第15炼 求函数的单调区间
第15炼 函数的单调区间
单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领，在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。 一、基础知识：
1、函数的单调性：设f (x )的定义域为D ，区间I ⊆D ，若对于∀x 1, x 2∈I , x 1
f (x 1)
∀x 1, x 2∈I , x 1f (x 2)，则称f (x )在I 上单调递减，I 称为单调递减区
间。
2、导数与单调区间的联系
（1）函数f (x )在(a , b )可导，那么f (x )在(a , b )上单调递增⇒∀x ∈(a , b )，f ' (x ) ≥0 此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型：，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。
等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：f (x )=x 2的单调递增区间为[0，+∞)，而f
'
(0)=0，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例
3
子为f (x )=x 在x =0处的导数为0，但是(0,0)位于单调区间内。
（2）函数f (x )在(a , b )可导，则f (x )在(a , b )上单调递减⇒∀x ∈(a , b )，f (x ) ≤0
'
（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由∀x ∈(a , b )，f (x ) 的
'
符号能否推出f (x )在(a , b )的单调性呢？如果f (x )不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性。（这也是求函数单调区间的理论基础） 3、利用导数求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域 （2）求出f (x )的导函数f (x )
'
'
（3）令f (x ) >0（或
（4）列出表格
4、求单调区间的一些技巧
（1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）。另一方面通过定义域对x 取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的求解
（2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式
（3）一般可令f ' (x ) >0，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若f (x )不存在常值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤） （4）若f ' (x ) >0的解集为定义域，那么说明f (x )是定义域上的增函数，若f ' (x ) >0的解集为∅，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么f (x )是定义域上的减函数 （5）导数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学过的一些单调性判断方法也依然好用，例如：增+增→增，减+减→减，(-1)⨯增→减，复合函数单调性同增异减等。如果能够通过结论直接判断，那么就无需用导数来判定。 5、求单调区间的一些注意事项
（1）单调区间可以用开区间来进行表示，如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内。例如函数y =内）
（2）如果增（或减）区间有多个，那么在书写时用逗号隔开，一定不要用并集 的符号。有些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“ ”连接，那么区间也一样，这个观点是错误的。并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合，用在单调区间上会出现问题。
1
的单调减区间为(0, +∞), (-∞,0)，若写成[0, +∞)就出错了（0不在定义域x
1
为例，如果写成(0, +∞) (-∞,0)，那么就意味着从合并在一起的集合中任x
1
取两个变量，满足单调减的条件。由y =性质可知，如果在(0, +∞), (-∞,0)两个区间里
x
依然以y =
各取一个，是不满足单调减的性质的。 6、二阶导函数的作用：
①几何意义：导数的符号决定原函数的单调性，对于f 性。当f
''
"
(x )而言，决定的是f ' (x )的单调
