△CAE AD DE CE
(2)判定方法二:如果一个三角形的两条边与另外一个三角形的两条边对应成比例,并且这两条边的夹角相等, 那么这两个三角形相似,简单说成:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。 例题:如图:BC 平分 ABD ,AB=4、BD=10、BC= 2 10 ,求证:△ABC∽△CBD 证明: BC 平分 ABD
1 2
AB=4、BD=10、BC= 2 10
AB 4 1 0 BC 2 10 10 AB BC 10 、 、 BD 10 5 BC BD 5 BC 2 1 0 5
△ABC∽△CBD
练习题: 1、 判断 ABC 与 ABC 是否相似并说明理由。 A 100 AB=5cm AC=15cm
A 100
AB 4cm
AC 12cm
AD 1 、AE=BE,证明: AED ∽ BDC AC 3
2、 已知线段 AC、BD 相交于 O,如图:OC:OB=1:2,OA=6cm、OD=3cm、AB=7cm,则 CD=____________ 3、 如图:在 ABC 中,D、E 分别在 AC、AB 上,且
4、在 ABC和DEF 中, A 30 、AB=8cm、AC=10cm、DE=4cm、DF=5cm 当______时△ABC∽△DEF 5、如图:正方形 ABCD 中,P 是 BC 上一点,且 BP=3PC、Q 是 CD 的中点,则
AQ ____ PQ
较难题
1 、 如 图 , AB ∥ FC , D 是 AB 上 一 点 , DF 交 AC 于 点 E , DE=FE , 分 别 延 长 FD 和 CB 交 于 点 G . ( 1 ) 求 证 : △ ADE ≌ △ CFE ; ( 2 ) 若 GB=2 , BC=4 , BD=1 , 求 AB 的 长 .
2 、 如 图 , 在 正 方 形 ABCD 中 , 点 M 是 BC 边 上 的 任 一 点 , 连 接 AM 并 将 线 段 AM 绕 M 顺 时 针 旋 转 90 °得 到 线 段 MN , 在 CD 边 上 取 点 P 使 CP=BM , 连 接 NP , BP . ( 1 ) 求 证 : 四 边 形 BMNP 是 平 行 四 边 形 ; ( 2 ) 线 段 MN 与 CD 交 于 点 Q , 连 接 AQ , 若 △ MCQ ∽ △ AMQ , 则 BM 与 MC 存 在 怎 样 的 数 量 关 系 ? 请 说 明 理 由 .
3 、 如 图 , 在 四 边 形 ABCD 中 , AB=AD , AC 与 BD 交 于 点 E , ∠ ADB= ∠ ACB . ( 1) 求 证 :
AB AC = ; AE AD
( 2 ) 若 AB ⊥ AC , AE : EC=1 : 2 , F 是 BC 中 点 , 求 证 : 四 边 形 ABFD 是 菱 形 .
4 、 如 图 , 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 1 , AB 边 上 有 一 动 点 P , 连 接 PD ,线 段 PD 绕 点 P 顺 时 针 旋 转 90 °后 , 得 到 线 段 PE , 且 PE 交 BC 于 F , 连 接 DF , 过 点 E 作 EQ ⊥ AB 的 延 长 线 于 点 Q . ( 1 ) 求 线 段 PQ 的 长 ; ( 2 ) 问 : 点 P 在 何 处 时 , △ PFD ∽ △ BFP , 并 说 明 理 由 .
5 、 如 图 , △ ABC 中 , D 、 E 两 点 分 别 在 BC 、 AD 上 , 且 AD 为 ∠ BAC 的 角 平 分 线 . 若 ∠ ABE= ∠ C , AE : ED=2 : 1 , 则 △ BDE 与 △ ABC 的 面 积 比 为 何 ? ( A. 1: 6 B. 1: 9 ) C . 2 : 13 D . 2 : 15
6 、如 图 ,在 △ ABC 中 ,D 、E 分 别 是 AB 、BC 上 的 点 ,且 DE ∥ AC ,若 S △ B D E :S △ C D E =1 :4 ,则 S △ B D E :S △ A C D =( A . 1 : 16 B . 1 : 18 C . 1 : 20 D . 1 : 24
)
7 、 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , Rt △ ABO 的 顶 点 O 与 原 点 重 合 , 顶 点 B 在 x 轴 上 , ∠ ABO=90 °, OA 与 反 比 例 函 数 y=
k 的 图 象 交 于 点 D , 且 OD=2AD , 过 点 D 作 x 轴 的 垂 线 交 x 轴 于 点 C . 若 S x
四边形
ABCD
=10 , 则 k 的 值 为
___________ .
8 、 如 图 , 在 边 长 为 9 的 正 三 角 形 ABC 中 , BD=3 , ∠ ADE=60 °, 则 AE 的 长 为 ___________ .
