1.4含绝对值的不等式解法(A1)
1.4 含绝对值的不等式解法(A1)
【学习要求】
能合理地选择转化的途径解含绝对值的不等式。 【知识归纳】
1、去绝对值的方法有两种:(1)运用公式:|x|aa0为xa或xa;|x|aa0为(2)利用零点分段法去绝对值。 axa。
2、不等式性质运用中要注意:不等式两边同时加上或减去一个数,不等号不变;但当不等式两边同时乘以或除以一个负数,不等号反向。 【例题析解】
例1:运用两种方法解不等式:|4x1|9。
解(1):利用绝对值几何意义。不等式|x|aa0得解为xa或xa,将4x1看作一个整体,则4x19或4x1–9,分别求出解得x2或x
解(2):利用零点分段法去绝对值,令4x1=0,则x=当x
5
。 2
1。 4
1
时,不等式为4x19,即x2,∴x2; 41555当x时,不等式为4x19,即x,∴x,综上所述,x2或x。
4222
例2:解不等式2|2x3|5。
|2x3|2(1)
解法(1):原不等式可以化为,由(1)得2x32或2x32,则
|2x3|5(2)51
51x或
, x或x;由(2)得1x4,即22,
221x4
∴不等式得解集为x|1x
15
或x4。 22
解法(2):原不等式可以化为22x35(1)或52x32(2),由(1)两边同时加3得52x8,两边同时除以2得为x|1x
15
或x4。 22
51
x4,由(2)得1x,∴不等式的解集22
例3:解含字母不等式:|2xb|a。
分析:需要考虑a的符号。(1)当a0,原不等式化为2xba或2xba,两边同时加b再除以2,得x
abab
或x。(2)当a0不等式无解。 22
例4:作y|x1||x2|的图象,并指出使|x1||x2|k恒成立的k的取值范围。
解析:去掉绝对值,用“零点分段法”,把原函数化为分段函数。
|x1|、|x2|的零点为1、2,而点1、2将数轴分成三段,从而去绝对值有
1x2x32xx1
yx12x11x2,其中1x2时,y
x1x22x3x2
恒为1。
作分段函数图象。
如图,使|x1||x2|k恒成立的k的范围显然时k1。
例5:若不等式|x2||3x|a的解集为空集,求a的取值范围。 分析:|x2||3x|变形为|x2||x3|,从绝对值的几何意义以理解为点x到–3、2的距离和。如图,有x的位置有三种情况:
的值
上可
所以,当x在2、3之间(含2、3)时,点x到–3、2的距离和始终为1;当x在2左边、3右边时,点x到–3、2的距离和始终大于1。所以使不等式|x2||3x|a的解集为空集的a的取值范围是a1。 【基本训练】
1、直接写出不等式的解:
2x4________________;4x8________________;x0_____________;
x2x3x9
_____________;_____________;_____________; x5x2x4x5x5
_____________;_____________。
x2x3
2、结合数轴,写出不等式的解:
(1)
x2或x12x4
___________________;(2)___________________;
1x35x4
x4或x62x4
___________________;(4)______________________。
1x5x2或x5
(3)
3、解不等式(组):
x3x24
3
(1)12x; (2)|3x8|13; (3)|x2|1。
4x12
(4)|xa|bb0 ; (5)|2x1|23x; (6)
3|x|1
。 |x|22
【智能提高】
4、已知Ax||x1|2,Bx||x1|1,则A∩B=______________________。 5、关于x的不等式|2ax|b0b0的解是______________________。 6、||x|1|1的整数解为_______________。
7、不等式3|x|224|x|的解集是______________________。
8、已知集合Ax|x2x|x5,Bx||x|a|,且A∩B=,则实数a的取值范围是______________________。
9、若不等式|x4||x3|a的解集是空集,则a的取值范围是_____________________。 10、解下列不等式(组):
(1)1|12x|3 (2)2x24x44
(3)|2|2x1||1 (4)|x1||2x|2
11、画出函数y|x1||x2|的图象,并解不等式|x1||x2|4。
12、解不等式:|mx1|3(m是常数)。
13、已知Ax||2x|5,Bx||xa|3,A∪B=R,求a的取值范围。
14、已知|x2|3,解方程|x1||x5||x3|8。
