3热传导方程的解法(1)

2.5 热传导问题的求解方法

2.5.1 简单的齐次热传导问题

∂t∂2

t

∂τ=a∂x2tx=0=0tx=L=0tτ=0=f(x)

2009-9-21

00

2

高等传热学

L

2.5.2 分离变量法

•从边界条件看，两侧边界条件都是齐次的；•可以尝试能满足边界条件的乘积形式的解

t(x,τ)=X(x)Γ(τ)X(0)=0,X(L)=0

2009-9-21

高等传热学

∂t2

∂τ=a∂t

∂x2x=0=0x=L=0τ=0=f(x)

3

ttt

推导过程

如果采用上面的乘积形式，则原来的导热微分方程就可以演化为

∂Γ(τ)2

X(x)∂τ=aΓ(τ)∂X(x)

∂x

2

即

1∂Γ(τ)1∂2

X(xaΓ(τ)∂τ=)

X(x)∂x

2

2009-9-21

高等传热学

4

令

1dΓ(τ)2

aΓ(τ)dτ=1dX(x)

X(x)dx

2

=这里λ只能是常数。展开可以分别得到

dΓ(τ)

dτ+aλΓ(τ)=0d2

X(x)

2009-9-21

dx

2

+λX(x)=0高等传热学

−λ5

前者的解为

Γ(τ)=Aexp(−a

λτ)

而后者的解可能有三种形式

X(x)

=B1)+B2

exp()

X(x)=B1x+B2

X(x)=B1cos+B2sin2009-9-21

高等传热学

λ6

000

第一种情况

X(0)=B1+B2=0

X(L)=B1)+B2exp()导致

B1=B2=0

出现平凡解。

2009-9-21

高等传热学

=0

7

若属于第一种情况，则按照边界条件有

第二种情况

X(0)=B2=0X(L)=B1L+B2=0

导致

B1=B2=0

也会出现平凡解。

2009-9-21

高等传热学

8

若属于第二种情况，则按照边界条件有

第三种情况

X(0)=B1=0X(L)=B

2sin

如果

=β=

nπ

L

就会出现非零解。

2009-9-21

高等传热学

9

若属于第三种情况，则按照边界条件有

方程的非零解

X(x)=B2sinβx,

2

β=nπ/L

t(x,τ)=AB2exp(−aβτ)sinβx

由此可知，满足条件的非零X 不只一个，为了表示不同的解的区别, 用下标n 表示不同的X.

Xn(x)=B2sinβnx,

2n

βn=nπ/L

tn(x,τ)=Cnexp(−aβτ)sinβnx,Cn=AB2

2009-9-21

高等传热学

10

可以验证，t(x,τ)并非原问题的解，n上是以下问题的解，

∂t2

∂τ=a∂t

∂x2tx=0=0tx=L=0tτ=0=Cnsin2009-9-21

高等传热学

βnx

它实质11

即

tn(x,τ)

对应初始条件为

fn(x)=Cnsinβnx

的微分方程的特解。L）区间内是正交的，即

sinβnx

在（∫

L

sinβ0m0

mxsinβnxdx=

L/2m2009-9-21

高等传热学

0,

≠n

=n

12

由于f(x)=

∑f(x)

n

n=1

∞

fx()=即

必然有

∑Cnsinβnx

n=1

∞

（正弦级数）

t(x,τ)=

即

t(x,τ)=

2009-9-21

∑t(x,τ)→f(x)=∑f(x)

n

n

n=1

n=1

∞

∞

n

n

∞∞

∑t(x,τ)=∑C

n=1

n=1

高等传热学

exp(−aβτ)sinβnx

13

2n

为了求出上式中各项的系数Cn，利用

和

∫

L

(f(x)sin得到

2009-9-21

f(x)=

∑∞

C

n

sinβnx

n=1

∞

βm

x)dx=

∫

L

0

∑Cnsinβnxsinn=1n

=2

L

∫

L

(f(x)sinβn

x)dx高等传热学

β

mxdx

14

C

得到的最终解为

∞

(x,τ)=∑2

)sinβnxn=1

L

∫

L

(f(x)dxexp(2



−aβnτ)sin若

f(x)=1

则

L

(n

C=2L

sinβ1−(−1)

n

∫

nx)dx=n得到

π

t(x,τ)=∑∞

1−(−1)n

exp(−aβ2

nn=1

nπτ)sinβnx

2009-9-21

高等传热学

15

nx

tβ

2.5.3 热传导方程的线性特征

且有

2009-9-21

(x,τ)→t1(x,τ)→t2(x,τ)→高等传热学

f(x)

1(x)

f2(x)

如果有

tf16

则一定有

αt1(x,τ)→αf1(x)

1(x,τ)+t2(x,τ)→f1(x)+f2(αt1(x,τ)+βt2(x,τ)→αf1(x)2009-9-21高等传热学x)+βf2(17

x)

t

如果所有可能的初始条件构成一个线性空间

f1(x),f2(x),L,fn(x)