9 、 如 图 , 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , 过 点 A 作 AE ⊥ BC , 垂 足 为 E , 连 接 DE , F 为 线 段 DE 上 一 点 , 且 ∠ AFE= ∠ B . ( 1 ) 求 证 : △ ADF ∽ △ DEC ; ( 2 ) 若 AB=8 , AD=6
3 , AF=4 3 , 求
AE 的 长 .
10 、 已 知 : 在 直 角 梯 形 ABCD 中 , AD ∥ BC , ∠ C=90 °, AB=AD=25 , BC=32 . 连 接 BD , AE ⊥ BD 垂 足 为 E . ( 1 ) 求 证 : △ ABE ∽ △ DBC ; ( 2 ) 求 线 段 AE 的 长
竞赛题
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 【例1】 如图, DE ∥ BC ,且 DB AE ,若 AB 5 ,AC 10 ,求 AE 的长。
A
D
E
B
C
例二、 如图,已知 AB / / EF / / CD ,若 AB a , CD b , EF c ,求证: .
A C E F D
1 c
1 a
1 b
B
【巩固】如图, AB BD , CD BD ,垂足分别为 B 、 D , AC 和
BD 相交于点 E , EF BD ,垂足为 F .证明:
1 1 1 . AB CD EF
C A E
B
F
D
专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例2】 (2007 年北师大附中期末试题) (1)如图(1) ,在 ABC 中, M 是 AC 的中点, E 是 AB 上一点,且 AE AB , 连接 EM 并延长,交 BC 的延长线于 D ,则
BC _______. CD
1 4
(2)如图(2) ,已知 ABC 中, AE : EB 1: 3 , BD : DC 2 :1 , AD 与 CE 相交于 F ,则 为( A. )
5 2 3 2
EF AF 的值 FC FD
B.1
C.
D.2
A E M
A E F B D (2) C
B (1)
C
D
【例3】 (2001 年河北省中考试题)如图,在 ABC 中, D 为 BC 边的中点, E 为 AC 边上的任意一点, BE 交 AD 于点 O . (1)当
AE 1 AO 的值; 时,求 AC 2 AD
A E O
AE 1 1 AO (2)当 的值; 、 时,求 AC 3 4 AD
(3)试猜想
AE 1 AO 时 的值,并证明你的猜想. AC n 1 AD
B
D
C
【例4】 (2003 年湖北恩施中考题)如图, AD 是 ABC 的中线,点 E 在 AD 上, F 是 BE 延长线与 AC 的交点. (1)如果 E 是 AD 的中点,求证:
AF 1 ; FC 2
(2)由(1)知,当 E 是 AD 中点时,
AF 1 AE 成立,若 E 是 AD 上任意一点( E 与 A 、 D 不重 FC 2 ED
A
合) ,上述结论是否仍然成立,若成立请写出证明,若不成立,请说明理由.
F E B D C
【巩固】 (天津市竞赛题)如图,已知 ABC 中, AD 是 BC 边上的中线, E 是 AD 上的一点,且 BE AC ,延长 BE 交 AC 于 F 。求证: AF EF 。
A F E B D C
专题三、利用平行线转化比例 【例5】 如图,在四边形 ABCD 中, AC 与 BD 相交于点 O ,直线 l 平行于 BD ,且 与 AB 、 DC 、 BC 、 AD 及 AC 的延长线分别相交于点 M 、 N 、 R 、 S 和 P . 求证: PM PN PR PS
A B D l R S
O C N P
M
【巩固】已知,如图,四边形 ABCD ,两组对边延长后交于 E 、 F ,对角线 BD∥EF , AC 的延长线交 EF 于 G .求证: EG GF .
A
B C E
D
G
F
【例6】 已知: P 为 ABC 的中位线 MN 上任意一点, BP 、 CP 的延长线分别交对 边 AC 、 AB 于 D 、 E ,求证:
AD AE 1 DC EB
A E M P B D N
C
【例7】 在 ABC 中,底边 BC 上的两点 E 、 F 把 BC 三等分, BM 是 AC 上的中 线, AE 、 AF 分别交 BM 于 G 、 H 两点,求证: BG : GH : HM 5 : 3 : 2
A
M G B E H F C
【例8】 如图, M 、 N 为 ABC 边 BC 上的两点,且满足 BM MN NC ,一条 平行于 AC 的直线分别交 AB 、 AM 和 AN 的延长线于点 D 、 E 和 F . 求证: EF 3DE .
