中美初中几何教材_相似_内容的比较

第14卷第4期

2005年11月

数 学 教 育 学 报 Vol.14, No.4

JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION

Nov., 2005

中美初中几何教材“相似”内容的比较

唐恒钧，张维忠

（浙江师范大学 数理学院，浙江 金华 321004）

摘要：范希尔理论较好地刻画了学生的几何思维水平，以该理论为依据比较美国《发现几何》和我国新教材《数学•初中二年级（八年级）（下）》中“相似形”一章，部分地揭示了中美几何内容的思维水平．两国都注重以直观几何为学习起点，但美国所包含的内容更广、更深，其主要的策略是构筑较为系统的问题情境，使学生的学习总处于由问题组织而成的情境脉络之中．我国教材注重通过正、反例进行辨析，以达到巩固中求发展的目的；也有通过问题提升学生思维水平的努力，但因缺乏相应的情境而显得突兀．

关键词：范希尔理论；中美几何；相似形；比较

中图分类号：G423.04 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2005）04–0055–04 几何课程是每一次数学教育改革的焦点，也是数学教育现代化进程中最复杂的因素[1]．我国新一轮课程改革对几何课程做出了大幅度的变革，这在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）研制初期就引起了学者的广泛争论．在这样的背景下，我们完全有必要通过中外几何课程的比较为我国几何课程的进一步改革把脉和定位．

“图形的相似”是中美几何教材中共有的部分，并都以单独一章的形式进行学习．本文以美国《发现几何》和我国数学新教材《数学·初中二年级（八年级）（下）》[3]（以下称《数学》）为文献源，以范希尔（Van Hiele）理论及其相关研究提出的几何思维5个水平理论为依据，对“相似”这一中美几何课程共有的内容进行比较，以期揭示中美学生在“图形的相似”这一部分的学习中主要处于何种水平？在各水平之间的过渡中有何特点?

[2]

究还处于介绍和应用的阶段．如李士锜在分析几何认知的特点时，对范希尔的几何思维发展理论作了详细介绍；章建跃在解释平面几何入门难的问题时，也应用了该理论．

但问题是范希尔理论产生于荷兰，其学生受西方文化的影响，对于受东方文化影响的中国学生，这一理论是否依然有效？一项由美日学者共同开展的跨文化研究[4]表明，美日两国学生尽管在几何学习的阶段上存在细微的差异，但总体上，范希尔理论对于在东方文化下成长起来的学生仍然是有效的．因此，我们有理由相信，在东方文化下，范希尔理论仍然是可以应用的，也可作为中美几何课程比较的一个理论依据．

2 范希尔理论在“相似”领域的具体化

对比中美几何教材[2，3，5]及《标准》可以发现，“相似”一章主要包括比和比例，图形相似的概念和性质，相似三角形概念、性质及判定，相似性的应用等内容．其中比和比例是研究相似性的重要工具．在本章学习之前，中美学生（美国学生指以《发现几何》为教材的学生，以下同）均已学过数的比和比例．因此，本章主要学习的新知识为图形的相似及相似三角形．为了利用范希尔理论比较两国的这两部分内容，以下是对该理论在这一领域上的具体化．

0—水平，感受相似．学生通过直观图形从整体上感受图形的相似．具体地：（1）学生利用现实生活中“相似”的概念举出一些认为是相似的实物或图形，但可能不是数学中的相似；（2）学生通过照片或影印感受相似是通过放大或缩小而来的；（3）学生能从一组图形中直观地区分出相似图形，但其理由只能涉及“看上去相同”或一图形放（缩）后能与另一图形重合．

1—水平，分析相似．学生能从图形的基本组成元素得出相似图形的性质，能构造图形说明相似．具体地：（1）学生能在方格纸或格点纸上绘已知图形的相似图；（2）学生使用测量的方式发现对应边、对应角之间的关系；（3）得出相似形对应边成比例，对应角相等的结论（以下称性质1），但还不能清楚地意识到这一结论的逆向结论也成立；（4）利

1 范希尔理论及其相关研究

荷兰学者范希尔夫妇经过理论和实践两方面的长期探索，指出学生的几何思维存在5个水平：直观（Visualization ）、分析（Analysis ）、推理（Inference ）、演绎（Deduction ）、严

