上海高二数学矩阵及其运算

矩阵及其运算

矩阵的概念

⎛512128⎫⎛23m ⎫⎛23m 1⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪⎪

1、形如 ⎪、 363836⎪、 3-24⎪、 3-242⎪这样的矩形数表叫做矩阵。

⎝3⎭ 232128⎪ 41-n ⎪ 41-n 4⎪

⎝⎭⎝⎭⎭⎝

⎛b 1⎫

⎪b 2⎪ 2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量(a 1, a 2, ⋅⋅⋅a n )称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量称为 ⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝b n ⎭

列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m ⨯n 阶矩阵，m ⨯n 阶矩阵可记做A m ⨯n ，如矩阵 ⎪为

⎛1⎫⎝3⎭

⎛512128⎫ ⎪2⨯1阶矩阵，可记做A 2⨯1；矩阵 363836⎪为3⨯3阶矩阵，可记做A 3⨯3。有时矩阵也可用A 、B 等字母 232128⎪⎝⎭

表示。

3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m ⨯n 阶矩阵A m ⨯n 中的第i （i ≤m ）行第j （j ≤n ）列数可用

⎛512128⎫

⎪

字母a ij 表示，如矩阵 363836⎪第3行第2个数为a 32=21。

232128⎪⎝⎭

4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如

⎛000⎫

⎪为一个2⨯3阶零矩阵。

000⎝⎭

5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列），可称此方阵为n

⎛512128⎫⎛23m ⎫

⎪ ⎪

阶方阵，如矩阵 363836⎪、 3-24⎪均为三阶方阵。在一个n 阶方阵中，从左上角到右下角所有

232128⎪ 41-n ⎪⎝⎭⎝⎭

⎛10⎫

元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵 ⎪为2

01⎝⎭

⎛100⎫

⎪

阶单位矩阵，矩阵 010⎪为3阶单位矩阵。

001⎪⎝⎭

6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，

当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A =B 。

⎧2x +3y +mz =1⎛23m ⎫⎪ ⎪

7、对于方程组⎨3x -2y +4z =2中未知数x , y , z 的系数按原来的次序排列所得的矩阵 3-24⎪，我们叫

41-n ⎪⎪4x +y -nz =4⎝⎭⎩

⎛23m 1⎫

⎪

做方程组的系数矩阵；而矩阵 3-242⎪叫做方程组的增广矩阵。

41-n 4⎪⎝⎭

应用举例： 例1、已知矩阵A =

-x ⎫⎛2⎛x -y b -2a ⎫

且A =B ，求a 、b 的值及矩阵A 。 ⎪, B = 2⎪x +y ⎭⎝2x a +2b ⎭⎝y

例2、写出下列线性方程组的增广矩阵：

⎧x +2y -3z +2=0

⎧2x +3y =1⎪（1）⎨； （2）⎨-x +3y +2z -5=0

⎩4x -y =6⎪2x -y +z +3=0

⎩

例3、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：

⎛2-102⎫

23-5⎛⎫ ⎪

03-21（1） （2）⎪ ⎪ -124⎝⎭ 302-3⎪⎝⎭

例4、已知矩阵

⎛sin α+cos α⎝sin β+cos β0⎫⎡π⎫为单位矩阵，且α, β∈, π⎪，求sin (α-β)的值。 ⎪⎢1⎭⎣2⎭

矩阵的基本变换：

（1）互换矩阵的两行或两列；

（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数； （3）某一行乘以一个数加到另一行。

显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。 应用举例：

⎧4x +3y -z =5⎪

例1、用矩阵变换的方法解三元一次方程组⎨7x +2y +z =4的解。

⎪5x -2y -3z =8⎩

⎧ax +3y =2

例2、运用矩阵变换方法解方程组：⎨（a 、b 为常数）

2x -y =b ⎩

课堂练习：

用矩阵变换方法解下列问题：

⎧x +y =2

（1）若方程组⎨的解x 与y 相等，求k 的值。

⎩(k -1) x +(k +1) y =4

⎧3x -2y +z =0⎪

（3）解方程组：⎨x +y +2z =5

⎪5x -7y +8z =-1⎩

矩阵运算

（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容. ） 1．相等

定义 如果两个矩阵A =a ij

[]

m ⨯n

，B =b ij

[]

s ⨯p

满足：

(1) 行、列数相同，即 m =s , n =p ；

(2) 对应元素相等，即a ij = b ij (i = 1, 2, „, m ；j = 1, 2, „, n )， 则称矩阵A 与矩阵B 相等，记作 A = B

（由矩阵相等定义可知，用等式表示两个m ⨯n 矩阵相等，等价于元素之间的m ⨯n 个等式. ）例如，矩阵

A =⎢

那么A = B ，当且仅当

a 11 = 3，a 12 = 0，a 13 = -5，a 21 = -2，a 22 = 1，a 23 = 4

而

C = ⎢

⎡a 11⎣a 21

a 12a 22

a 13⎤⎡30-5⎤

， B = ⎢⎥⎥a 23⎦⎣-214⎦

⎡c 11⎣c 21c 12⎤

⎥c 22⎦

因为B , C 这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C 中的元素c 11, c 12, c 21, c 22取什么数都不会与矩阵B 相等.