A D E B M F N C
【例9】 已知:如图,在梯形 ABCD 中, AB / / CD , M 是 AB 的中点,分别连 接 AC 、 BD 、 MD 、 MC ,且 AC 与 MD 交于点 E , DB 与 MC 交于 F . (1)求证: EF / / CD (2)若 AB a , CD b ,求 EF 的长.
A E M F B
D
C
【巩固】 (山东省初中数学竞赛题)如图,在梯形 ABCD 中, AD ∥ BC ,
AD 3 ,BC 9 ,AB 6 , CD 4 ,若 EF ∥ BC ,且梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的周长相
等,求 EF 的长。
A D
E B
F C
黄金分割
如图,在线段 AB 上截取这条线段的 0.618 倍得到点 C,则点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果
AC BC 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割,点 C 叫做 AB 的黄金分割点,AC 与 BC 的比 (或 BC 与 AC 的比) 叫做 AB AC
黄金比
1 、美 是 一 种 感 觉 ,当 人 体 的 下 半 身 长 与 身 高 的 比 值 越 接 近 0.618 时 越 给 人 一 种 美 感 .已 知 某 女 士 身 高 160cm , 下 半 身 长 与 身 高 的 比 值 是 0.60 , 为 尽 可 能 达 到 好 的 效 果 , 她 应 穿 的 高 跟 鞋 的 高 度 约 为 ( A . 6cm B . 10cm C . 4cm D . 8cm )
2 、在 中 华 经 典 美 文 阅 读 中 ,小 明 同 学 发 现 自 己 的 一 本 书 的 宽 与 长 之 比 为 黄 金 比 .已 知 这 本 书 的 长 为 20cm ,则 它的宽约为( A . 12.36cm ) B . 13.6cm C . 32.36cm D . 7.64cm
3 、乐 器 上 的 一 根 琴 弦 AB=60 厘 米 ,两 个 端 点 A ,B 固 定 在 乐 器 版 面 上 ,支 撑 点 C 是 AB 的 黄 金 分 割 点( AC > BC ), 则 AC 的 长 为 ( A . 90-30 ) B . 30+30
5
5
C . 30
5 -30
D . 30
5 -60
4 、 已 知 P 是 线 段 AB 的 黄 金 分 割 点 , AB=6cm , 那 么 AP=____________________cm .
5 . 如 图 , 在 直 线 L 上 依 次 取 三 点 A 、 B 、 C , BC > AB 且 BC=a , 在 直 线 L 的 同 侧 作 两 个 黄 金 矩 形 ABDE 和 BCGF , 即 AE : AB=FB : BC= (
5 -1 ) : 2 , 连 接
EF , EC , FC , 则 △ CEF 的 面 积 等 于 ___________ .
6、 阅 读 理 解 : 如 图 1 , 点 C 将 线 段 AB 分 成 两 部 分 , 若
AC BC = , 则 点 C 为 线 段 AB 的 黄 金 分 割 点 . AB AC
某研究学习小组,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,而给出“黄金分割线”的定义:直线 l 将一个面积 为 S 的 图 形 分 成 两 部 分 ,这 两 部 分 的 面 积 分 别 为 S 1 、S 2 ,如 果 问题解决: 如 图 2 , 在 △ ABC 中 , 若 点 D 是 AB 的 黄 金 分 割 点 . ( 1 ) 研 究 小 组 猜 想 : 直 线 CD 是 △ ABC 的 黄 金 分 割 线 , 你 认 为 对 吗 ? 为 什 么 ? ( 2) 请 你 说 明 : 三 角 形 的 中 线 是 否 也 是 该 三 角 形 的 黄 金 分 割 线 ? ( 3 ) 研 究 小 组 探 究 发 现 : 过 点 C 作 直 线 交 AB 于 E , 过 D 作 DF ∥ CE , 交 AC 于 F , 连 接 EF ( 如 图 3 ) , 则 直 线 EF 也 是 △ ABC 的 黄 金 分 割 线 . 请 你 说 明 理 由 .
S1 S
=
S2 S1
,那 么 称 直 线 l 为 该 图 形 的 黄 金 分 割 线 .
