基本数学思想

基本数学思想：教材架构与教学思考

摘 要：数学思想是数学的灵魂，是数学科学发生和发展的根本。教材以数学抽象为主线引入数学研究的对象，以数学推理为主线建构数学内容体系，以数学建模为主线搭起数学与外部世界的桥梁。数学思想教学的基本方式和目标要求是“感悟”，“显化”在数学思考的过程之中。数学思想的教学要兼收并蓄、突出主干，体现阶段性，逐步提升学生的领悟水平。

关键词：基本数学思想 教材架构 教学策略

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程基本理念中强调：课程内容不仅包括数学结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。这一理念的阐述，丰富了数学课程内容的内涵，指明了数学教材建设的方向。以此为依据，新修订的数学教材更加关注“过程”与“结论”的和谐统一，使得数学思想、数学活动经验与数学知识技能等共同构成了教材的文化内涵。

一、基本数学思想的教材架构

数学思想是数学的灵魂，是数学科学发生和发展的根本。有了数学思想，数学知识便不再是孤立的。史宁中教授认为，“数学思想需要满足两个条件：一是数学产生、发展过程中所必须依赖的那些思想，二是学习过数学的人所具有的思维特征。基本数学思想主要有三种：抽象、推理和模型。整个数学学科就是建立在基本数学思想的基础上，并按照基本数学思想发展起来的。”[1]

苏教版义务教育小学数学教材坚持用基本数学思想统整全部内容，规划合理的内容结构，侧重引导学生经历简单的数学抽象过程、推理过程、建立模型过程。

（一）以数学抽象为主线引入数学研究的对象

数学是研究数量关系和空间形式的科学，数学研究的对象是一种抽象的存在。教材在编写时，注重精心选择素材，创设情境，把客观世界中与数量和图形有关的事物或现象抽象成数学研究的对象。

1. 数量与数量关系的抽象。

把数量抽象成数。数概念的形成与发展是“数与代数”学习的起点，整数、小数、分数的学习，是一个从具体事物和数量抽象为数的过程，是抽象水平不断提高的过程，学生认识数的过程也是逐步感悟抽象思想的过程。比如教学正整数的认识，教材按照“现实情境中的数量—实物（小棒、小方块等）表示数—计数器（或算盘）表示数—写数”的线索，引导学生经历数的抽象过程。再比如教学负整数的认识，教材选择温度计、海拔高度、收支盈亏、向不同方向走路等现实素材，从大量存在的具有相反意义的量中抽象出负数的意义。把数量抽象成数，并用符号表达，数学就有了研究的对象。

把数量多少关系抽象成数大小关系。抽象出研究对象不是根本，数学的本质是研究关系。数中最重要的关系是大小关系，大小关系是从数量里的多少关系抽象出来的。教

材结合认识10以内的数，通过创设童话情境，先引导学生比较同类事物数量的多少，再抽象出数的大小，进而演变为一般的序关系（一个自然数加1就可以得到下一个比它大1的数）。有了数的大小关系，就能派生出自然数的加法，进而建构四则运算；有了数概念“序”的特性，就为后面建构大数概念的更高程度的抽象提供经验支撑。

把数抽象成字母。从算术的学习走向代数的学习，是学生学习数学的重要转折点。如果说数字符号是对生活中各种物体个数的抽象概括，那么字母则是对各种数字符号的抽象概括。教学用字母表示数，教材以“用式子表示摆三角形用小棒的根数”为载体，引导学生经历“具体事物--个性化地表示--学会数学地表示”的抽象过程，体验字母表示数的概括性和抽象性。