(x )>0时，f ' (x )单调递增，意味着f ' (x )随x 的增大而增大，由于导数的几何
''
意义为切线斜率，故切线斜率k 随x 的增大而增大；同理，当f
(x )
减，则切线斜率k 随x 的增大而减少。那么在图像上起到什么作用呢？
单调增有三种：
其不同之处在于切线斜率随自变量变大的变化不同，所以如果说f ' (x )是决定函数单调性的，那么f '' (x )在已知单调性的前提下，能够告诉我们是怎样增，怎样减的，进而对作图的精细化提供帮助。
（1）当f " (x )>0，其图像特点为：我们称这样的函数为下凸函数 （2）当f " (x )
例1：下列函数中，在(0, +∞)上为增函数的是（ ）
A. f (x )=sin2x B. f (x )=xe x C. f (x )=x 3-x D. f (x )=-x +ln x 思路：本题只需分析各个函数在(0, +∞)上的单调性即可。A 选项f (x )=sin2x 通过其图像可知显然在(0, +∞)不单调；B 选项f ' (x )=e x +xe x =(x +1)e x ，当x ∈(0, +∞)时，
⎛所以f (x )在(0, +∞)单调递增；C 选项f (x )=3x -1=3 x f (x )>0，x +⎝⎭⎝⎭
'
‘
2
可得f (x )在 ⎛⎝⎫11-x '
+∞单调递减，在，⎪单调递增；D 选项f (x )=-1+=
x x ⎭⎝⎭
可得f (x )在(0,1)单调递增，在(1, +∞)单调递减。综上，B 符合条件 答案：B
例2：函数f (x )=log 1x 2-4的单调递增区间是（ ）
2
()
A. (0, +∞) B. (-∞,0) C. (2, +∞) D. (-∞, -2) 思路：先分析f (x )的定义域：x -4>0⇒x ∈(-∞, -2) (2, +∞)，再观察解析式可得
2
f (x )可视为函数y =log 1t , t =x 2-4的复合函数，根据复合函数单调性同增异减的特点，
2
可分别分析两个函数的单调性，对于y =log 1t 而言，y 对t 是减函数。所以如要求得增区
2
间，则t =x -4中t 对x 也应为减函数。结合定义域可得f (x )的单调增区间为(-∞, -2)
2
答案：D
32-x
例3：求函数f (x )=x +3x -3x -3e 的单调区间（2009宁夏，21题（1））
()
思路：第一步：先确定定义域，f (x )定义域为R ，
' 2-x 32-x 第二步：求导：f (x ) =3x +6x -3e -x +3x -3x -3e 3-x -x
=-x -9x e =-x (x -3)(x +3)e ,
()()
()
第三步：令f ' (x ) >0, 即-x (x -3)(x +3)e -x >0 第四步：处理恒正恒负的因式，可得x (x -3)(x +3)
例
4：求函数f (x )=ln x +ln (2-x )+x 的单调区间 解：定义域x ∈(0,2)
x x x -2+x +x (
x -2)11x 2-2
f (x )=++1===
x x -2x x -2x x -2x x -2'
( x ∈(0,2) ∴x -2
∴
令导数f ' (x )>
0解得：x -0⇒x
2例5：求函数f (x )=的单调区间
11-1
2ln x ⋅x 2ln 2x
1ln x (4-ln x )解：f ' (
x )= =⋅3
x 2
x 2
令f ' (x )>0，即解不等式ln x (ln x -4)
4
∴f (x )的单调区间为
例6：求函数f (x ) =x --ln x 的单调区间
思路：函数还有绝对值，从而考虑先通过分类讨论去掉绝对值，在求导进行单调性分析
⎧x -1-ln x , x >1
解：f (x )=⎨，当x ∈(0,1)时，f (x )=1-x -ln x 为减函数
1-x -ln x ,0
当x ∈(1, +∞)时，f
'
(x )=1-
1x -1
= x >1 ∴f ' (x )>0 x x
∴f (x )在(1, +∞)单调递增
综上所述：f (x )在(0,1)单调递减，在(1, +∞)单调递增
小炼有话说：（1）对于含绝对值的函数，可通过对绝对值内表达式的符号进行分类讨论可去掉绝对值，从而将函数转变为一个分段函数。
（2）本题在x ∈(0,1)时，利用之前所学知识可直接判断出f (x )单调递减，从而简化步骤。导数只是分析函数单调性的一个工具，若能运用以前所学知识判断单调性，则直接判断更为简便
例7：（1）若函数f (x )=ln (ax +1)+取值集合是__________
（2）若函数f (x )=ln (ax +1)+合是___________
1-x
(x ≥0, a >0)在区间[1,+∞)单调递增，则a 的1+x
1-x
(x ≥0, a >0)的递增区间是[1,+∞)，则a 的取值集1+x
a 2ax 2+a -2
-=解：（1）思路：f (x )=22，由f (x )在[1,+∞)单调递ax +1(x +1)ax +1x +1()()