1.4 含绝对值的不等式解法 1、(1)x2(2)x2(3)x0(4)x5(5)x2 (6)无解(7)5x2(8)3x5 2、大括号表示“且”。
(1)5x1或2x4 (2)1x3 (3)1x4 (4)x2或x6
3、(1)x1是原不等式的解;(2)x7是原不等式的解; (3)x当x
4
或x4是原不等式的解。(4)baxab是原不等式解。(5)用零点分段法。 3
53
111313时,x1,则x;当x时,x,则x。 222525
3
5
综上所述x是原不等式的解。
(6)∵|x|2是正数,∴可以直接去分母,62|x||x|2,解得|x|, ∴x等式的解。
4、x|1x0x|2x3等价x|1x0或2x3。 5、2abx2ab。 6、–2,–1,0,1,2。 7、x|
1414
x。 55
4
3
43
4
是原不3
8、如图,作出A、B的解集,当a2时, A∩B,所以符合A∩B的a的取值范围是数时,B是空集,A∩B仍成立)。 9、参考例5,得a1。 10、(1)x|1x0x|1x2。
(2)提示:x24x4|x2|,则x|2x0x|4x6。 (3)原不等式可以化为:2|2x1|1或2|2x1|1。 当2|2x1|1时,解得1x0;
当2|2x1|1时,解得x1或x2。
所以不等式解集是x|x2x|1x0x|x1。 (4)|x1|、|2x|的零点为1、2,则
a2(当a是0或负
当x1时,解得x
11
,则x1; 22
当1x2时,12,即在此条件下,x可以取任意实数,则1x2; 当x2时,x
5515,则2x,综上所述:x|x是不等式解。 2222
2x1x1
11、利用零点法得y的分段函数y(图略) 1x2。3
2x1x2
又令2x14,则x;2x14,则x
3
2535
,所以当x时,|x1||x2|4。 222
12、解:原不等式为3mx13,即2mx4, 当m0时,x可以取任何实数; 当m0时,
42x; mm24
x。 mm
当m0时,
13、由|2x|5得3x7,
又由|xa|3得x3a或x3a。 ∵A∪B=R,∴
3a7
(请作数轴,利用第8题思想方法考虑),
3a3
∴当4a0时,题设成立。
14、由|x2|3得1x5,当1x3时,原方程解为x1; 当3x5时,x5(舍去),所以条件下方程解为x=1。
1.2~~1.4 10分钟测试
一、选择题:
,1,给出下面五个关系式 1、已知集合A1,0
(1)A(2)0A;(3)A;A; (4)0,1A;(5)2
A; 其中正确的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2、若Mx,y|xy0,xy0,
Nx,y|x0,y0,则M与N之间的关系式( )
(A)MN(B)M=N(C)MN(D)以上都不对
3、已知全集Ux|x4或x4,Ax|6x4,
则UA是( )
(A)x|6x5 (B)x|x6或x4 (C)x|x6或x4 (D)x|x4 4、设集合AxR|4x5,
BxR|x2或x6,则A∩B等于( )
(A)x|6x5 (B)x|6x4 (C)x|2x5 (D)x|6x2 5、如图,U是全集,M、P、S是U的3个子集, 则阴影部分表示的集合是( ) (A)(M∩P)∩S (B)(M∩P)∪S (C)(M∩P)∩(US) (D)(M∩P)∪(US)
6、不等式|x2|3的解集是( ) (A)x|x1(B)x|x5
(C)x|1x5(D)x|x1或x5
n
7、已知集合Mx|x,nN,
2n1
Px|x,nN,则
2
(A)M∩P=φ (B)M=P
(C)MP (D)M∩N=N+ 二、填空:
8、满足m,nZm,n,p,q的集合N为_______。 9、设Ax|xa,Bx|x2,若BA, 则a的取值范围是________________。
10、已知Ax|x2k,kN,
Bx|x2k1,kN
则A∪B=_____。
11、已知My|y3x2,xR,
Ny|y2x21,xR,则M∩N=_____。 6N, 12、已知Axz|
3x
用列举法表示A,则A=____________。
13、已知Ax|x0,xR,ByR|y3, 则A∪B=_______________。
14、已知集合Ax|x2px150,
Bx|x25xq0,若A∩B={3},
则p+q=________。
15、已知A和B各有6个元素,
A∩B有4个元素,则A∪B共有_____个元素。
16、不等式|x1|2的解集是___________________。
1、C 2、B 3、B 4、C 5、C 6、D 7、C 8、m,n、m,n,p、m,n,q 9、a2 10、N*、N 11、x|1x3 12、3,0,1,2 13、R 14、pq14 15、8 16、x|1x3