振动测试技术

拱桥振动测试

姓名：刘

学号：

班级：研

课程：振动测试技术

年月： 沛 0214185 14-1班 2015年7月18日

目录

一 振动测试概述·································································································· 1 1 振动分类及描述 ······················································································· 1 2 振动基本参量表示方法 ········································································· 1 3 振动测试仪器分类及配套使用 ····························································· 3 4 窗函数的分类及用途 ············································································· 4 5 信号采集及分析过程中出现的问题，怎样解决？ ····························· 7

二、惯性式速度型与加速度型传感器································································ 8 1 惯性式速度传感器的分类 ······································································· 8 2 压电式加速度传感器 ············································································· 9

三 振动特性参数的常用量测方法···································································· 12 1 振动基本参数的量测 ············································································· 12 2 简谐振动频率的量测 ············································································· 12 3 机械系统固有频率的测量 ····································································· 12 4 简谐振动幅值的测量： ········································································· 12 5衰减系数的测量： ·················································································· 13 6结构动力特性参数量测 ·········································································· 13 7 稳态正弦激振及测试 ············································································· 13

8 瞬态激振及测试 ····················································································· 14 9 随机激振及测试 ··················································································· 15

四 题目（结构设计）························································································ 16 1 结构设计资料及试验要求 ····································································· 16

2. 试验目的 ·································································································· 18

3. 试验方法 ·································································································· 18 4 结果分析 ······························································································· 20

五 概念················································································································ 22 1 功率谱 ····································································································· 22 2 自相关函数 ····························································································· 22 3 互相关函数 ····························································································· 23 4 相干函数 ································································································· 23 5 传递函数 ································································································· 24

六 模态分析········································································································ 26 1 概念 ······································································································· 26 2 方法分类及理解 ····················································································· 26

一 振动测试概述

1 振动分类及描述

按照运动的表现形式，振动可以分为确定性和非确定性振动（即随机振动）。确定性振动又分为周期性和非周期性振动。周期性振动分为简谐振动和复杂周期振动。非周期运动又分为准周期和瞬态振动。非确定性振动分为平稳随机和非平稳随机，平稳随机又分为各态历经和非各态历经。按振动激励类型分类，振动可分为随机自由振动和随机强迫振动。按振动位移的特征分类，振动可分为：横向振动（振动体上的质点在垂直于轴线的方向产生位移的振动）、纵向振动（振动体的质点沿轴线方向产生位移的振动）和扭转振动（振动体上的质点沿轴线方向产生位移的振动）。周期运动的最简单形式是简谐振动。这种振动的表示方法及特点是描述其他振动形式的基础。一般的周期运动可以借助傅里叶级数表示成一系列简谐振动的叠加，该过程称为谐波分析。非周期运动则需要通过傅里叶积分作谐波分析。

2 振动基本参量表示方法

工程振动测试的主要参数有位移、速度、加速度、激振力、振幅、振动频率、阻尼比及结构的振动模态等。其中前五个参数属于时域测试参数。 下面分别来说明振动基本参量的表示方法及其含义：

（1）振幅（A ）：振幅就是振动过程中振动物体离开平衡位置的最大距离。振动的幅度有三种表示法，即峰值、平均值和有效值。

（2）周期（T ）：从振动波形来看，连续两次波峰或者波谷之间耗费的时间就是一个振动周期，也就是完成一次振动所需的时间。

（3）频率（f ）：单位时间内振动循环的次数f ，单位是赫兹（Hz ）。频率是振动特性的标志，是分析振动原因的重要依据。周期T 是物体完成一个振动

过程所需要的时间，单位是秒（s ）。频率与周期互为倒数，f =1。 T

（4）相位（）：振动物体在任一时刻t 的运动状态（指位置和速度）都由(ωt +ϕ) 决定，(ωt +ϕ) 是决定简谐振动运动状态的物理量，称为振动的相位。表示t =0时的相位，叫做初相位或初相。物体的振动在一个周期内所经历的运动状态没有一个相同的，这相当于相位从0到2π的变化；而位移和速度都相同的运动状态，它们所对应的相位差是2π或2π的整数倍。因此，相位是反映简谐运动周期性特点，并用以描述运动状态的重要物理量。

