21.3实际问题与一元二次方程的应用--学案定稿

21.3实际问题与一元二次方程的应用（1）

——传播问题与一元二次方程

【学习目标】1. 掌握一元二次方程在流感传播类问题中的应用．

2．通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析、解决问题的能力． 【学习重点】由应用问题的条件列方程的方法． 【学习难点】设“元”的灵活性和解的讨论． 【学习过程】

一、要点梳理：

1. 列方程解应用题关键是审清题意，辩明问题中的已知量和未知量，找出它们之间的数量关系，恰当地设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系． 2. 列一元二次方程解应用题的一般步骤 （1）审——审清题意． （2）设——设未知数．（有直接设未知数和间接设未知数两种方法. ） （3）列——列出方程．

（4）解——解所列方程，求所列方程的解． （5）验——检验． （6）答——回答．

二、一元二次方程的应用（1）——传播类问题

（1）基础训练

1．某种细菌利用二分裂方式繁殖，每次一个分裂成两个，则五次繁殖后共有_____个细菌. 2．某班45名学生互赠贺卡，共需______张.

3．早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝，在一天内，一人能传染7人，那么经过两天______人患上甲肝. （2）例题分析

例1. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

思考1：如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？

思考2：若传染源是2人，经过两轮传染后共有128人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染给几个人？

小结：传播类问题列方程的方法技巧：

(1)开始数量为1，每轮传染的数量为x ，经过n 轮传染后的数量为b, 则所列方程为（1+x）n

=b

(2)开始数量为a ，每轮传染的数量为x ，经过n 轮传染后的数量为b, 则所列方程为a （1+x）n

=b 例2．某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中有

1

3

的又生长同样多的小支根，而其余生长出一半数目的小支根，主根、支根、小支根的总数是109个. 求这种植物主根长出多少支根.

练习1．某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？

21.3实际问题与一元二次方程的应用（2） ——平均增长（降低）率问题与一元二次方程

二、一元二次方程的应用（2）——平均增长（降低）率问题：

（1）基础训练

1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x ，第一年的产量为6万kg ，•第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______ kg，三年总产量为 kg ．

2．某糖厂2012年食糖产量为a t ，如果在以后两年平均增长的百分率为x ，那么预计2014年的产量将是 t ．

3．我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在2012年涨价30%后，2014年降价70%至a 元，则这种药品在2012年涨价前价格是_______． 4. 向阳村2012年的人均收入为12000元，2014年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率 ．

注意：①平均增长率中的数量关系：若增长的基数为a ，每次增长的平均增长率为x ，则第一次增长后的数量为 ，第二次增长是以a (1 x ) 为基数的，第二次增长后的数量为 ．

②当问题变为下降（或减产）率为x ，第二次减少后的数量则为 ． （2）例题分析

例1．某市2015年教育经费为1600万元，预计到2017年将达到2500万元，求该市2015年到2017年教育经费的平均增长率?

例2．某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次，求每年接受科技培训的人次的平均增长率是多少？

练习1．某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，求月平均增长率．

练习2．甲商场七月份利润为100万元，九月份的利润为121万元，乙商场七月份利润为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?

练习3．某化肥厂去年四月份生产化肥500吨，因管理不善，五月份的产量减少了10%，从六月起强化管理，产量逐月上升，七月份产量达到648吨，那么该厂六、七两月产量平均增长的百分率是多少?

小结：平均增长（降低）率问题的规律：

(1)增长率问题：设基数为a ，平均增长率为x, 则一次增长后的值为a(1+x),两次增长后的值为

a(1+x)2, 依次类推，n 次增长后的值为a(1+x)n

.

(2)降低率问题：设基数为a ，平均降低率为x, 则一次降低后的值为a(1-x),两次增长后的值为

a(1-x)2, 依次类推，n 次增长后的值为a(1-x)n

.

21.3实际问题与一元二次方程的应用（3） ——几何图形（面积类）问题与一元二次方程

【学习目标】1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．

2．学会对面积的割补、移动的方法，培养学生灵活运用、一题多解的能力．

【学习重点】会列方程解有关面积问题的应用题． 【学习难点】面积的割补、移动． 【学习过程】

二、一元二次方程的应用（3）——平均增长（降低）率问题：

例1．如图，在长为30米，宽为20米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分种上草，

若草地的面积是551平方米，则修建的道路的宽是多少米？

小结：求解面积问题的方法：

(1)

规则图形：套用面积公式列方程.

(2)不规则图形：采用割补的办法，使其成为规则图形，根据面积间的和、差关系求解.

练习1．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm ，宽21cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm ）？

九 年

级 练数 学 习同步

练习2．有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?

