一些函数图像间的关系的教学案例
“一些函数图像间的关系”的教学案例
嘉定二中 俞建平
教学目标:
1、掌握一些函数图像间的关系,会用平移法与对称法作出一类函数的图像.
2、通过对问题的探究与解决,提高思维能力,培养勇于探索的科学精神.
3、通过提问、讨论、操作、探究等各种数学活动,体验问题解决的经历,激发学习数学的兴趣;并通过函数图像的对称美,体会数学美感,培养审美意识.
教学重点:
用平移法与对称法作函数的图像.
教学难点:
函数图像间的关系的探求.
教学过程:
一、知识回顾
师:在初中我们已经学过二次函数y =x 2的图像,请同学们回忆一下,当初是怎样作出它的图像的?
生1:用描点法.
师:那么函数y =(x -1) 2+2的图像呢?
生2:可以用描点法,也可以把函数y =x 2的图像先右平移1个单位,再向上平移2个单位而得到.
师:对!(用多媒体课件展示图像的变换过程) 师:上一课我们学习了幂函数的性质与图像.比如函数y =x ,它的图像怎样来作?
生3:先用描点法作出x ≥0时的图像,再根据它是偶函数,在x
师:很好!(用多媒体展示描点、连曲线、对称的过程)我们已经知道,把一个函数的图像左右上下平移,可以得到另一个函数的图像;利用函数的奇偶性也可以帮助我们作函数的图像.今天我们一起来研究一些函数的图像.
二、新课探究 11教师用多媒体出示问题一:给出函数f (x ) =,g (x ) =. x x -2
(1)作出函数f (x ) 的图像,并说明f (x ) 的性质;
(2)在同一坐标系内作出函数g (x ) 的图像,并说明g (x ) 与f (x ) 两者图像间
的关系.
师:我们先来解决第(1)个问题.
生4(把自己作的函数图像在实物投影仪上展示):函数f (x ) 是奇函数;在区间(-∞, 0) 和(0, +∞) 上分别是减函数.
师:这个问题比较简单,大家都完成得很好.下面谁来回答第(2)题? 生5:只要把f (x ) 的图像向右平移2个单位就可以得到g (x ) 的图像. 师:是吗?你是如何想到的?
生5:我是受到二次函数图像的启发而想到的.
师:嗯,学习知识就是要举一反三.我们来证明这个结论好吗?
教师分析:向右平移2个单位的含义是什么呢?(停顿片刻)当两个函数图像上的点的纵坐标相等时,g (x ) 的横坐标要比f (x ) 的横坐标大2.
1设函数y =f (x ) 图像上任一点P (a , ) ,那么函数y =g (x ) 图象上纵丛坐标为a
1的是哪一点? a
1生众:是(a +2, ) . a
师:对!记这一点为P '.也就是说,将点P 向右平移2个单位就与点P '重合.所以将函数y =f (x ) 的图像右平移2个单位就是函数y =g (x ) 的图像.
(用多媒体展示变换的过程:点的平移⇒图像平移)
师:请大家对照函数f (x ) 的性质,简要总结函数g (x ) 的性质.
(在讨论后)生6:函数y =g (x ) 在区间(-∞, 2) 和(2, +∞) 上都是减函数;图像关于点(2, 0) 成中心对称,是非奇非偶函数.
师:根据以上探索,我们能得出一个一般结论吗?
11生7:能!函数y =的图像是由函数y =的图像经过平移而得到.(师x +a x
追问:怎样移法?)a >0向左平移|a |个单位;a
点(-a , 0) 成中心对称.
师:很好!我们推导一般结论往往是先研究几个特殊情况,再进行推广的.下面我们一起来研究第二个问题.
x -11(多媒体出示)问题二:给出函数h (x ) =,说明h (x ) 的图像与f (x ) =,x -2x
1的图像间的关系;并作出函数h (x ) 的图像. x -2
师:请同学们分组讨论后来回答这一问题.