（5）临界阻尼（c cr ）可定义为：体系自由振动反应中不出现往复振动所需的最小阻尼值，即

c cr =2m ωn =

（6）结构的阻尼系数（c ）：是结构在每一振动循环中消耗能量大小的度量。结构的阻尼比是结构的重要动力特性参数，利用结构自由振动试验可以获得结构的阻尼比。

u i u i 为相邻振动峰值=u i+1, u i+1（7）对数衰减率（δ）：定义为

δ=ln

比。

简谐振动中的测试参数：

位移，速度，加速度为时间调和函数的振动称为简谐振动，这是一种最简单最基本的振动。其函数表达式为：

位移： x (t ) =A s i ω f 2n (t =) A s πi n (t

πA c o ωs (t =) ωA s i πn ( 速度： v (t ) =ω2)

22加速度： a (t ) =-A ωsin(ωt ) =ωA sin(2πft +π)

式中: A ——位移幅值（cm 或mm ）；

ω——振动圆频率（s ）；

f ——振动频率（Hz ）。

x (t ) 、v (t ) 、a (t ) 三者之间的相位依次相差为π2。若令：速度幅值V =ωA ，加速度幅值a 0=ω2A ，则有a 0=ωV =ω2A =(2πf ) 2A 。

由此可见，位移幅值A 和频率ω（或f ），是两个十分重要的特征量，速度和加速度的幅值V 和a 0可以直接由位移幅值A 和频率f 。导出。在测量中，振动测试参数的太小常用峰值、绝对平均值和有效值来表示。所谓峰值是指振动量在给定区间内的最大值，均值是振动量在一个周期内的平均值，有效值即均方根值，它们从不同的角度反映了振动信号的强度和能量。

3 振动测试仪器分类及配套使用

一、分类

（1）机械式的测量仪器。将工程振动的参量转换成机械信号，再经机械系统放大后，进行测量、记录。此法常用的仪器有杠杆式测振仪和盖格尔测振仪，能测量的频率较低，精度也较差。但在现场测试时较为简单方便。

（2）光学式的测量仪器。将工程振动的参量转换为光学信号，经光学系统放大后显示和记录。常用的仪器有读数显微镜和激光测振仪等。目前光学测量方法主要是在实验室内用于振动仪器系统的标定及校准。

（3）电测仪器。将工程振动的参量转换成电信号，经电子线路放大后显示和记录。这是目前应用得最广泛的测量方法。

图1.1 电测法基本测量系统示意图

二、配套使用情况

目前，整个动态测试仪器系统通常有以下三种测振仪配套方式，见图2。

图1.2 动态测试系统三种配套仪器系统

4 窗函数的分类及用途

一、分类

1. 矩形窗（Rectangular 窗）矩形窗属于时间变量的零次幂窗，函数形式为:

⎧1⎪, 0≤t ≤T , w (t ) =⎨T

⎪0, t ≥T ⎩

W (ω)=2s i ωn t

ωt 。 相应的谱窗为：

2. 三角窗（Bartlett 或Fejer 窗）三角窗是幂窗的一次方形式，其定义为： ⎧1t (1-) ⎪w (t )=⎨T 0≤t ≤T ; T ⎪0 t ≥T ⎩

ωT ⎛s i W (ω) = T ⎝2谱窗为： ⎫⎪⎪⎪⎭

3. 汉宁窗（Hanning 窗）又称升余弦窗，其时间函数 为:

πt ⎧111⎪(+cos ), t ≤T T w (t )=⎨T 22

⎪0 t ≥T ⎩

W (ω) =

其谱窗为： sin ωT 1⎡sin(ωT +π) sin(ωT -π) ⎤+⎢+ωT 2⎣ωT +πωT -π⎥⎦

4. 海明窗（Hamming 窗）海明窗也是余弦窗的一种，又称改进的升余弦窗，其时间函数为：

πt ⎧1⎪(0.54+0.46cos ), t ≤T T w (t )=⎨T

⎪0 t ≥T ⎩

W (ω) =1.08

其谱窗为： sin ωT ⎡sin(ωT +π) sin(ωT -π) ⎤+0.46⎢+ωT ωT -π⎥⎣ωT +π⎦

5. 高斯窗 高斯窗是一种指数窗，其时域函数为：

⎧1-at 2

⎪e , t ≤T w (t )=⎨T

⎪0 t ≥T ⎩

式中：a 为常数，决定了函数曲线衰减的快慢。高斯窗谱的主瓣较宽，故而频率分辨力低，高斯窗函数常被用来截断一些非周期信号，如指数衰减信号等。

6. 参数可调整窗 利用变换窗的参数得到不同的性能，如上述余弦族窗中的系数，指数窗中的a ，以及Gauss 窗、Dolph —chebyshev

窗、Kalser-Bessel 窗等也都是参数可调窗。可以组构成一些窗函数系列、如P200、P300系列窗。

二 用途

在数字信号频率分析中，要求对不同类型的时间信号选用不同的窗函数，对随机信号的处理，通常选用汉宁窗，因为它可以在不太加宽主瓣的情况下较大的压低旁瓣的高度从而有效的减少了功率的泄露。对本来就有很好的离散谱信号，例如周期信号或准周期信号，分析时最好用旁瓣较低的Kalser-Bessel 窗。冲击过程和瞬态过程的测量，一般用矩形窗而不选用汉宁窗或Kalser-Bessel 窗, 因为这些窗对起始端很小的加权会使瞬态信号失去其基本特性。

5 信号采集及分析过程中出现的问题，怎样解决？ 1 信号采集和分析过程中出现的问题

信号分析和采集过程中会出现信号频率混叠、连续信号的截断和抽样所引起的泄露、时域到频域转化、处理不好引起的误差和错误、信号中的信噪比等等问题。

2解决方法

对于信号频率混叠需要进行对输入信号的抗混滤波，波样采集和模数转换。对于连续信号的截断和抽样所引起的泄露需要进行加窗处理，通常所用的窗有矩形窗，汉宁窗，三角窗和海明窗等等。再通过FFT 变换，进行时域到频域的变换和数据计算。信息论指出:对常用频宽为F 的限时、白色高斯噪声信道，信道容量 。当容量不变时，增大带宽可降低信噪比，提高信噪比必须压缩带宽。因此，抗干扰为主要矛盾时，可扩展频带换取低信噪比下接收，调频与扩频均基于这一原理。频带为主要矛盾时，则可用信噪比换取频带，多进制、多电平传输均基于这一原理。

二、惯性式速度型与加速度型传感器 1 惯性式速度传感器的分类

惯性式测振传感器是利用弹簧质量系统的强迫振动特性来进行振动测量的。这种传感器可以直接固定在被测物体上，它不需要相对参考系固定传感器。是一种绝对式测振传感器。分为磁电式拾振器和压电式加速度传感器。

一．磁电式拾振器

（1）力学模型图示：

图2.1 磁电式拾振器

1—弹簧；2—质量块；3—线圈；4—磁钢；5—仪器外壳

（2）力学原理

惯性式速度传感器的换能原理是以导线在磁场中运动切割磁力线产生电动势为基础的。由永磁铁和导磁体组成磁路系统，在磁钢间隙中放一工作线圈，当线圈在磁场中运动时，由于线切割磁力线，根据电磁感应定律在线圈中就有感应电动势产生，其大小正比于切割磁力线的线圈匝数和通过此线圈中的磁通量的变化率。当仪器结构定型后，感应电动势和线圈对磁钢相对运动的线速度成正比。

电磁拾振器又称为速度计。

线圈中感应电动势大小为:

式中 n —线圈的匝数； E nBLv

B —磁钢与线圈间的磁场强度；

L —每匝线圈的平均长度；

V —线圈的运行速度。

2 压电式加速度传感器

（1）力学模型示意图：

下图中：

1—仪器外壳； 2—硬弹簧；3—质量块；4—压电晶体；5—输出线

图2.2 压电式加速度传感器结构原理

（2）工作原理

压电式加速度传感器一般有三类，即中心压缩式、剪切式和三角剪切式。压电晶体加速计是利用压电晶体材料具有的压电效应制成的。压电晶体在三轴方向上的性能不同，x 轴为电轴线，y 轴为机械轴线，z 轴为光轴线。若垂直于x 轴切取晶片且在电轴线方向施加外力F ，当晶体受到外力而产生压缩或拉伸变形时，内部会出现极化现象，同时在其相应的两个表面上出现异号电荷，形成电场。当外力去掉后，又重新回到不带电的状态。由压电晶体加速计可知，将质量块3放在两块圆形压电晶片4上，质量块由一硬弹簧2预先压紧，整个组件装在具有厚基座的金属壳体内，压片晶体片和惯性质量块在一起构成振动系统。当被测振动体的频率远低于振动系统的固有频率时，惯性质量块相对于基座的振幅近似与被测振动体的加速度峰值成正比。设q 为释放的电荷，F 为作用力，A 为电极化面面积，则有：