相似三角形的性质:
相似三角形的性质(1)相似三角形的周长比等于相似比 例题: ABC 与 ADE 相似, CE=15、AE=30、DE=40、AD=20、DE//BC,求 ABC 的周长 解: DE//BC △ADE∽△ABC
相似比
AE AE AC AE CE
CE=15、AE=30
AE 3 0 2 AC 4 5 3
AE=30、DE=40、AD=20 的周长为 20+40+30=90 A D E 设 ABC 周长为 l 则有
90 2 l 3
l=135 即 ABC 的周长为 135
练习题: 1、两个相似三角形的相似比为 3:5,则周长比为__________
2、两个相似三角形的相似比的平方等于 2,周长之比为 k ,则
1 =__________ k 1
3、两个相似三角形一对对应边的长分别为 35cm 和 15cm,它们的周长差为 60cm,则这两个三角形的周长分别是 _____________ 4、 如图: 在 ABC 中, D、 E、 F 分别是边 AB、 BC、 AC 的中点, 若 ABC 的周长为 20cm,则 DEF 的周长为 ( A 5cm B 10cm C 12cm D 15cm )
5、如图:在梯形 ABCD 中,AD//BC,AC 与 BD 相交于 O,若 AOD 与 COB 的周长之比为 1:4,且 BD=12cm, 则 BO 的长为__________ cm 相似三角形的性质(2) :相似三角形的面积比等于相似比的平方 例题:两个相似三角形一组对应边的长分别是 3cm 和 4.5cm,若它们的面积和是 78 cm2 ,则较大的三角形的面积是 ( ) B 52 cm2 C 54 cm2 D 56 cm2
A 42 cm2
练习题: 1、 相似三角形的周长比等于________面积比等于___________ 2、 已知两个相似三角形的对应边的比为 1:2 则它们的周长比为______面积比为________ 3、已知△ABC∽△A`B`C`,它们的周长分别为 56c、72 cm,则它们的面积比为_________ 4、在比例尺为 1:1000 的地图上有一块周长为 6cm,面积为 1.2 cm 的区域,这块区域的实际周长为___________ 面积为__________ 5、如图:在 ABC 中,DE//FG//BC、且 AD=DF=FB,则 S ADE : S四边形DEGF : S四边形FGCB = _______
相似三角形的性质(3) :相似三角形对应边上的高、对应边上的中线对应边上的角平分线的比等于相似比 例题:如图:在边长为 2 的正方形 ABCD 中,E 为 AB 的中点,BM CE、MN BE,求 BM:MN 解: 四边形 ABCD 正方形,边长为 2,E 是 AB 的中点 BE=1 在 Rt BCE 中,BC=2、BE=1
CE= 5
过点 M 作 MN BE
E B C E M B E E E Rt MBE R t B C ∽
CE BM 5 BE MN 1
练习题: 1、 两个相似三角形的对应高的比为 2 :3 ,则对应角平分线的比为 ______, 对应中线的比为_________, 面积比为 ____________ 2、 已知两个相似三角形对应角平分线的比为 4:5,周长和为 18cm,那么这两个三角形的周长分别是____________ 3、 若△ABC∽△A`B`C`,它们对应中线之比为 m,则对应周长比为______,对应面积比为_____ 4、 如图:在 Rt ABC 中,DE 垂直且平分 AB、AE//DF,则 DF:BE=________ 5、 如图:在 ABC 中,DE//BC、 ABC 与 ADE 的相似比为 5:4, AM BC 交 DE 于 M、已知 MN=2,求 AN 的长。
相似三角形性质部分综合练习
一选择题
1. 如果两个相似三角形对应角平分线的比为16:25,那么它们的面积比为( ) A .4:5 B .16:25 C .196:225 D.256:625
2. 如图1 ,D 为AB 边上一点,AD ∶DB =3∶4,DE ∥AC 交BC 于点E ,则S △BDE ∶S △AEC 等于( )
A .16∶21 B .3∶7 C.4∶7 D.4∶3
C
E 图1 图2
3. 如果两个等腰直角三角形斜边的比是1∶2,那么它们的面积的比是( ) A .1∶1 B .1∶2 C .1∶2 D.1∶4
4. 在△ABC 中,BC =15cm,CA =45cm,AB =63cm,另一个和它相似的三角形的最短边是5cm ,则这个三角形的最长边是( )
A .18cm B.21cm C.24cm D.19.5cm
5. 如图2∠BAC =90°,AD ⊥BC ,△ABE 、△ACF 都是等边三角形,则S △ABE :S △ACF 等于( ) A .AB ∶AC B .AD 2∶DC 2 C .BD 2∶DC 2
D .AC 2∶AB 2
6. 若△ABC 的周长为20cm ,点D ,E ,F 分别是△ABC 三边的中点, 则△DEF 的周长为( ) A.5cm
B.10cm
C.15cm
D.