2．加法

定义2.3 设A =a ij

[]

m ⨯n

，B =b ij

[]

s ⨯p

是两个m ⨯n 矩阵，则称矩阵

⎡a 11+b 11⎢a +b 2121

C = ⎢

⎢ ⎢

⎣a m 1+b m 1

a 12+b 12a 22+b 22

a m 2+b m 2

a 1n +b 1n ⎤ a 2n +b 2n ⎥

⎥

⎥

⎥

a mn +b mn ⎦

为A 与B 的和，记作

C = A + B = a ij +b ij

（由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算. ） 同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) =a ij -b ij 称D 为A 与B 的差. 例1 设矩阵A =⎢

[]

[]

⎡30-4⎤⎡-234⎤

， B =⎥⎢0-31⎥，求A + B ，A - B .

-25-1⎣⎦⎣⎦

⎛cos αcos β

例2、矩阵A =

⎝tan α0⎫⎛0⎪，B = 1⎭⎝tan β

⎛⎫- ⎪，C = 10

-tan αtan β⎭

-1

⎝

0⎫

π0⎪

C ，α∈(0,) ，，若A +B =

⎪27⎪⎭

πα+β

β∈(, π) ，求sin 的值。

2

2

矩阵加法满足的运算规则是什么？

设A , B , C , O 都是m ⨯n 矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则 1. 加法交换律： A + B = B + A ； 2. 加法结合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩阵满足： A + O = A ； 4. 存在矩阵-A ，满足：A -A = A + (-A ) = O .

3．数乘

定义2.4 设矩阵A =a ij

[]

m ⨯n

，λ为任意实数，则称矩阵C =c ij

[]

m ⨯n

为数λ与矩阵A 的数乘，其中

c ij =λa ij (i =1, 2, , m ; j =1, 2, n ) ，记为

C =λA

（由定义2.4可知，数λ乘一个矩阵A ，需要用数λ去乘矩阵A 的每一个元素. 特别地，当λ = -1时，λA = -A ，得到A 的负矩阵. ）

⎡3-17⎤⎢⎥ 例3 设矩阵A =-405，用2去乘矩阵A ，求2A. ⎢⎥

60⎥⎢⎣2⎦

数乘矩阵满足的运算规则是什么？ 对数k , l 和矩阵A = a ij

[]

m ⨯n

，B =b ij

[]

m ⨯n

满足以下运算规则：

1. 数对矩阵的分配律：k (A + B ) = kA + kB ； 2. 矩阵对数的分配律：( k + l ) A = kA + lA ； 3. 数与矩阵的结合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ； 4. 数1与矩阵满足： 1A = A .

⎡3-2⎤⎡4-3⎤⎢0⎥，B =⎢82⎥，求3A - 2B . 例4 设矩阵 A =5⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣16⎥⎦⎣-17⎥⎦

4．乘法

矩阵乘积的定义 设A =a ij 是一个m ⨯s 矩阵，B =b ij 是一个s ⨯n 矩阵，则称m ⨯n 矩阵C =c ij 为矩阵

[][][]

A 与B 的乘积，记作 C = AB . 其中c ij = a i 1b 1 j + a i 2b 2 j + „ + a i s bs j =

∑a

k -1

s

ik

b kj (i = 1, 2, „, m ；j = 1, 2, „, n ).

（由矩阵乘积的定义可知：）

(1) 只有当左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数时，A , B 才能作乘法运算AB ；

(2) 两个矩阵的乘积AB 亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A 的行数，它的列数等于右矩阵B 的列数； (3) 乘积矩阵AB 中的第i 行第j 列的元素等于A 的第i 行元素与B 的第j 列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则.

⎡2-1⎤⎢⎥ 例6 设矩阵 A = -40， B = ⎢⎥⎢5⎥⎣3⎦

⎡9-8⎤

⎢-710⎥，计算AB . ⎣⎦

例7 设矩阵 A = ⎢

⎡24⎤⎡2-2⎤

，B =⎥⎢-11⎥， 求AB 和BA . 12⎣⎦⎣⎦

由例6、例7可知，当乘积矩阵AB 有意义时，BA 不一定有意义；即使乘积矩阵AB 和BA 有意义时，AB 和BA 也不一定相等. 因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变.

在例6中矩阵A 和B 都是非零矩阵（A ≠O , B ≠O ）, 但是矩阵A 和B 的乘积矩阵AB 是一个零矩阵（AB = O ），即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵. 因此，当AB = O ，不能得出A 和B 中至少有一个是零矩阵的结论.

一般地，当乘积矩阵AB = AC ，且A ≠O 时，不能消去矩阵A ，而得到B = C . 这说明矩阵乘法也不满足消去律.