2. 图形与图形关系的抽象。

几何学主要是研究几何体和几何图形的空间形式、位置关系和量的关系。把现实生活中与图形有关的事物抽象成平面图形，为几何学打开研究的大门。教材从学生熟悉的现实空间中的物体出发, 引导学生在观察、操作、比较等活动中逐步舍弃其他属性，对其形状、大小、位置等几何形态进行抽象和概括，进而获得相应的表象，建立几何图形概念。比如教学认识长方体，教材引领学生经历了两个层次的抽象过程：观察并交流生活中常见的长方体实物的过程，是学生舍弃它们的材质、颜色、用途等属性，对长方体的形状特征进行抽象的过程；从不同角度观察长方体模型的活动，是促进学生积极调度头脑中已形成的长方体表象，并试图以可视化的方式表示出来，实现用二维的几何图形表示三维的几何体，完成把物体抽象成几何图形的过程。“方向与位置”为研究图形关系打开大门。教学“认识方向”，教材通过创设现实情境，让学生在熟悉的环境中体验东、南、西、北、东南、东北、西南、西北，进而抽象成平面图，为进一步研究图形位置关系提供方法基础；教学“确定位置”，教材提供教室座位图，先让学生利用已有的经验描述小军的位置，再把日常生活中用行和列描述物体位置的经验抽象成有序的数对，过度到用数对表示平面上点的位置，为研究平面直角坐标系做好准备。

分类思想是由抽象思想派生出来的。分类为数学抽象活动提供必要的基础，教材对分类思想作了精心架构。在“数的运算”中，通过练习引导学生对式题进行分类，整体把握笔算方法；在“解决问题策略”中，引导学生经历分类列举的过程，感悟策略的价值；在“图形的认识”中，引导学生通过对图形进行分类，引入图形概念；在“数据的收集和整理”中，引导学生按不同的标准对数据进行分类，体会分类标准与分类结果之间的联系。等等。

（二）以数学推理为主线建构数学内容体系

推理是从一个或几个已知判断得出新判断。人们通过推理得到数学命题和算法，建构数学理论体系大厦。推理有两种形式，通过特例的分析引出普遍的结论叫归纳推理（包括类比推理），从普遍性结论或一般性的前提推出个别或特殊的结论叫演绎推理。在解决问题的过程中，归纳推理用于推断结论，演绎推理用于证明结论。数学的发展，既需要演绎推理，也需要归纳推理。

教材在编写时，注重处理好归纳推理与演绎推理的关系，坚持以推理思想为统领，形成数学概念，建立数学知识体系。

1. 从特殊到一般。

内容结构的建立。教材编写注重整体性，突出数学思想在内容结构中的作用，促使学生由此及彼、举一反三地进行探索性学习。如“图形面积计算”的教学内容，教材以化归思想统领整个内容领域，通过类似的编排线索，促进学生迁移感悟。

数学知识的形成。受小学生知识经验和认知水平的限制，小学数学中大部分知识的形成和建立，教材都采用归纳（主要是不完全归纳）方式展开。有的是建立在类比例举之上的归纳，有的是建立在抽象分析之上的归纳。

数学规律的探索。教材除了注重让学生在知识的形成、发展中经历由具体到一般的抽象、概括过程外，还通过选择一些探索性的问题，让学生在解决问题过程中拓展学习内容，体会归纳思想。一是通过习题引导学生体会不同领域数学内容之间的联系与综合，积累对基本数学思想的认识。例如，六年级(下册)“总复习”单元第11题，学生在解决问题的过程中不难归纳出“在正方形里画1×1个、2×2个、3×3个„„相同的尽量大的圆，圆面积的和都是正方形面积的78.5%。”尽管这一结论还需要进一步的证明，但这种由特殊现象归纳一般规律的过程却在学生头脑中留下了深刻的印记。二是安排“探索规律”专题活动，引导学生经历探索和发现规律的过程，体会由具体到抽象、由特殊到一般的数学思想。

2. 从一般到特殊。

数学结论的推导。在小学阶段，尽管很少涉及数学证明这样严格规范的演绎推理，但一些数学结论的推导过程同样蕴含了演绎思想。教材依据儿童的认知水平，从高年级开始安排借助演绎推理建构数学的活动。比如在“多边形的面积”单元中，教材先安排学生动手操作，建立图形之间的联系，然后组织学生讨论和分析，展开公式的推导过程。推导的过程，就是演绎方法的应用过程和演绎思想的感受过程。这种感受有助于建立对数学结论确定性的信念，有利于培养学生合乎逻辑的表达能力。