练习3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，其中墙的长度为18 m，另外三面用竹篱

笆围成，若竹篱笆总长为35m ，所围的面积为150m 2

，则此长方形鸡场的长、宽分别为多少？

例2．在三角形ABC 中，∠B =60°，AB =24cm，BC =16cm，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以4cm/s 的速度运动，点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2cm/s的速度运动．它们同时出发，求（1）几秒钟后，△PBQ 的面积是△ABC 的面积的一半？

（2）在第一问的前提下，P 、Q 两点之间的距离是多少？（提供定理：在直角三角形中，30°角 所对的直角边是斜边的一半．）

例3．如图等腰直角三角形ABC 中，AB =BC

=8，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 运动，通过点P 作PR ∥BC 、PQ ∥AC 交AC 、BC 于R 、Q ．问：

（1）平行四边形PQCR 面积能否为7 cm 2

？如果能，请求出P 点与A 点的距离；如不能，请说明理由；

（2）平行四边形PQCR 面积能否为16 cm 2 ？能为20 cm 2

吗？如果能，请求出P 点与A 点的距离；如不能，请说明理由．

A P

R

B

Q

C

例4. 用一块边长为60cm 的正方形薄钢片制作一个长方体盒子： （1）如果要做成一个没有盖的长方体盒子，可先在钢片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图1），然后把四边折合起来（如图2）．

①求做成的盒子底面积y （cm 2

）与截去小正方形边长x (cm)之间的函数关系式；②当做成的盒

子的底面积是900 cm2

时，试求该盒子的容积．

（2）如果要做成一个有盖的长方体盒子，其制作方案要求同时符合下列两个条件； ①必须在薄钢片的四各角上个截去一个四边形（其余部分不能裁剪） ②折合后薄钢片既无空隙又不重叠地围成各盒面．

请你画出符合上述制作方案的一种草图（不必说明画法与根据）；并求当底面积为800cm 时，该盒子的高．

21.3实际问题与一元二次方程的应用（4）

——商品销售问题与一元二次方程

【目标导航】能熟练地找出销售问题中的相等关系列方程解应用题 【学习重点】会用列方程的方法解决有关商品的销售问题 【学习难点】如何找出商品的销售问题中的等量关系 【学习过程】

二、一元二次方程的应用（4）——商品销售问题：

（1）基础练习:

1．一种药品现在售价56元，比原来降低了15％，问原售价为 元． 2．“五一”黄金周期间，为了促销商品，甲、乙两个商店都采取优惠措施，甲店推出八折后再

打八折，乙店则一次性六折优惠，若同样价格的商品，下列结论正确的是（ )

A ．甲比乙优惠 B．乙比甲优惠 C．两店优惠条件相同 D．不能进行比较 3. 某种商品的进价为100元，若要使利润率达20% ，则该商品的销售价格应为 元？此时每件商品可获利润 元？

4. 某商场某种商品平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件商品降价1元，商场平均每天可多售出2件。该商品降价10元, 商场平均每天售该商品 件, 若该商品降价x 元，商场平均每天销售该商品 件, ？

【要点梳理】销售问题中常用的关系式：利润＝进价×利润率， 利润＝售价-进价．

（2）例题分析

例1．某水果批发商场有一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克涨价多少元？

练习1. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。 若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

练习2. 某种新产品进价是120元，在试销阶段发现每件售价(元) 与产品的日销售量(件) 始终存在下表中的数量关系

（1）请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销售量减少的数量（件）之间的关系

（2）在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到1600元.

练习3．某水果批发商商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg ，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg ，针对这种水产品情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．

（2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的关系式．

（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?

课后作业：

1．一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为 （ ） A ．（1+25%）（1+70%）a 元 B．70%（1+25%）a 元 C ．（1+25%）（1－70%）a 元 D．（1+25%+70%）a 元

2．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为 （ ） A ．

p 100p 100100+p B．p C．1000-p D．p

100+p

3．某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前x 增加到

（x+10%），则x 是 （ ） A．12% B．15% C．30% D．50% 4．某种服装原价为200元，连续两次涨价a%后，售价为242元，则a 的值为 ．

5． 一个产品原价为a 元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%． 6．某商场将某种商品的售价从原来的每件40

元经两次调价后调至每件32.4元． （1）若该商店两次两次调价的降价率相同，求这个降价率；

（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件. 若该商品原来每月可销售500件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？

7. 某商店经销一批小家电，每个小家电成本40元，经市场预测，定价为50元时，可销售200个；定价每增加1元，销售量将减少10个．如果商店进货后全部销售完，赚了2000元．问该商店进了多少个小家电？定价是多少元？

8. 某商场礼物柜台购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可销售500张，每张盈利0.3元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当的措施。调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天多售出100张。商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？

9. 某商店购进一种商品，单价30元．试销中发现这种商品每天的销售量p （件）与每件的销售价x （元）满足关系：p=100-2x．若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？

某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定每件商品的利润不得超过30%． （1）根据物价局规定，此商品每件售价最高可定为多少元？

（2）若每件商品售价定为x 元，则可卖出（170-5x ）件，商店预期要盈利280元，那么每件商品的售价应定为多少元？

10. 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.

某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元. 请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？