那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢？

矩阵乘法满足下列运算规则： 1. 乘法结合律：（AB ）C = A （BC ）； 2. 左乘分配律：A （B + C ） = AB + AC ； 右乘分配律：（B + C ）A = BA + CA ； 3. 数乘结合律：k （AB ）= （k A）B = A （k B），其中k 是一个常数. 例8：已知A =

⎛1⎫⎛01⎫

，矩阵B =⎪ ⎪，求AB 。 ⎪

⎝2⎭⎝10⎭

练习：计算下列矩阵的乘法

（1）(a 1a 2

⎛b 1⎫⎛a 1⎫ ⎪ ⎪b a 22

a n ) ⎪；（2） ⎪(b 1b 2

⎪ ⎪ ⎪ ⎪b ⎝n ⎭⎝a n ⎭

b n ) 。

例9、已知矩阵A =[f (x ) ]，B =[x 1-x ]，C =⎢

例10：将下列线性方程组写成矩阵乘法的形式

⎡x ⎤

⎥，若A=BC，求函数f (x ) 在[1,2] 上的最小值. 2a ⎣⎦

⎧2x -y +3z =1

⎧2x -y =1⎪（1）⎨；（2）⎨4x -2y +3z =1。

⎩4x +3y =7⎪2x -y +4z =-1

⎩

例11：若AB =BA ，矩阵B 就称为与A 可变换，设A =

⎛11⎫

⎪，求所有与A 可交换的矩阵B 。 ⎝01⎭

课堂练习与课后作业

一、选择题 1、“两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（ ）

A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件是 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件 2、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组⎨

⎧2x +3y =2

其中正确的是（ ）

⎩x -2y =-1

⎡23⎤⎡x ⎤⎡2⎤⎡21⎤⎡x ⎤⎡2⎤A 、⎢⎥⎢y ⎥=⎢-1⎥ B 、⎢3-2⎥⎢y ⎥=⎢-1⎥

1-2⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

C 、⎢

⎡23⎤⎡x ⎤⎡-2⎤⎡32⎤⎡x ⎤⎡2⎤

D 、==⎢⎥ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣1-2⎦⎣y ⎦⎣1⎦⎣-21⎦⎣y ⎦⎣-1⎦

⎛21⎫⎛-14⎫ ⎪ ⎪

3、若A = 03⎪，B = 20⎪，且2A -3X =B ，则矩阵X =___________.

-14⎪ 5-3⎪⎝⎭⎝⎭

4、点A （1，2）在矩阵⎢

⎡2-2⎤

对应的变换作用下得到的点的坐标是___________ ⎥

⎣01⎦

5、已知⎢

⎡00a ⎤

⎥是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，那么a+b= .

02b ⎣⎦

-sin α⎤

对应的变换作用下得到的点为（1，0），那么α= .

cos α⎥⎦

⎡cos α22

6、若点A (, ) 在矩阵⎢

22⎣sin α

7、若点A 在矩阵⎡-12⎤对应的变换作用下下得到的点为（2，4），那么点A 的坐标为 .

⎢-22⎥⎣⎦

8、已知A =⎢

-1⎡

⎣cos β-sin β⎡-1cos α+sin α⎤B =，⎢⎥-1⎦⎣22⎤

⎥若A=B，那么α+β. -1⎦

9、设A 为二阶矩阵，其元素满足，a ij +a ji =0i=1，2，j=1，2，且a 12-a 21=2，那么矩阵 .

⎛x 4⎫⎛1u ⎫

10：A = ⎪，B = ⎪，且A =B ，那么A+AB= 。

6y v 3⎝⎭⎝⎭

11、一个线性方程组满足，系数矩阵为单位矩阵，解为1行3列的矩阵(1,2,-1) ，那么该线性方程组为。

⎛1

-

⎛cos60︒-sin60︒⎫212、计算:

若矩阵A = ⎪，B =⎝sin60︒cos60︒⎭

⎪，则

AB =___________. ⎪1-⎪2⎭

⎛342⎫2⎫ ⎛11⎪

13、计算： ⎪ 546⎪⎝1-10⎭ 221⎪

⎝⎭

⎧x -y -6=0

14. 线性方程组⎨对应的系数矩阵是___________，增广矩阵是___________.

3x +5y +4=0⎩⎛2⎫

⎛-30⎫ ⎪

15、 已知矩阵A = 1⎪，B =(-1,2) ，C = ⎪，则(AB ) C =___________.

-12⎝⎭ -3⎪

⎝⎭

二、简答题

1.

⎛10⎫23n *

已知A = ⎪，分别计算A 、A ，猜测A (n ≥2，n ∈N ) ；

⎝11⎭

2.

⎛111⎫⎛x ⎫⎛6⎫ ⎪⎪ ⎪⑵ 1-21⎪y ⎪= 0⎪. 2-11⎪z ⎪ 3⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

将下列线性方程组写成矩阵形式，并用矩阵变换的方法求解: ⎧3x -2y -11=0⑴ ⎨；

2x +y -5=0⎩

3.

⎛20⎫⎛x ⎫⎛-2⎫若 ⎪⎪= ⎪，则x +y =__________

-13⎝⎭⎝y ⎭⎝7⎭

4、已知矩阵A =[f (x ) ]，B =[sin x 小值.

⎡cos x ⎤π

[0, ]上的最f (x ) ，若A=BC，求函数在cos x -2sin x ]，C =⎢⎥3⎣sin x ⎦