[4]

谨（Rigor ）．这些不同的水平是不连续的，但却是顺次的．学

生在进入某一水平学习之前，必须掌握之前水平的大部分内容．因此，势必需要讨论如何才能使学生从一个水平跳跃到下一水平？Alan Hoffer根据范希尔理论给出了学生在每个思维水平上几何学习的阶段：熟知（Familiarization ）、受指导的定向（Guided Orientation）、描述（Verbalization ）、自由定向（Free Orientation）、整合（Integration ）．

美国数学教育界了解范希尔理论开始于1976年Wirszup 的文章，在之后的近三十年里开展了较为全面的研究．如Mayberry 研究了5个水平的本质及学生在各水平中的组织；Usiskin 以范希尔理论为依据测量了学生的几何能力；Fuys 等调查了范希尔理论的教学效果；Burger 等则调查了这些水平在描述学生几何思维水平中的有效性，以及学生的外在行为对各水平的反映效果．

我国了解范希尔理论的时间比较晚．目前对该理论的研

[4]

收稿日期：2005–07–14

作者简介：唐恒钧（1979—），男，浙江余姚人，硕士，主要从事数学课程与教学论研究．

56 数 学 教 育 学 报 第14卷

用性质1求相似形中的未知量；（5）相似三角形的概念、符号及其读法．

2—水平，关系—推理．学生能理解相似的判别定理，并能通过简单的推理得到更多的性质．具体地：（1）学生认识到对应边成比例、对应角相等的两图形相似，但只能通过放缩的思想直观感受，或通过计算机模拟实现；（2）通过性质1进一步推出周长、面积等关系，并认识到性质1是基础的；（3）得出相似三角形对应中线、高线等的关系；（4）利用性质1的逆判别图形相似；（5）通过观察、实验等方式，从具体例子中归纳出相似三角形的3个判别定理；（6）通过位似画相似图．

3—水平，形式演绎．学生能进行判别定理的形式证明，能进行多步骤的演绎．具体地：（1）学生能利用平行等相关知识证明图形相似；（2）在位似图上证明相似性；（3）对相似三角形的判别定理给出演绎论证．

4—水平，拓展．学生能对相似图的位置关系进行分类，发现其与变换间的关系；利用群的理论解释相似．

节．《发现几何》的4节依次为：相似三角形，运用相似三角形解题，运用相似三角形的间接测量，相似三角形的对应部分．《数学》中4节依次为：相似三角形，相似三角形的识别，相似三角形的性质，相似三角形的应用．其中《数学》的“相似三角形的性质”与《发现几何》的“相似三角形的对应部分”内容基本一致．因此，这一部分两者覆盖的知识面基本相同，所要求的水平也基本一致，只是在相似三角形判别定理的形成中存在较大的差异．

《发现几何》在“相似性”一节中留下一个问题．即是否有比性质1的逆更简便的判别方法？于是考虑只用“对应边成比例”或“对应角相等”去判别图形相似，但在考察四边形相似的例子中失败了．这一活动很自然地成了学习相似三角形判别定理的切入点．在相似三角形学习一开始就让学生尝试构造一组角相等或两组边成比例，但两三角形不相似的反例；然后引导学生考虑两组角对应相等或3组对应边成比例的情形．这一过程中，学生的思维水平始终处于水平2．

《数学》在“图形的相似”中只学习了用性质1的逆判别图形的相似，因此在学习“相似三角形”时，以“相似三角形”的概念和表示方法作为引入，并让学生画相似三角形以印证性质1（水平1）．在此基础上才要求学生寻找识别三角形相似的简便方法，并发现了3个判别定理．其发现过程基本遵循3个步骤：观察、画图—探索—归纳．

3.2 思维水平发展的比较

除了数学教学内容的绝对思维水平外，另一个重要的方面即是促进学生思维由一个水平上升到另一水平的策略．后者在很大程度上影响着学生能否真正达到较高的思维水平．

两教材在由水平0到水平1的过渡中都让学生在方格纸或格点纸上画相似图形，希望学生对图形的注意力由笼统、整体的感受转向对线、角等图形基本元素的关注．我国教材还在习题中以哈哈镜作为反例强化学生关注图形中线与角的关系；美国教材则进一步要求学生观察同一图形的两张大小不同的影印图，并提出问题：造成多边形相似的是什么因素？这正是两国教材的一大特点：我国教材注重通过正、反例进行辨析，以达到巩固中求发展的目的；美国教材则往往使学生的学习总处于由问题组织而成的情境脉络之中．