20
cm
3
7. 在一张由复印机复印出来的纸上,一个多边形图案的一条边由原来的1cm 变成2cm ,那么这次复印出来的多边形图案面积是原来的( )
A .1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍
8. 如图3,已知DE ∥BC ,CD 和BE 相交于点O ,S ∆DOE ∶S ∆COB =4∶9, 则AE ∶EC 为( )
A、2∶1 B、2∶3 C、4∶9 D、5∶4 二,填空题
1. 如果两个相似三角形的相似比为1:4,则这两个三角形的对应的高的比为_______,对应角分线的比为____
2. 已知:如图4,在△ABC 中,DE ∥BC ,DE 分别与AB 、AC 相交于D 、E ,
AD :AB =1:3.若DE =2,则BC =_________.
B
图4
O
图5
C
3 如图5在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AC 、BD 交于O 点AD ∶BC =3∶7,则AO ∶OC = ,S ∆AOD ∶S ∆BOC = . 4两个相似三角形面积之差为9cm ,对应的中线的比是2∶3,这两个三角形的面积分别是 。
2
A
5. 把一个三角形放大成和它相似的三角形,如果边长扩大为原来的10 倍;如
果面积扩大为原来的10倍,那么,边长扩大为原来的 E 倍
6. 如图6AB 是斜靠在墙上的长梯,梯脚B 距墙1.6m ,梯上点D 距墙1.4m ,BD 55m .
B C 图5
图6
7. 两个相似三角形的一对对应边长分别是24cm 和12cm .
(1)若它们的周长和是120cm ,则这两个三角形的周长分别为 和 ; (2)若它们的面积差是420cm 2,则这两个三角形的面积分别为 和 .
三,计算题。
1. 如图,平行四边形ABCD 中,AE ∶EB =1∶2,求△AEF 与△CDF 的周长的比.
2
如果S △AEF =6cm,求S △CDF .
2. 如图,两根电线杆相距L m ,分别在高10m 的A 处和15m 的C 处用钢索将两杆固定,求钢索AD 与钢索BC 的交点M 离地面的高度MH .
B
D
3. 两个相似三角形面积的比为9∶16,其中小三角形的周长为36cm ,求另一个三角形的周长
4. 如图,若△ADE ∽△ABC ,DE 和AB 相交于点D ,和AC 相交于点E ,DE=2,BC=5, S △ABC =20,求S △ADE .
5 如图5,在△ABC 中,AB =14cm ,求△ADE 的面积和周长。
A E
AD 5
=,DE ∥BC ,CD ⊥AB ,CD =12cm , BD 9
B
利用相似测高
图5
C
例题:小强用以下方法来测量教学楼AB 的高度,如图所示:在水平地面上放一面平面镜与教学楼的距离EA=21m,当他与镜子的距离CE=2.5m时,他刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B ,已知他眼睛距地面的高度DC=1.6m,请你帮助小强计算出教学楼的高度AB 为多少米? 解:由题意可知
∠BEF =∠DEF 、∠AEF =∠CEF ∴∠BEA =∠DEC
AB ⊥AC C D ⊥A C ∴∠BAE =∠DCE =90︒ ∴∆BEA ∆DCE
∴
AE CE
= AB DC
EA=21m、CE=2.5m、DC=1.6m
∴AB=13.44m 即教学大楼的高度AB 是13.44m 练习题:
1、一条河的两岸有一段是平行的,在河的这一岸每隔5米有一棵树,在河的对岸每隔50米有一根电线杆,在这岸离开岸边25米处看对岸,看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,求河宽
2、已知如图:AB 为树、AC 是它的影长,AD 是一段树干,AD 的影长为AE ,AC=8m、AE=2m、AD=1.5m,求树高AB 的长
3、马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目,如图:跷跷板支柱AB 的高度为1.2米, (1)若吊环高度为2米,支点A 为PQ 中点狮子能否将公鸡送到吊环上?为什么?