q F =d x A 或 t

q =d x F

三 振动特性参数的常用量测方法 1 振动基本参数的量测

振动基本参数: 振幅、周期、频率、相位、阻尼比、动力放大系数等描述振动所必须的量统称为振动基本参数。

2 简谐振动频率的量测

①李萨如图形比较法：运动方向相互垂直的两个简谐振动的合成运动轨迹称为李萨如图形。利用示波器、信号发生器以及常用的振动信号测试设备所组成的测试系统，来量测简谐振动的振动频率，称之为李萨如图形比较法。 ②录波比较法：这种方法是将被测振动信号和时标信号（一般为等距离的时间脉冲信号）一起送入光线示波器中并同时记录在记录纸上，然后根据记录纸上的振动波形和时标信号两者之间的周期比测定被测振动波形的频率。 ③直接测频法：这种方法是使用频率计数器直接测定简谐波形电压信号的频率和周期。频率计数器有指针式和数字式两种。

3 机械系统固有频率的测量

分为测量机械系统固有频率的自由振动法和测量机械系统固有频率的强迫振动法。

4 简谐振动幅值的测量：

①指针式电压表直读法：指针式电压表是振动测量中最常用的显示仪表，用以测量振动位移、速度和加速度的数值（峰值、有效值或平均绝对值）。 ②数字式电压表直读法：直流数字电压表由模拟/数字转换器及电子计数显示器两大部分组成。

③光学法：包括用读数显微镜观察和楔形观察法。

• 同频简谐振动相位差的测量

主要有示波器测量法和相位计直接测量法两种。

5衰减系数的测量：

①振动波形法

②共振频率法

③共振曲线法

6结构动力特性参数量测

结构动力特性参数包括结构动力特性参数通常指结构的固有频率、振型、阻尼比、衰减系数等参数。其测量方法有：

a. 固有频率的量测方法：自由振动法和强迫振动法。

b. 衰减系数的量测方法：振动波形法、共振频率法和共振曲线法。 c. 阻尼比的测量方法：对数衰减率法和半带宽法。

d. 振型与发生振动的初始条件无关，而仅与体系本身的刚度、质量分布有关，根据刚度和质量和圆频率就可以算出振型。

7 稳态正弦激振及测试

稳态正弦激振又称简谐激振，它是借助激振器对被测对象施加一个频率和幅值均可控制的正弦激振力。在结构动态特性测试中，首先要激励试件，使其按测试的要求作振动。稳态正弦激振是对试件输入一个幅值稳定、单一频率的正弦信号，让试件作稳态强迫震动后再作测量。若要获得试件在某段频率范围的信息，必须在该频率范围内，以不同频率作多次激振和多次测量，即频率扫描，因此，稳态正弦激振试验周期长。但因其信噪比高，测试精度高，可靠性也较高，测试设备和仪器较简单，故目前仍较多使用它。用微机控制作自动频率扫描，记录，分析处理，可大大缩短试验周期。

图3.1 稳态正弦激振法

8 瞬态激振及测试

瞬态激振是自由振动法中常用的一种激振手段。如采用不同的方法给被测结构施加一个冲击力，迫使结构的速度突然发生变化而产生自由衰减振动，此时记录下激振力及结构上某些测点的响应，则可通过响应曲线或传递函数获得结构的动力特性参数。瞬态激振是一种宽带激振方法。目前主要有脉冲激振、阶跃激振、快速正弦扫描激振三种方法。