当然，我国教材也有通过问题提升学生思维水平的努力，但因缺乏相应的情境而显得突兀．如“相似三角形的识别”在没有铺垫的情况下提出：“是否存在识别三角形相似的简便方法？”

3 中美两国“相似”内容的比较

3.1 教学内容绝对水平的比较

如果以教材所呈现的每个学习活动作为一个条目，则《发现几何》在“相似性”一节中共有11条，《数学》中“相似的图形”和“相似图形的特征”两节中有12条．具体如表1所示．

表1 《发现几何》与《数学》中“相似形”内容比较

范希尔水 平

发现几何

数 学

1）直观感受图形的放缩（从1）两张大小不同的照片的直观感 2）给出相似形的概念及例子（照

水平0 2）给出“相似形”

3）给出相似的正反面例子． 3）用放、缩回答什么是形 水平0 （44）格点图上画相似图；

↓ 11）利用相似作壁画． 5）举相似的例子，判别哈哈镜是水平1 5）探究两张大小不同的影6）探究两张大小不同的地图上3

发现对应线段长度成1；

8）例A ：在两相似图形中7）用格点纸画相似图形，以确认

水平1

6）8）概括性质1，但没有讨论角，而

10）同《发现几何》中例A ． 7）探究相似多边形的判别9）给出相似形的判别方法； 11）思考三角形的相似性（一般三8）例B ：—等腰三角形—等边三角形）；9）练习C ：用定义求两相12）练习：由性质1的逆判别相似．

水平2

32题）；

10）利用电影放映原理引 9）练习C ：在与平行相结

水平3 （2题）或有重边的两相似

4 分析与讨论

通过中美几何教材中“相似”这一主题的比较可以发现，两国教材有许多相近之处，同时也存在着差异． 4.1 几何学习从“直观”开始

两国的几何教材都注重从“直观”的水平引入新概念，有利于培养学生的几何直觉，也是符合心理学中关于思维发展的研究的．

事实上，“几何直观”本身是几何学的一大特征．希尔伯特曾形象地指出：“算术记号是写下来的图形，几何图形是画下来的公式．”英国著名数学家阿蒂亚则从思维形式的

注：每一条目前的编号为该条目在教材中出现的顺序

“相似三角形”的学习在两本教材中都分为4个小

第4期 唐恒钧等：中美初中几何教材“相似”内容的比较 57

角度表达了这一观点：“尽管可用抽象推理的方法研究几何，但与代数相比，几何更加直观、易于理解……在几何中视觉思维占主导地位……所以几何中首先用到的是最直接的形象思维，用形象思维洞察，然后用逻辑思维严格化．”

[6]

高层次的几何思维，特别是逻辑思维能力是极为重要的数学素养．张景中院士就曾指出：“我认为几何是培养人的逻辑思维能力，陶冶人的情操，培养人良好性格特征的一门很好的课程．……中学阶段的几何教育，对于学生形成科学的思维方法与世界观具有不可替代的作用．为什么当前西方各国普遍感到计算机人才缺乏，尤其是编程人员缺乏，其中一个原因是他们把中学里的几何内容砍得太多，造成学生的逻辑思维能力以及对数学的兴趣大大降低．”

[10]

此

外，几何直观也深深地影响了数学家的研究工作，正如前苏联数学家柯尔莫戈洛夫所说：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化……”教学最独特的教育价值之一．

但在具体问题的处理上，两国教材又存在明显的差距．举例而言，《发现几何》以“哈哈镜”作为反例说明形状不同，并配以插图；而《数学》则出现在练习中：“你看到过哈哈镜吗？哈哈镜中的形象与你本人相似吗？”我相信，我国有大量的学生（特别是农村学生）没有看到过哈哈镜，那么这一练习将是无效的，但作为例子那就完全是另外一回事了．《发现几何》的处理方式不仅能激发曾见过哈哈镜的学生的学习兴趣，使他们能用数学的眼光看待生活中的事物；也能使从未见过哈哈镜的学生感到惊奇；更重要的还在于使学生通过插图明白什么叫形状不同．因此，我国教材在几何内容的直观化时要关注素材的背景与学生的生活经验之间关系的处理．一方面，要引领熟悉素材背景的学生从数学的角度思考问题；另一方面，要使对素材背景陌生的学生也易于理解．