(2)若吊环高度为3.6米,在不改变其他条件的前提下,移动支柱,当支点A 移到PQ
的什么位置时,狮子刚好
能将公鸡送到吊环上? 4、某社区拟筹资金2000元,计划在一块上、下底分别为10m 、20m 的梯形空地上种植花木,如图:他们想在∆AMD 和∆BMC 地带种植价格为10元/m2的太阳花,当∆AMD 地带种满花后已经花了500元,请预算一下,若继续在∆BMC 地带种植同样的太阳花,资金地否够用?并说明理由。
5、李乐同学要在校园里测量一棵大树的高度,他发现树旁有一根高2.5m 的电线杆,当他与大树和电线杆站在同一条直线上时,其前后距离,恰好使他的头顶、树顶、电线杆的顶点也都在一条直线上,他又用皮尺量得他和电线杆之间的水平距离为3m ,电线杆与树间的水平距离为10m ,同时他借助他1.7m 的身高,确定了树的高度,你能分析他是如何计算出来的吗?
第2题图 第3题图 第4题图
较难题
1、如图,矩形ABCD 为台球桌面,AD=260cm,AB=130cm,球目前在E 点位置,AE=60cm.如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去,经过反弹后,球刚好弹到D 点位置. (1)求证:△BEF ∽△CDF ; (2)求CF 的长.
2、如图,是一个照相机成像的示意图.
(1)如果像高MN 是35mm ,焦距是50mm ,拍摄的景物高度AB 是4.9m ,拍摄点离景物有多远?
(2)如果要完整的拍摄高度是2m 的景物,拍摄点离景物有4m ,像高不变,则相机的焦距应调整为多少?
3、一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D 的高度.如图,当李明走到点A 处时,张龙测得李明直立时身高AM 与影子长AE 正好相等;接着李明沿AC 方向继续向前走,走到点B 处时,李明直立时身高BN 的影子恰好是线段AB ,并测得AB=1.25m,已知李明直立时的身高为1.75m ,求路灯的高CD 的长.(结果精确到0.1m
)
4、阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m 宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC .
相似三角形应用综合练习
.
一、选择题
1.已知一棵树的影长是30m ,同一时刻一根长1.5m 的标杆的影长为3m ,则这棵树的高度是( )
A .15m
B .60m
C .20m
D .3m
2.一斜坡长70m ,它的高为5m ,将某物从斜坡起点推到坡上20m 处停止下,停下地点的高度为( ) A .
11m 7
B .
10m 7
C .
9m 7
D .
3m 2
3.如图所示阳光从教室的窗户射入室内,窗户框AB 在地面上的影长DE =1.8m ,窗户下檐距地面的距离BC =1m ,EC =1.2m ,那么窗户的高AB 为(
)
第3题图
A .1.5m B .1.6m C .1.86m D .2.16m
4.如图所示,AB 是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B 距离墙角1.6m ,梯上点D 距离墙1.4m ,BD 长0.55m ,则梯子长为(
)
A .3.85m B .4.00m
第4题图 C .4.40m
D .4.50m
二、填空题
5.如图所示,为了测量一棵树AB 的高度,测量者在D 点立一高CD =2m 的标杆,现测量者从E 处可以看到杆顶C 与树顶A 在同一条直线上,如果测得BD =20m ,FD =4m ,EF =1.8m ,则树AB 的高度为______m.
第5题图
6.如图所示,有点光源S 在平面镜上面,若在P 点看到点光源的反射光线,并测得AB =10m ,BC =20cm ,PC ⊥AC ,且PC =24cm ,则点光源S 到平面镜的距离即SA 的长度为______cm.
第6题图
三、解答题
7.已知:如图所示,要在高AD =80mm ,底边BC =120mm 的三角形余料中截出一个正方形板材PQMN .求它的边长.
8.如果课本上正文字的大小为4mm ×3.5mm(高×宽) ,一学生座位到黑板的距离是5m ,教师在黑板上写多大的字,才能使该学生望去时,同他看书桌上相距30cm 垂直放置的课本上的字感觉相同?
9.一位同学想利用树影测量树高,他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.8m ,但当他马上测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子在墙上,如图所示,他先测得留在墙上的影高为1.2m ,又测得地面部分的影长为5m ,请算一下这棵树的高是多少?
10.(针孔成像问题) 根据图中尺寸(如图,AB ∥A ′B ′) ,可以知道物像A ′B ′的长与物AB 的长之间有什么关
系? 你能说出其中的道理吗
?