学生分组讨论,教师巡视各组讨论情况并给予适当启发点拨.讨论结束后,教师选择一个组的解答在实物投影仪上展示并请学生作说明.
x -2+11=1+生8:我们可以把h (x ) 变形为h (x ) =.所以只要把x -2x -2
11f (x ) =的图像先向右平移2个单位,得到g (x ) =的图像,再将g (x ) 的图x x -2g (x ) =
像向上平移1个单位,就得到函数h (x ) 的图像.
师:非常精彩!我们通过两次平移变换,把函数f (x ) 的图像变成了h (x ) 的图像.函数h (x ) 有些什么性质?
生9:在区间(-∞, 2) 和(2, +∞) 上都是减函数;图像关于点(2, 1) 成中心对称,是非奇非偶函数.
师:对!(用多媒体展示图像的变换过程)这一个问题比第一个问题多了一个上下平移.象上一个问题一样,我们也可推广出一个一般结论,请同学们课后完成.下面我们来研究第三个问题. (多媒体出示)问题三:作函数y =1的大致图像. |x |-1
师:请同学们自己独立探索完成,有问题可以相互讨论.
教师巡视,并不时给一些有困难的学生提示.
学生完成后,教师选择几份学生答案(有正确的,也有错误的)进行展示,并请两位学生说明自己的解答.
生10:我先作函数y =11的图像,根据y =是偶函数,用对称变换得到x |x |
y =11的图像,再把它向右平移1个单位,就得到函数y =的图像. |x ||x |-1
生10讲完后,众学生马上表示他的解答是错误的.
生11:他作出的是函数y =11的图象.错误是很明显的,因为y =|x -1||x |-1是偶函数,图像关于y 轴对称,而他作的图像是关于直线x =1对称的.应该先把y =11的图象先向右平移1个单位得到y =的图像,保留x ≥0的部分,再在x -1x
x
师:太棒了!请大家好好体会先平移后对称及先对称后平移两种作法的区别.关于这一函数的性质请大家自行总结,我们就不作讨论了.
三、巩固练习
师:刚才我们一起研究了用平移和对称的方法作函数的图像.现在就请大家动手实践一下.(用多媒体显示练习题)
x +71、作函数y =的大致图像,并写出它的单调区间. x +3
2、作函数y =1的大致图像,并写出它的单调区间,最大或最小值. |x |+1
学生完成后,教师选择几位学生进行演示,对解答中的错误开展讨论、纠正.
四、小结反思
师生共同小结本课所学内容,并对学习与探究的过程进行反思.
五、布置作业(略)
对本课教学设计的思考
本节课的主要内容是在学习了幂函数的性质与图像后,应用函数的奇偶性、ax +b 单调性及平移、对称变换,研究形如y =的分式函数的图像.这一节教学cx +d
内容是二期课改新教材中新增的内容,对学生的探究能力的要求较高.在教材的处理上,我们抽掉了原来的例5(函数和的图像)放到下一课处理,而把教学的重点放在函数图像的平移和对称变换上.为了研究的方便,对原来例4的三个小题进行了改编,突出了从易到难,由浅入深的知识探究过程.
在学习本节课的内容之前,学生已经学过二次函数和幂函数的图像用函数的单调性和奇偶性,具备了探索本课知识的基础.在引导学生复习旧知的基础上,设置适当的问题情景,为学生创设合适的条件来探究新的知识,发现规律.整堂课中问题的解决,都是由学生在独立探索、合作讨论的过程中完成,教师只是设计好问题的情景,在学生探究受阻时,恰当地进行一些启发、引导、点拨和评价,摒弃了以往由教师把规律和法则告诉学生,而学生进行一些模仿性的训练来达到掌握知识的目的的方法,突出了学习过程中学生的主体地位.另外,多媒体件的精心设计与恰当使用,使得知识探究过程中的动态变换恰到好处地表现了出来.
新教材要有新教法.在教学设计中,要本着让学生学会数学地思维,逐步学会数学抽象、探索和应用的基本方法及关注学生学习过程的教学理念,在教材的处理上下功夫,设计以解决问题的活动为基础的数学认知过程,以帮助学生经历数学学习的过程,使学生在获取知识和理解内化的学习过程中,学会探究,学会合作,学会交流,学会实践,从而达到发展数学能力和一般能力,学会数学学习和应用的基本方法的目的.