'
增可得：∀x ≥1，f
'
(x )=
ax 2+a -2
(ax +1)(x +1)
2
⎛2⎫≥0⇒a (x 2+1)≥2。∴a ≥ 2
⎪=1
⎝x +1⎭max
∴a ≥1
（2）思路：f (x )的递增区间为[1,+∞)，即f (x )仅在[1,+∞)单调递增。 令f
'
(x )>0⇒ax 2+a -2>0⇒x 2>
2-a
，若a >1，则f (x )单调递增区间为(0, +∞)a
不符题意，若0
1，则x >答案：（1）a ≥1，（2）a =1
时，f ' (x )>
0=1⇒a =1 小炼有话说：注意两问的不同之处，在（1）中，只是说明f (x )在区间[1,+∞)单调递增，那么f (x )也可以在其他区间单调递增，即[1,+∞)是增区间的子集。而（2）明确提出单调增区间为[1,+∞)，意味着f (x )不再含有其他增区间，x =1为单调区间的分界点，从而满足条件的a 只有一个值。要能够区分这两问在叙述上的不同。 例8：f (x )=-范围是_______
思路：f ' (x )=-x 2+x +2a ，有已知条件可得：∃x ∈ ,+∞⎪，使得f ' (x )≥0，即
2
12121⎡⎛2⎫⎡12⎤
a ≥(x -x )，只需a ≥⎢(x -x )⎥，而y =(x -x )>⎢ ⎪-
222⎣⎣2⎦min ⎢⎝3⎭
1312⎛2⎫
x +x +2ax ，若f (x )在 , +∞⎪上存在单调递增区间，则a 的取值32⎝3⎭
⎛2
⎝3
⎫⎭
2⎤1=-，所⎥3⎦9⎥
以a >-
1
9
1 9
答案：a >-
小炼有话说：（1）已知在某区间的单调性求参数范围问题，其思路为通过导数将问题转化成为不等式恒成立或不等式能成立问题，进而求解，要注意已知函数f (x )单调递增（减）时，其导函数f
'
，勿忘等号。 (x )≥0（≤0）
（2）在转化过程中要注意单调区间与不等式成立问题中也有一些区别，例如：若把例6的条件改为“在
⎡2⎫
，则在求解的过程中，靠不等式能成立问题的, +∞⎪上存在单调递增区间”⎢⎣3⎭
112
，但当a =-时，满足不等式的x 的解仅有x =，不能99311
成为单调区间，故a =-舍去，答案依然为a >-
99p
例9：设函数f (x )=px --2ln x （其中e 是自然对数的底数），若f (x )在其定义域内
x
为单调函数，求实数p 的取值范围
解法解出的a 的范围时a ≥-
思路：条件中只是提到f (x )为单调函数，所以要分单调增与单调减两种情况考虑。无非就是f ' (x )≥0恒成立或f ' (x )≤0恒成立，进而求出p 的范围即可 解： f
'
(x )=p +
p 2- x 2x
'
若f (x )在(0, +∞)单调递增，则f (x )=p +
p 2
-≥0恒成立 x 2x
1⎫22x 22x ⎛
即p 1+2⎪≥⇒p ≥⋅ =22
x ⎭x x 1+x 1+x ⎝
2x ⎛2x ⎫
h x = ，设 ∴p ≥ ()22⎪1+x ⎝1+x ⎭max
则h (
x )=
2x 2=≤=1
1+x 2x +1x ∴p ≥1
若f (x )在(0, +∞)单调递减，则f 即p 1+
'
(x )=p +
p 2
-≤0恒成立 2x x
⎛
⎝
1⎫22x
≤⇒p ≤⎪
x 2⎭x 1+x 2
2x ⎛2x ⎫
h x = ，设 ∴p ≤ ()22⎪1+x ⎝1+x ⎭min
则h (x )=
2x 2=>0，且当x →0或x →+∞时，h (x )→0 2
11+x x +x
∴p ≤0
综上所述：p ≥1或p ≤0
3
例10：若函数f (x )=log a x -ax
(
1⎫-,0⎪内单调递增，则a 取值)(a >0, a ≠1)在区间⎛ 2
⎝
⎭
范围是( )
A ．⎢,1⎪ B．⎢,1⎪ C．⎢, +∞⎪ D． 1, ⎪
⎡1⎫⎣4⎭⎡3⎫⎣4⎭⎡9⎣4⎫⎭⎛9⎫⎝4⎭
思路：先看函数f (x )的定义域，则x -ax >0在 -
3
1⎛1⎫
,0⎪恒成立，a >x 2⇒a ≥
4⎝2⎭
f (x )可看成是由y =log a u , u =x 3-ax 的复合函数，故对a 进行分类讨论。当a >1时，
3
∴u ' =3x 2-a ≥0⇒a ≤(3x 2)=0，所以u =x -ax 需单调递增，y =log a u 单调递增，
min
3
u =x -ax 需单调递减，与a >1矛盾；当0
∴u ' =3x 2-a ≤0⇒a ≥(3x 2)
答案：B 小炼有话说：
min
=
3⎡3⎫
∴a ∈⎢,1⎪ 4⎣4⎭
（1）在本题中要注意参数对定义域的影响。单调区间是定义域的子集，所以在求参数范围时要满足定义域包含所给区间。这可能会对参数的取值有所限制。也是本题的易错点 （2）对于指数结构与对数结构的函数（如本题中的f (x )），可分别分析底数与1的大小（对数的增减性）与真数的单调性，然后判断整个函数的单调性。理论依据为复合函数的单调性特点（同增异减），故本题对底数a 以1为分界点分类讨论，并依此分析真数的情况。