①脉冲激振：脉冲激振是给试件施加一脉冲力，试件在脉冲力作用下将产生一自由振动。通常使用脉冲锤锤击试件，此时将产生近似半正弦波的脉冲力。使用不同的锤头垫材料可以得到不同宽频的脉冲。用不同质量配重的锤头和敲击速度，可获得不同大小的脉冲力。脉冲激振简便高效，但对激励点、拾振点的选取，锤击方向和轻重均有较高要求，脉冲力是一种随机输入，需多次锤击并对测试结果平均以减少随机误差。

②阶跃激振：对试件施加一静力，使它产生弹性变形，然后突然取消该力。这相当于对试件施加了一个负的阶跃激振力。

③快速正弦扫描激振：对在某一频带范围内工作的试件，理想激振力的频谱应是一矩形，谱幅值在上下限频率内相等，在上、下限频率范围外为零。这一要求，等幅线性频率扫描的正弦力函数可基本满足。这种快速激振法可有较大的激振能量，测试精度也较高。

9 随机激振及测试

随机激振法目前常用的有三种：纯随机激振法、伪随机激振法和周期随机激振法。

1纯随机激振法。在整个时间历程里所有激振信号都是随机的，如白噪声，○

其特点是功率谱是平直谱，没有周期性。通常是将白噪声发生的信号记录在磁带上，通过功率放大器输出给激振器进行激振。

2伪随机激振法。在一个周期内激振信号是随机的，但各个周期的激振信○

号是一样的。

3周期随机激振法。它主要由变化的伪随机激振信号组成，当激振进行到○

某几个周期后，又出现一个新的伪随机激振信号，它综合了纯随机信号和伪随机信号的优点，做到既是周期信号，统计特性有是随时间变化的。 随机振动试验按实际环境要求有以下几种类型：

1宽带随机振动试验，这是应用最广的随机振动试验。 ○

2窄带随机振动试验，这种随机振动有一中心频率，有一定带宽，但带宽○

内PSD 值是不变的。

3宽带随机加上一个或数个正弦信号。 ○

④宽带随机加上一个或数个窄带随机。

四 题目（结构设计）

每人选一种斜拉桥或者拱桥（可从网上搜一种），布置相应的测振传感器测点位置（画出测点布置图），写出选用的传感器、放大器设备。

要求写出测出内容：振幅、加速度、动应变、动位移、索力、还须测出动力放大系数。

结果分析：频率、阻尼比、振型的分析方法。 1 结构设计资料及试验要求

本设计所选结构是跨 径50m ，吊杆间距5m ，矢高10m 的空间拱桥。主梁为箱型截面，B 2100×600×10/10，主梁恒载集度为96.2 kN/m （包括二期恒载和人行道荷载），只作用于主梁上。主梁Midas 以及拱桥立面、平面布置图分别如图4.2、4.3、4.4所示。实验要求针对此结构布置相应的测振传感器、放大器及相应的记录设备，对桥梁结构进行动载试验。

图4.1 拱桥结构测试系统

图4.2 拱桥模型

图4.3 拱桥立面图（单位：m ）

图4.4 1/2拱构造和1/2桥面系平面图（单位：m ）

2. 试验目的

测出拱桥结构的振幅、加速度、动应变、动位移以及动力放大系数。

3. 试验方法

(1)测振系统仪器选择：

测振传感器可选择磁电式拾振器，放大器采用电压放大器，通过动态数据采集仪与电脑连接。

(2）布置：

① 主梁一阶振型测点布置（蓝色圆圈表示拾振器）

② 主梁二阶振型测点布置（蓝色圆圈表示拾振器）

在拱桥结构动载试验中，按照动载试验的要求和目的以及桥梁的结构形式确定测振传感器的位置。测振传感器布置一般按照结构振型形状在变位较大的部位布置测点，尽可能避开各阶振型的节点。对于拱桥，一阶振型的测点布置在跨中，二阶振型的测点布置在1/4跨处；其他阶振型这里不作要求。需将自重转换为质量，并将荷载转为质量，计算出基频。经计算基频为1.787Hz 。

测位移时传感器可选择磁电式速度传感器，放大器采用电压放大器，通过动态数据采集仪与电脑连接。测加速度时传感器可选择压电式加速度传感器，放大器采用电荷放大器，通过动态数据采集仪与电脑连接。测试仪器框架连接图如下：