数学知识的应用。数学教材编排整体上是遵循“归纳—演绎”线索的，即先按照由具体到抽象、由特殊到一般学习新知识；再由一般到特殊，要求学生根据已经获得的定义、定律、公式等，去解决一个个具体的问题。例如，探索出“三角形的内角和是180°”后，让学生据此计算三角形未知角的度数，求出等腰直角三角形一个锐角的度数，推出顶角是60°的等腰三角形是正三角形。再如，通过归纳得到乘法分配律后，要求学生根据乘法分配律进行简便计算等。通过这样一些由一般向特殊的演绎，使抽象的数学概念、规律和原理具体化，有利于促进数学知识的理解和掌握，发展推理能力。

（三）以数学建模为主线搭起数学与外部世界的桥梁

数学得到的一些结论要应用于现实世界，主要是通过数学模型。数学模型是沟通数学与现实世界的桥梁。从广义上讲，一切数学概念、公式、数量关系、图形、表格，以及由它们所构成的算法系统，都可以称为数学模型。狭义上，数学模型专指针对一个个比较复杂的具体情境所建立的，旨在解决具体问题的、特定的模型。[2]在小学数学教材中，数学模型思想主要体现在：

实际问题中数量关系的抽象表达。教材分三个阶段编排数量关系的学习：一年级结合四则运算意义感知实际问题里各个数量之间的关系，体会加减乘除都是解决一类实际

问题的数学模型；二年级结合教学内容在练习中有针对性地编排一些表格式练习，引导学生提炼实际问题的具体数量关系式，为今后形成概括的数量关系式积累丰富的素材；四年级编排“常见的数量关系”单元，从大量的同类实际问题中概括出基本数学模型。学生获得这种概括程度较高的数量关系后，就能推广、识别任何同类数量关系。

列方程（或比例式）解决实际问题。方程是刻画现实世界数量关系的数学模型。教学列方程解决简单的实际问题，教材重在引导学生把实际问题抽象成数学语言（数量关系式），进而转换成符号语言（方程式），领会数学模型思想和基本过程。

函数思想是由模型思想派生出来。函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型，小学数学教学内容中蕴含丰富的函数思想，教材作了整体规划和孕伏。例如，结合“数的运算”教学，教材通过题组练习或试商、调商活动，引导学生感受变量思想；结合“解决问题的策略”教学，教材引导学生在尝试、假设、验证、调整过程中体会函数关系；结合“正比例和反比例”教学，教材引导学生从变化的数量中研究不变的关系。等等。

二、基本数学思想的教学思考

以基本数学思想统率知识的发生、发展过程，努力使学生在获得具体数学知识的同时受到相应数学思想的熏陶，是教材编写的致力追求。但教材本身毕竟是一个静态的结构系统，况且数学思想又内隐在该系统的表层之下。教学中，教师除了应挖掘教学内容的教育价值、把握基本思想的内涵实质外，还应注意以下几方面：

（一）数学思想教学的基本方式和目标要求是“感悟”

数学本身具有高度的抽象性，数学思想又是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。因此，就教学方式和目标要求而言，隐性的数学思想自然也区别于显性的数学知识，主要表现为“学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。”[3]这就是说，学生获得数学思想的基本方式与目标要求是“感悟”。

当然，数学课堂深入挖掘教学内容所蕴含的数学思想并融入数学知识的学习过程予以渗透是课程实施的要求，但如果试图将教师所获得的深刻理解也要求学生达到同样认识水平，就不切实际了。因此，数学思想教学还应根据学生年龄的特点把握教学的度。