从文化的视角审视上述问题，即是指我们“在课程建设中要注重文化模式对学校课程的制约，做到课程的灵活多样，适应民族地区的特点”

[8]

[7]

因此学生

通过对几何模型或图形的直观感受，形成几何直觉又是几何王元院士也

认为：“几何的学习不是说学了这些知识有什么用，而是针对它的逻辑推导能力和严密的证明，而这一点对一个人成为一个科学家，甚至成为社会上素质很好的公民都是非常重要的，而这个能力若能在中学里得到训练，会终身受益无穷的．”

[11]

此外，大众数学也并非一定要放弃这些高层次几何思维的培养．郑毓信曾多次谈到这一问题：“新的标准所提倡的究竟是数学上的低标准还是数学上普遍的高标准？”

[12]

针

对“大众数学中，学生在情感、态度与价值观方面的发展弥补了其在数学基本知识与技能方面要求的降低”这一观点，他进一步指出：“不应将‘数学基本知识与技能的学习’与‘学生情感、态度与价值观的培养’机械地对立起来．尽管我们应当充分肯定‘培养学生情感、态度与价值观’的重要性，但这并不意味着我们必须降低前一方面的要求以作为必要的代价．”

[13]

沈家鲜等在“儿童对称概念发展”

[14]

的研究

中发现，用中心对称的基本特征进行启发后，儿童在有关中心对称概念测试中的通过率有大幅度提高．他们进一步得出结论：“我们可以采用适当的条件或方式对儿童特别是初中学生进行中心对称概念的教学……中心对称概念发展缓慢可能与教育有关．”这启示我们思考，对于学生掌握有困难的几何内容是否真的是因为几何内容本身太难？还是存在教学上的某种原因？我以为，更重要的是探索使学生高效地达到高层次几何思维的途径，而不是简单地删除与回避．

4.3 注重问题情境的构筑

通过3.2的比较可以发现，促进学生思维水平发展的一个共同的手段是问题的引领．然而与《发现几何》相比，《数学》中的问题比较零散，不具有情境性，显得比较突然．林群院士在全国高师数学教育研究会2004年年会上曾指出：大学数学是中学数学的发酵，教学中要注重大学数学与中学数学的“对接”．这一观点最核心的教学思想即是：新知识要由旧知识发展而来，新问题要由旧问题延伸而来．因此注重数学教材中问题链的连续性是我国教材编写中需要认真思考的方面．

通过比较发现，我国几何课程改革的大方向是符合心理学研究成果的，也是与国际几何课程改革与发展趋势相一致的，但我们对几何思维水平的要求降得太低了．究其原因，是促进学生从低层次向高层次几何思维水平发展的策略还不够有效．

．我国是一个统一的多民族国

家，每个民族都有自己独特的文化模式，因此上述关注在我国几何课程改革中就有着特殊的重要性．实施一纲多本以来，民族地区可以根据各自的独特需要选择教材，这在一定程度上缓解了这些地区教材选择中存在的问题，但这却未能很好地解决存在于农村中小学的类似问题．具体而言，我国城乡差距大，从而形成了城市和农村学生文化背景的巨大差异．但当前教材中的感性材料主要取自城市，这与农村学生的文化直觉存在冲突．如果认为校本课程是一条解决途径，则我们需要思考，在课改初期农村中小学是否有可能有效地开发和实施校本课程，从而解决上述问题？

4.2 美国教材包含的知识面更广且更深

尽管两国均注重直观水平的几何学习，但这毕竟不是几何学习的全部．数学教育应使学生达到更高的思维水平．由表1的比较不难发现，美国要求的思维水平更高，这与高向斌对美国小学数学的考查结果[9]是一致的．在新一轮课程改革中，我国几何课程删去了大量抽象思维水平较高的知识．虽然增加了现实几何的内容来充实几何课程，但以降低对学生思维水平的要求（甚至低于被人们称为“一英里宽，一英寸深”的美国教材）为手段，来适应大众数学的潮流，这是否意味着数学教育质量的提高是值得思考的．

