解三角形练习题

解三角形练习题

一、选择题

1、在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若

c2

ab2

6ABC的面

积是（ ） A．

3 B

2、已知三个向量m

a,cos

A2

，

nb,

cosB2C

，p



c,cos2共线，其中a、b、c、A、B、

C分别是△ABC的三条边及相对三个角，则△ABC的形状是( )

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3、在△ABC中，下列关系中一定成立的是（ ）

A．a>bsinA B．a＝bsinA C．absinA D．a≥bsinA 4、锐角三角形ABCAB=1，AC=（） A．5 B

．2 D．1

5、在ABCD是ABCBD的面积为1，则BD

的长为( ) A．4 C．2 D．1 6、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若c2＝（a－b）2＋6，C＝23

，则△ABC的面积是（ ） A．3 B．

2 C．332

D．33 7、在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B＝b，则角A等于（ ） A．

B．

C．

D．

8、在ABC中，若acosBc，则ABC的形状一定是（）

A

．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形

9、已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶1 A．120°B．60°C．90°D．135°

10、设A、B、C是△ABC的三个内角，且sin2B+sin2C=sin2

A+sinBsinC，则2sinBcosC﹣sin （B

﹣C）的值为( ) A．

B．

C． D． 11、在△ABC中，若

=

=

，则△ABC是( )

A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

12、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB=bcosA，则sinB﹣cosC的最大值是( )

A．1 B． C． D．2 二、填空题 13、在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，如果a、b、c成等差数列，B60,ABCb_________． 14、已知a、b、c分别是ABC的三个内角A、B、C所对的边，若accosB，且bcsinA，则ABC的形状是_．

15、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c－c）cosA＝acosC，则cosA＝_____

16、如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝45°，C点的仰角∠CAB＝60°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝45°．已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________ m． 三、解答题

17、在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知

=2，cosB=，b=3，求：

（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．

18、在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量cosA,cosB，a,2cb，

且m//n．

（1）求角A的大小；（2）若a4，求ABC面积的最大值．

19、在斜三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b，c，且=﹣．

（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求角C的取值范围．

20

、在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B



3

．

（1）若b3,2sinAsin(A



3

)，求A和a,c；

（2）若sinAsinC1

2

，且ABC的面积为b的大小．

21、在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且，

（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值．

22、在△ABC中，已知asinA-csinC=（a-b）sinB，△ABC外接圆的半径为．

（1）求C；（2）求△ABC的面积S的最大值．

参考答案

一、单项选择 1、【答案】C 2、【答案】B 3、【答案】D 4、【答案】D 5、【答案】C 6、【答案】B 7、【答案】B 8、【答案】D 9、【答案】A 10、【答案】D 11、【答案】B 12、【答案】A 二、填空题

13、【答案】2

14、【答案】等腰直角三角形 15

、 16、【答案】

三、解答题

17、【答案】试题分析：（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简

？

=2，将cosB的值代入求

出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出

ac的值；

（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．

试题解析：解：（Ⅰ）∵？=2，cosB=， ∴c？acosB=2，即ac=6①， ∵b=3，

∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4， ∴a2+c2

=13②，

联立①②得：a=3，c=2；

（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，

由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，

∵a=b＞c，∴C为锐角，

∴cosC===，

则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．

考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键． 18、【答案】（1）A



3

；（2）4．

试题分析：(1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围；(2)在三角形中，注意隐含条件ABC（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式，在解决三角形的问题中，面积公式S

12absinC12bcsinA1

2

acsinB最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．

试题解析：m//n，所以acosB2cbcosA0， 由正弦定理得sinAcosB2sinCsinBcosA0，

sinAcosBsinBcosA2sinCcosA

sinAB2sinCcosA，由ABC，sinC2sinCcosA

由于0C，因此sinC0，所以cosA

12，由于0A，A3

（2）由余弦定理得a2b2c2

2bccosA

16b2c2bc2bcbcbc，因此bc16，当且仅当bc4时，等号成立；

因此ABC面积S

1

2

bcsinA4，因此ABC面积的最大值43 考点：1、正弦定理的应用；2、三角形的面积公式；3、基本不等式的应用．

19、【答案】试题分析：（I）由已知可得2cosB=，求得sin2A=1，可得A的值．

（II）由B+C=，且==+tanC＞，求得tanC＞1，从而得到C的范

围．

试题解析：解：（I）由已知=﹣，可得2cosB=．

而△ABC为斜三角形，∴cosB≠0，∴sin2A=1. ∵A∈（0，π），∴2A=

，A=

．

（II）∵B+C=，且===+tanC＞，即

tanC＞1，

∴＜C＜．

考点：正弦定理；余弦定理．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两角和差的正弦公式、诱导公式，属于基础题． 20、【答案】（1）A



6

，

a

c（2）

b

试题分析：（1）首先运用正弦的和角公式将等式2sinAsin(A



3

)化简即可得出tanA的值，然后

由B



3

可得出角A的大小，再运用正弦定理

asinAcsinC

和余弦定理b2a2c2

2accosB可求出边长a,c；

（2）用正弦定理abcacb2sinAsinBsinC可得sinAsinCsin2

B

，进而可得b2

32ac，再由ABC的面积为

S1

ABC

2

acsinB即可求出b． 试题解析：（1）∵B



3,2sinAsin(A3)化简可得3

，结合三角形内角的取值范围，可知A



6

，结合题意有sinAsin(AB)sin((AB))sinC∵

asinAc

sinC

∴2ac∵b2a2c22accosB9a24a22a2∴

ac或∵2sinAsin(A



3)2sinA12sinA2

A，∴32sinA2cosA0

26

)0∵0AxA60A6B3C2∵

b3在直角△ABC中

a

由正弦定理：asinAbsinBcsinCacsinAsinCb2sin2B

，∴acb2b2

32ac 24

∵

S1

b2

ABCacsinBac8

3

22

×8=12∴

b 考点：1、正弦定理；2、余弦定理．

21、【答案】（Ⅰ）120°；（Ⅱ）1 试题分析：（Ⅰ）求角的大小，从已知可看出，把已知条件用正弦定理化为边的关系，然后用余弦定理可得；（Ⅱ）由（Ⅰ），因此可把化为一个角的三角函数

，再由两角和与差的正弦公式化为一个三角函数，可得最大值．

试题解析：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得

即

由余弦定理得

故

，A=120°

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。

考点：正弦定理与余弦定理，两角和与差的正弦公式．

22、【答案】（1）；（2）．

试题分析：（1）根据正弦定理将已知条件转化为三边间的关系式，再由余弦定理可得值，从而

可得．（2）根据正弦定理可将边用角表示，即转化为

．根据三角形面积公式可得三角形面积，再根据

三角形内角和为将面积公式转化为角试题解析：（1）依正弦定理，有再由余弦定理得又（2）

是三角形

内角，

的三角函数，根据角的范围求三角形面积的范围．

考点：1正弦定理，余弦定理；2三角函数求最值．