11.在一次数学活动课上,李老师带领学生去测教学楼的高度,在阳光下,测得身高为1.65m 的黄丽同学BC
的影长BA 为1.1m ,与此同时,测得教学楼DE 的影长DF 为12.1m ,如图所示,请你根据已测得的数据,测出教学楼DE 的高度.(精确到
0.1m)
12.(1)已知:如图所示,矩形ABCD 中,AC ,BD 相交于O 点,OE ⊥BC 于E 点,连结ED 交OC 于F 点,作
FG ⊥BC 于G 点,求证点G 是线段BC 的一个三等分点.
(2)请你仿照上面的画法,在原图上画出BC 的一个四等分点.(要求:写出作法,保留画图痕迹,不要求证明
)
位似
1、 位似的定义:
两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线交于一点,对应边互相平行的两个图形叫做位似图形。交点叫做
位似中心。
例题:已知∆EFH 和∆MNK 是位似图形,请找出位似中心
A
练习题:
1、 如图:△ADE ∽△ABC , ∆ABC 与∆ADE _______位似图形(填“是”或“不是”) 2、 利用位似图形 可以将一个图形_________或___________
3、 下列说法正确的 ( )
A 相似的两个正五边形一定是位似图形 B 两个大小不同的正三角形一定是位似 C 两个位似图形一定是相似图形 D 所有的正方形都是位似图形 4、两个全等三角形 ( ) A 一定是位似图形 B 一定不是位似图形 C 不一定是位似图形 D 只能是位似图形 5、下列说法正确的是 ( )
A 两个位似图形一定是全等形 B 两个位似图形的对应点连线有可能不相交 C 两个位似图形的对应点连线的交点的个数有且只有一个 D 两个位似图形大小肯定相等
6、用放大镜把∆ABC 放大3倍后,下列结论正确的是 ( )
A ∠A 是原来的3倍 B 周长是原来的3倍 C 面积是原来的3倍 D ∠A 、周长、面积都是原来是3倍
2、 位似的性质:
位似图形对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的比等于相似比 例题:如图:五边形ABCDE 与五边形A 'B 'C 'D 'E '是位似图形,O 为位似中心、OD =
A 'B '1
OD ',则为 ( D )
AB 2
A 2:3 B 3:2 C1:2 D 2:1
练习题:
1、 四边形ABCD 与四边形A 'B 'C 'D '是位似图形,O 是位似中心若OA :O A '=1:3,那么AB :A 'B '=________ 2、如果两个多边形的位似比为1:2,那么它们的面积是 ( )
A 1:2
B 1:4
C 1:1
D 1
2
3、如图:四边形ABCD 与四边形A 'B 'C 'D '是位似图形、且P A :PA '=2:3,若四边形ABCD 面积为24cm , 则四边形A 'B 'C 'D '的面积为 ( )
A 36cm C 54cm
22
B 40cm D 48cm
2
2
第5题图
2
第3题图
4、 大矩形的周长是与它位似的小矩形的周长的2倍,小矩形的面积是5cm ,大矩形的长为5cm,
则大矩形的宽为
__________
5、 如图:五边形ABCDE 和五边形A 'B 'C 'D 'E '是两个位似图形、且PA '=
3、 位似变换与坐标的关系
在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为中心,相似比为k ,那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或
1
PA ,则AB :A 'B '=________ 3
-k
例题:∆ABC 三个顶点坐标分别为A (-6,6)、B (-8,2)、C (-4,0)、画出它的以原点为位似中心,相似比为位似图形。 解:○1
相似比为
1
的2
1 2
∴点A 的对应点A '的坐标为 -6⨯,6⨯ 类似的可以确定其他顶点的坐标 B ' -8⨯
⎛⎝
12
1⎫
⎪ 即(-3,3) 2⎭
⎛⎝11⎫
, 2⨯⎪ 即(-4,1) 22⎭1⎫, 0⎪ 即(-2,0) 2⎭
1 2
C ' -4⨯
2○
⎛⎝
相似比为
11⎫⎛
∴点A 的对应点A ''的坐标为 -6⨯-,6⨯-⎪ 即(3, -3)
22⎭⎝
类似的可以确定其他顶点的坐标B ''(4, -1) C ''(2,0)
练习题:
1、如图:若边长为2的正方形ABCD 和A 'B 'C 'D '是以点A 为对称中心的中心对称图形,则点C '的坐标为 ( )
A (-2,2)
B (2, -2) C (-2, -2)
D (-1, -2)
2、如图: ∆ABC 缩小后,得到∆A 'B 'C ',则∆ABC 与∆A 'B 'C '的位似比为____________
3、如图:已知E (-4, 2)、F (-1, -1)以O 为位似中心,按比例尺1:2,把∆EOF 缩小,则点E 的对应点E '的坐标为 ( )