［参 考 文 献］

[1] [苏]斯托利亚尔 A A ．数学教育学[M]．丁尔升，王惠芬，钟善基，等译．北京：人民教育出版社，1984． [2] [美]迈克尔·塞拉．发现几何[M]．李翼忠，刘仁苏，蔡上鹤，等译．北京：人民教育出版社，2000．

58 数 学 教 育 学 报 第14卷

[3] 王建磐．数学·初中二年级（八年级）（下）[M]．上海：华东师范大学出版社，2003．

[4] Nancy C Whitman, Nobuhiko Nohda, Morris K Lai, et al. Mathematics Education: A Cross-Cultural Study [J]. Peabody

Journal of Education, 1997, 72(1): 215–232.

[5] 喻四明．美国《几何》教材简介[J]．中学数学，2004，（4）：4–7． [6] 王鹏远．谈计算机与几何教学的现代化[J]．中学数学教学参考，1998，（7）：23–25． [7] 邵光华．论空间想象能力及几何教学[J]．课程·教材·教法，1996，（7）：32–36． [8] 张维忠．数学文化与数学课程[M]．上海：上海教育出版社，1999．

[9] 高向斌．走入新世纪的美国小学数学的原则和标准述评[J]．学科教育，2002，（4）：45–48． [10] 俞求是．空间与图形教学目标和教材编制的初步研究[J]．学科教育，2002，（3）：17–22． [11] 陈重穆，宋乃庆，曾宗燊．21世纪的初中平面几何[J]．数学教育学报，1997，6（4）：6–8． [12] 郑毓信．改革热潮中的冷思考[J]．中学数学教学参考，2002，（9）：1–5． [13] 郑毓信．数学课程改革：比较与思考[J]．中学数学月刊，2003，（2）：1–5．

[14] 沈家鲜，范中杰，冉红宇．儿童对称概念发展的实验研究[J]．心理科学通讯，1989，（4）：14–21．

Comparison of “Similarity” in Geometry Textbook between China and America

TANG Heng-jun, ZHANG Wei-zhong

(College of Mathematics and Physics, Zhejiang Normal University, Zhejiang Jinhua 321004, China)

Abstract: It was partly revealed that the geometry thinking level required in China and America was different by the comparison of chapter ‘Similar Shapes’ between ‘Discovering Geometry’ and ‘Mathematics for the Second Grade of Junior Middle School (the Next)’, based on the Van Hiele level theory, which well depicted students’ geometry thinking levels. Both took Audio-Visual Geometry as a starting point, but the content in America was much wider and profounder. Given the main strategies in America, problems situation was systematically set to keep students always in, while in China attention was paid to discriminate by providing examples and counterexamples to consolidate students’ skills. It was also found that efforts have been made to improve students’ thinking levels by offering problems, but it seemed abrupt for the lack of proper situation. Key words: Van Hiele levels theory; geometry; similar shapes; comparison

[

责任编校：刘伟娜]

《中学数学教学参考》杂志 中华人民共和国教育部主管

陕西师范大学主办

全国初等教育／中等教育类核心期刊

应广大读者要求，2006年我刊将有重大新举措：

1．分版：将杂志分为高中教师版和初中教师版，两版均于每月10日出版．

2．扩版：由现行的正度16开本扩为国际标准大16开本．以增大杂志容量，并适当提高封面及内文的用纸质量．两个版本的杂志内文均为64页，定价均为每期5.50元，全年66元．

3．创新：对现设栏目做了重大调整，保留特色栏目，改进重要栏目，并开创了若干新栏目．栏目结构呈现板块结构，共分教学时空、解题中心、考试在线、教研导标、数苑广角等五大板块．

本刊详细创新方案见《中学数学教学参考》2005年第8期封三，我们期待着广大读者对本刊的栏目创新方案发表真知灼见！

高中教师版 邮发代号52-30 电话：029-85308154 E-mail: [email protected] 初中教师版 邮发代号52-273 电话：029-85308536 E-mail: [email protected]