使得任意

f(x)=

∑Cf(x)

nn

n=1

∞

成立

如果这组基函数分别对应着导热微分方程的特解tn(x,τ)，则必然有t(x,τ)=

2009-9-21

∑Ct(x,τ)→f(x)=∑Cf(x)

nn

nn

n=1

n=1

高等传热学

18

∞∞

如果能够找出初始条件函数空间中的一组正交基函数

f1(x),f2(x),L,fn(x)

及其对应的导热微分方程的特解

t1(x,τ),t2(x,τ),L,tn(x,τ)

就可以获得任意初始条件下导热微分方程的特解。t(x,τ)=

2009-9-21

∑Ct(x,τ)→f(x)=∑Cf(x)

nn

nn

n=1

高等传热学

∞∞

n=1

19

至于Cn

，因为有

tn(x,0)=fn(x)

因此有

f(x)=

∑∞

Cntn

(x,0)

n=1

用基函数的正交性，通过积分获得

∫

L

∞

f(x)fn(x)dx=

∑CL

nm(x)fn(x)dx

m=1

∫

f2009-9-21

高等传热学

20

利

如果在所关心的区间内，基函数是正交的（见线性代数理论），即

∫

L

f(x)f0

nm(x)dx=N

2

则可以直接得到

Cn

=1N

2

∫

L

f(x)fn(2009-9-21

高等传热学

n≠mn=m

x)dx

21

如果令fn(x)=sinβnx，

则

0n≠m∫L0fn(x)fm

(x)dx=

2n=m

直接得到

Cn

=2

L

∫

L

f(x)sinβnxdx

2009-9-21

高等传热学

22

则可以

2.5.４分离变量法的一般步骤

•分离变量找到初始条件函数空间的正交基fn(x)•获得这些基所对应的方程的解tn(x,τ)•叠加这些解使之与问题的初始条件对应

t(x,τ)=

∑Ct(x,τ)→f(x)=∑Cf(x)

nn

nn

n=1

n=1

∞∞

•根据基函数正交性采用待定系数法获得加权系数

Cn

2009-9-21

•组合出最终的解

高等传热学

23

1=2

N

∫

L

f(x)fn(x)dx

2.5.5 常用术语

1.齐次方程2.齐次边界条件3.特征值βn

4.特征函数Xn(x,βn)

5.

常见的特征值问题（Sturm-Liouville)

∂2

Xn(x)

∂x

2

+λXn(x)=0

X2009-9-21

n(0)=0X高等传热学

n(L)=0

24

2.5.6 非其次边界条件的处理

∂t2

∂τ=a∂t

∂x2∂t

∂x=0,

x=0τ=0=0

2009-9-21

0−∂t∂x

=−

qx=L

λ

025

t高等传热学

（1）首先齐次化处理

义

t(x,τ)=P(x,τ)+Q(x,τ)

令P(x,τ)满足下面的方程和边界条件

∂P2

∂τ=a∂P

∂x200∂P

∂P∂x=0,

=qx=0

∂x

x=L

λ

2009-9-21

高等传热学

26

定

此时Q(x,τ)满足

∂Q∂Q

=a2∂τ∂x∂Q

=0,

∂xx=0

2

00∂Q∂x

=0

x=L

Qτ=0=t(x,0)−P(x,0)=−P(x,0)

如果能求出以上两个方程的解，则原问题的解就可以得到了。

2009-9-21

高等传热学

27

（2）辅助问题的求解

P(x,τ)=A(τ)x2

+B(τ)x+C(τ)x=0,∂P∂x=0⇒B(τ)=0

x=L,∂Pqq∂x=λ⇒A(τ)=

2λL

2009-9-21

高等传热学

28

2009-9-21

∂P2

∂τ=a∂P∂x2∂C(τ)∂τ

=qa

λLC(τ)=qa

λL

τ+DP(x,τ)=q22λLx高等传热学

+

qa

λL

τ+D29

（3）齐次问题的求解

∂Q2

∂τ=a∂Q

∂x20

∂Q∂x=0,

x=0∂x

x=L

Qτ=0

=−q2λL

x2

−D2009-9-21

高等传热学

τ>030

令

1∂Γ2

n(τ)1∂Xn(x)

aΓ=2

n(τ)∂τXn(x)∂x

展开可以分别得到

∂Γn(τ)

∂τ+aλΓn(τ)=0∂2

Xn(x)

2009-9-21

∂x

2

+λXn(x)=0高等传热学

=−λ31

前者的解为

Γn(τ)=Aexp(−aβ2

τ)