A (2, -1)或(-2, 1)
B (8, -4)或(-8, 4)
C (2, -1)
D (8, -4)
4、在坐标系中正方形ABCE 各顶点的坐标分别为A (1, 1)、B (-1, 1)、C (-1, -1)、D (1, -1),
以坐标原点为位似中心,
将正方形ABCD 放大,使放大后的正方形A 'B 'C 'D '的边长是原正方形ABCD 的边长的3倍。 (1)写出A 'B 'C 'D '的坐标;(2)直线AC 与直线B 'D '垂直吗?说明理由。
第2题图
第1题图 4、 运用位似图形的有关概念解决具体问题
例题:印刷一张矩形的张贴广告,如图所示,它的印刷面积是32dm ,上下各空白1dm ,两边各空白0.5dm ,设印刷部分从上到下的长是x dm ,四周空白处的面积为S dm 2 (1)求S 和x 的关系式;
(2)当要求四周空白处的面积为18dm , 求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少? (3)在(2)的条件下,内外两个矩形的位似图形吗?说明理由。 解:(1)
印刷部分是矩形A 'B 'C 'D ',长为x ,面积为32dm
2
2
∴宽为
32
dm x
⎛32⎫
∴矩形ABCD 的长为(x +2)dm ,宽为 +1⎪dm
⎝x ⎭
∴S =(x +2)
64⎛32⎫
+1-32=+x + 2⎪
x ⎝x ⎭
64
+x +2 x
(2)当S=18时,则18=
解得x 1=x 2=8,即x =8
∴x +2=10,
32
+1=5 x
即用来印刷这张广告的纸张长为10dm ,宽为5dm
(3)内外两个矩形是位似图形,因为两矩形相似,且对应顶点的连线都经过矩形中心,如图所示
练习题:
1、如图:点B 和点C 之间的距离,因有障碍不能直接测量,现测得AB=25m、AC=20m、∠BAC =40︒,试用1:1000的比例尺画出∆ABC ,量出BC 的长,求出实际的距离。
2、 如图:铁道口的栏杆短臂长1m, 长臂长16m 。当短臂端点下降0.5m 时,长臂端点升高_______米
3天文学家泰勒斯曾用相似三角形的原理测量出金字塔的高度,他是怎样求出金字塔的高度的? 如图,如果木杆EF 长2m ,它的影长FD 为3 m,测得OA 为201 m,求金字塔的高度BO 。
4、如图27-2-26,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P ,在近岸取点Q 和S ,使点P 、Q 、S 共线且直线PS 与河垂直,接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ,确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R 。如果测得QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m,求河的宽度PQ 。
5、已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m,两树的根部的距离BD=5m,一个身高1.6m 的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L 从左向右前进,当他与左边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端点C ?
位似综合练习
1.已知:四边形ABCD 及点O ,试以O 点为位似中心,将四边形放大为原来的两倍.
(1)
(2)
(3)
(4)
2.如图,以某点为位似中心,将△AOB 进行位似变换得到△CDE ,记△AOB 与△CDE 对应边的比为k ,则位似中心的坐标和k 的值分别为(
)
A .(0,0) ,2
B .(2,2) ,1 2
C .(2,2) ,2
D .(2,2) ,3
3.已知:如图,四边形ABCD 的顶点坐标分别为A (-4,2) ,B (-2,-4) ,C (6,-2) ,D (2,4) .试以O 点为位似中
心作四边形A ' B ' C ' D ′,使四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′的相似比为1∶2,并写出各对应顶点的坐标.
4.已知:如下图,是由一个等边△ABE 和一个矩形BCDE 拼成的一个图形,其B ,C ,D 点的坐标分别为(1,2) ,(1,1) ,(3,1) .
(1)求E 点和A 点的坐标;
(2)试以点P (0,2) 为位似中心,作出相似比为3的位似图形A 1B 1C 1D 1E 1,并写出各对应点的坐标;
(3)将图形A 1B 1C 1D 1E 1向右平移4个单位长度后,再作关于x 轴的对称图形,得到图形A 2B 2C 2D 2E 2,这时它的各顶点坐标分别是多少?
5.在已知三角形内求作内接正方形.
6.在已知半圆内求作内接正方形.