小船渡河问题专题
小船渡河问题
对于平面直角坐标系的建立及应用，在前面教学中多处地方都已经给学生提到，学生已经熟悉。所以说对于刚接触矢量学习不久的高一学生来说，利用平行四边形法则去求解相关问题，就不如利用平面直角坐标系直观、简单。下面我们就利用平面直角坐标系来解决船头不朝河对岸的小船渡河问题。从而让看似学生没有接触过的问题简化成学生已知的问题。
（1）小船船头朝向上游与河岸成
立平面坐标系，把速度夹角，如图8（甲）所示。沿着河岸和垂直河岸方向建分解到坐标轴上，如图8（乙）所示。经过标量计算后，小船在X轴上具有速度，在Y轴上具有速度。而小船的实际运动是以速度做匀速直线运动到达对岸O点。
注：
（2）小船船头朝向下游与河岸成夹角，如图9（甲）所示。同样的沿着河岸和垂直= 河岸方向建立平面坐标系，把速度
后，小船在X轴上具有速度
速直线运动到达对岸O点。
分解到坐标轴上，如图9（乙）所示。经过标量计算。而小船的实际运动是以做匀，在Y轴上具有速度
注：
总之，万变不离其宗，一切教学活动都应该从学生角度去考虑。让学生从现象去认识本质，又从本质去发现现象。
小船渡河
两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。
两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。
例1. 一条宽度为L的河，水流速度为v水，已知船在静水中速度为v船，那么：
（1）怎样渡河时间最短？
（2）若v船v水，怎样渡河位移最小？
（3）若v船v水，怎样渡河船漂下的距离最短？
解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如图4所示。设船头斜向上游与河岸成任意角θ。这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为v1v船sin，渡河所需要的时间为t LL，可以看出：L、v船一定时，t随sinθ增大而减小；当90时，v1v船sin
L。
v船sin1（最大）。所以，船头与河岸垂直tmin
图4
（2）如图5所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有v船cosv水，即v水
v船。
图5
因为0cos1，所以只有在v船v水时，船才有可能垂直河岸渡河。
（3）若v船v水，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？
如图6所示，设船头v船与河岸成θ角。合速度v与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据cosv船
v水
图6 v船船头与河岸的夹角应为，船沿河漂下的最短距离为：
v水
xmin(v水v船cos)L v船sin
Lv水L cosv船此时渡河的最短位移：s
误区：不分条件，认为船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最小对应。
练习
1.一小船以恒定的船速过河，当行至河中央时，水流速度突然变大，则小船渡河时间将（ ）
A增大 B减小 C不变 D不能确定
2．小船在静水中速度为3m/s，它在一条流速为4m/s，河宽为150m的河流中渡河，则（ ）
A 小船不可能垂直河岸到达对岸
B 小船渡河时间至少为30s
C 小船渡河时间至少为50s
D 小船若在50s内渡河，到达对岸时被冲下150m
3.已知船速V1大约水速V2，欲横渡河宽为L的河，下列说法正确的是（ ）
A 船头垂直河岸正对彼岸航行，渡河时间最短
B 船头垂直河岸正对彼岸航行，实际航程最短
C 船头朝上游转过一定角度，使实际航行垂直河岸，航程最短
D 船头朝上游转过一定角度，使实际航速增大，渡河时间最短
4.（2005祁东联考）小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，v水kx，k4v0，x是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速d
度为v0，则下列说法中正确的是（ ）答案：A
A. 小船渡河的轨迹为曲线
B. 小船到达离河岸d处，船渡河的速度为v0 2
C. 小船渡河时的轨迹为直线
D. 小船到达离河岸3d/4处，船的渡河速度为v0
5.一艘小船在100m宽的河中横渡到对岸，已知水流速度为2m/s，小船在静水
中的速度是4m/s，求：
要使船以最短的时间渡到对岸，船头所指方向与河岸间的夹角为多大？船渡到对岸所需最短时间是多少？船发生的位移是多大？
要使船以最短的距离到对岸，船头所指方向与河岸间的夹角多大？船到对岸所需时间是多少？
6 、 河宽d=200m ，水流速度为v1=3m/s，船在静水中的速度是v2=4m/s，求： ⑵ 欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移是多大？
⑵ 欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多长？