而后者的解可能有三种形式

X

n(x)=B1)+B2exp()Xn(x)=B1x+B2

Xn(x)=B1cos+B2sin2009-9-21

高等传热学

λ32

000

第一种情况

dXndx=

1−B2=0

x=0

dXndx

=

1)−B2exp()x=L

导致

B1=B2=0

出现平凡解。

2009-9-21

高等传热学

=0

33

若属于第一种情况，则按照边界条件有

第二种情况

dXndx=B1=0

x=0

dXndx

=B1=0

x=L

导致B2=任意常数也出现平凡解。

2009-9-21

高等传热学

34

若属于第二种情况，则按照边界条件有

第三种情况

Xn(x)=B1cos+B2sindXndx=−B1sin0+B2cos0=0

x=0

dXndx

=−BsinL+B2cosL=0

x=L

如果

=

βnπ

n=

L

就会出现非零解。

2009-9-21

高等传热学

35

若属于第三种情况，则按照边界条件有

nπ

Xn(x)=B1cosβnx,βn=

L

2

Qn(x,τ)=AB1exp(−aβnτ)cosβnxQn(x,0)=AB1cosβnx=Cncosβnx

Q(x,τ)=

n=0∞

∑C

n

exp(−aβτ)cosβnx

2n

q2

Q(x,0)=−x−D=

2λLCn

2=L

L

∑C

n=1

∞

n

cosβnx

n+1

q2qL(−1)2

(−x−D)cosβxdx=n∫02λL2

λ(nπ)

2009-9-2136

高等传热学

2q

Q(x,τ)=

λL

(−1)∑2

βnn=1

∞

n+1

exp(−aβτ)cosβnx

2

n

t(x,τ)=P(x,τ)+Q(x,τ)

qLxaτ(−1)2

=2+2+2∑2exp(−aβnτ)cosβnx+Dλ2LLn=1βn

∞

2

n

2009-9-21高等传热学37

（4）常数的确定

t(τ)=

qτ

ρcL

t(τ)=

1

L

∫

L

t(x,τ)dx=比较上面两式

D=−

qL

2009-9-21高等传热学

6λqτρcL

+qL

6λ+D

38

（5）最终结果

(−1)qLaτL−3x2

t(x,τ)=+2∑2exp(−aβnτ)cosβnx2−2

λL6Ln=1βn

∞

2

2

n

qLL−3x(−1)2

t(x,τ)=+2∑2exp(−aβnτ)cosβnxFo−2

λ6Ln=1βn

∞

22n

2009-9-21高等传热学39

（6）应用案例

——准稳态导热系数测定仪

恒热流准稳态平板法测定材料导热系数

一、实验原理

对厚度为2L，初温为t0、导热系数为λ、导温系数为a 的无限大平板，当其两表面用恒热流密度qw加热时，属于第二类边界条件下的导热问题。

2009-9-21

q

q

L

41

高等传热学

描述该导热问题的导热微分方程和初始条件为：2

导热微分方程∂t(x,τ)∂t(x,τ∂τ=a)

∂x2

;初始条件

t(x,0)=t0

边界条件（第二类）

∂t(x,τ)

∂t(x,τ)∂x

=−

qx=L

λ∂x

=0

x=0

2009-9-21高等传热学42

微分方程的精确解为

qwδ1x1t−t0=[FO+−

λ2L6+

2

2

(nπ)

2

∑(−n)

n=1

∞

n+1

x22

cosnπexp(−nπF0)]

L

当加热经过一段时间后，傅里叶数Fo>0.5 时,式中的级数项便可略去不计

2

qδ1x1

t−t0=FO+−

λ2L6

可见板内各点温度随时间呈线行变化，而与板面垂直的坐标成抛物线关系

2009-9-21

高等传热学

43

2009-9-21

q

q

—L

L

高等传热学

44

对于x=±L的加热面和x=0的中心面，有

ttqL1

w=0+FttqLλ

O+3

1

c=0+λ

FO−6

中心面与加热面（侧面）间的温差为

∆t=tqL

w−tc=

2λ

知道qw由和δ就可以计算出导热系数

λ=qLqL2t=

w−

tc2∆t

W/(m⋅K)

Δt—同一瞬时加热面与中心面间的温差，℃；qw—单位面积平板表面所获得热流量，W/m2；

2009-9-21

L—平板的半宽度，m。高等传热学

45

按比热容的定义写出计算式

c=q

J/ρL(kg⋅K)

∂t

∂τc式中：ρ—试材的密度，kg/m3；

∂t∂τ

—中心面的中心温度变化率，c

按导温系数定义可得

λ2

a=ρc=Lλ∂tL∂tq∂τ=c2∆t

∂τc

2009-9-21

高等传热学

/s。m2

/s

46

℃

qLqL导热系数λ==W/(m⋅K)2tw−tc2∆tq

比热容c=J/(kg⋅K)

∂tρL

∂τc

λLλ∂tL∂t2

导温系数a=m/s==

ρcq∂τc2∆t

∂τc

待测参

数：

q─单位面积平板表面所获得的热流量，Ｗ/m2;

∆t=tw−tc─同一时刻加热面与中心面间的温差，℃；L─平板的半厚度，m。ρ—试材的密度，kg/m3；

∂t

—中心面的中心温度变化率，℃/s。∂τc2009-9-21高等传热学

47

2

2009-9-21高等传热学

48

2009-9-21

高等传热学

薄膜加热器示意图

49

恒热流准稳态平板法测定非金属材料导热系数

2009-9-21实验设备系统图

高等传热学

50