（二）数学思想教学“显化”在数学思考的过程之中

数学思想教学应通过数学概念的形成和建立过程、数学规律的归纳和总结过程、数学问题的分析和解决过程来体现。比如，“问题情境—建立模型—求解验证”的过程是感悟模型思想的关键，“猜想—验证”的探索过程对感悟推理思想尤为重要。学生只有亲身经历运用数学思维方法的思考过程，才能获得对相应数学思想的深刻体验。

例如，“间隔排列”的数学本质是一一对应。很多教师在教学中根据问题所包含的各种情况采用分类教学，总结出不同的结论，学生常常在“加1”“减1”“不变”之间不知所措。教学中，如果紧紧抓住“间隔排列”的数学本质，以数学思维方法带动数学学习，那么不同情况就会由对立走向统一，学生不仅学得轻松，而且“对应思想”透过数学思考活动得以“显化”。

（三）数学思想教学要兼收并蓄，突出主干

不同的数学思想，互相间并不排斥，而是彼此包容共生的。比如，归纳和演绎，因为思维路径互逆，所以归纳和演绎通常是密切联系、相互补充的，也常常有机融合在一

起，即归纳中有演绎，演绎中有归纳。教学中，通常以一种思想的渗透为主线，同时融合其他的数学思想。

教学“小数乘整数”，教师先教学0.1、0.01、0.001与整数相乘。

课件分别出示直观图形（10等分的正方形、100等分的正方形和1000等分的正方体），每个图形都表示整数“1”，其中的1份涂色。引导学生先用小数表示涂色部分，再思考这样的几份是多少，得出乘法算式：

0.1×4=0.4 0.1×8=0.8

0.01×5=0.05 0.01×35=0.35

0.001×9=0.009 0.001×125=0.125

引导学生观察并归纳：因数中有几位小数，积就有几位小数。

在此基础上，探索一般的小数与整数相乘的算法。学生联系已有知识计算0.8×3和2.35×3，把0.8×3写成8×3×0.1，把2.35×3写成235×3×0.01。计算后发现，因数中有几位小数，积就有几位小数。

显然，上面教学采用的是归纳方式。这种归纳又是建立在演绎分析之上，教学0.1、0.01、0.001与整数相乘时，通过呈现经验过的实例，让学生从数学知识的内在联系出发进行推理；教学一般的小数与整数相乘时，让学生利用已有知识进行分析推理。归纳，让学生更智慧；演绎，让学生明白“数学是讲道理的”。

（四）数学思想教学要体现阶段性，逐步提升学生的领悟水平

数学思想教学的阶段性要求，源自两方面原因：一是小学生受自身知识积累、认知能力和思维抽象水平的局限，他们对数学思想的感悟往往也需要经历从模糊到清晰、从无意识到渐渐领悟这样一个较为漫长的过程；二是同一种数学思想可以蕴含在不同年级、不同数学概念和原理之中，并在这个过程中不断丰富和拓展自身的内涵。因此，对某一数学思想的感悟，应充分考虑小学生的年龄特征和心理活动水平，在不同阶段、不同内容的教学活动中，提出不同程度的教学要求，从而使学生不断提高感悟的水平。

例如，化归思想是由数学推理思想派生出来的，在探索数学新知、解决数学问题的过程中具有不可替代的作用。在小学阶段，化归思想主要隐含在“数的运算”“图形的测量”之中，不同阶段的教学价值也是不同的。例如，在“图形的测量”中，长方形面积计算、长方体体积计算部分，化归的教学价值是：回归面积或体积本源，借助面积或体积单位的特点，找到长度属性与面积属性或面积属性与体积属性之间的联结点和对应关系。而在平行四边形、三角形、梯形面积计算中，化归的教学价值是：学会把握化归思想中的“变”与“不变”的关系，体会“形状变化”是策略，“大小不变”是基础。而在圆的面积计算、圆柱体积计算部分，化归的教学价值是：拓宽化归思路的固有思维模式（化曲为直），提升化归思想。显然，感悟和形成化归思想需要一个长期的、层次化的过程，在这个过程中逐步丰富认识、积累经验，提升感悟水平。