图4.5测试仪器框架连接图

(3)验加载方式：

动载试验的加载方式一般采用跑车加载完成，即安排车辆以不同的车速分别进行匀速通过桥梁，使桥梁产生不同程度的强迫振动，简称“跑车试验”。 对于动应变和动位移，测点的布置同上；动应变的测试元件采用应变片，用动应变仪进行测量；动位移的测量采用机电百分表，也可通过动应变间接推算；通过动位移可以计算出桥梁的动力放大系数。

图4.5 拱桥一阶振型

图4.6 拱桥二阶振型

4 结果分析

（1）频率 在记录的振动波形曲线上，可根据时标符号直接计算出结构的频率f ：

f =Ln

tS

式中：L

n

S n 个波长的距离；

t 时标的间隔。

（2) 阻尼比

桥梁结构的阻尼特性一般采用对数衰减率δ或阻尼比ζ来表示。由振动理论可知，对数衰减率为：

δ=ln 1

n u i =u i+1

式中：u i u i+1

对于一般建筑材料，其阻尼比都很小，故： ζ≈u δ1=ln i

2π2πn u i+1

(3)振型分析

将若干测振传感器安装在结构的各有关部位，当跑车时，同时记录结构各部位的振幅和相位，比较各测点的振幅及相位即可绘出振型曲线。

五 概念

1 功率谱

功率谱是用以表示振动信号在某频段的能量成分，对于能量无限的信号，只要它的功率是有限的，就可以用功率谱密度函数来描述，它表示在频域内的频率结构。功率谱适用于有限或无限的信号，它表示在整个过程中单位时间、单位频率间隔中能量流的平均值。 在FFT 分析的基础上，可按下式关系求得自功率谱公

2⎤1⎡∧式 S X (w ) =lim E ⎢X (w , T ) ⎥ T →+∞2T ⎣⎦

式中：S X (w ) —平稳过程X (t ) 的功率谱密度；

) X (t ) 的Fourier 变换。 X (w , T —平稳过程∧

功率谱密度S X (w ) 通常也简称为自谱密度或谱密度，他是从频率角度描述X (t ) 的统计规律的最主要的数字特征，物理意义表示X (t ) 的平均功率关于频率的分布。平均次数越多，谱估计的相对标准偏差越小。 2 自相关函数

自相关函数是信号处理、时间序列分析中常用的数学工具，是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度。在信息分析中，通常将自相关函数称之为自协方差方程。

设X (t 1) 和X (t 2) 是随机过程X (t ) 在任意两个时刻t 1和t 2的状态，

X (t ) 的自相关函数为： 是相应的二维概率密度，则随机过程f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)

R X (t 1, t 2) =E [X (t 1) X (t 2) ]=⎰∞

-∞-∞122⎰∞x x f (x 1, x 2; t 1, t 2) dx 1dx 2

R x 值可正可负，但恒为偶函数，即R x (-τ) =R x (τ) ，且在τ=0时取最大值

2此外，由于任何周期性信号的自相关也是周期性的，因此，可以采用R x (0)=ψx

自相关函数特性从噪声中检测周期性的分量。一般随机噪声的自相关函数为0，周期性分量的自相关函数不为零。

3 互相关函数

互相关函数是信号分析里的概念，表示的是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度，即互相关函数是描述随机信号X (t ) ，Y (t ) 在任意两个不同时刻t 1 ，t 2的取值之间的相关程度。描述两个不同

的信号之间的相关性的函数，这两个信号不一定是随机信号。 设互相关函数R xy 是表示两个振动信号x (t ) ，y (t ) 相关性的统计量。其定义

1T R (τ) =l i x t y (t ) +τ(d τ) 为： x , y T →∞T ⎰0

如果x (t ) =y (t ) ，则R x , y (τ) 成为R x (τ) 的自相关函数。R x , y (τ) 虽也是可正可负的实值函数，但不一定在τ=0时有最大值，也不一定是偶函数。但其在x 和y 互换时，R x , y (τ) 是对称于纵轴的，即R x , y (-τ) =R y , x (τ)

而且 R x , y (τ≤

21⎡R x (0+) R y ⎤( 0) ⎣⎦2 R x , y (τ) ≤R x (0)R y (0)

互相关函数的上述性质在工程中具有重要的应用价值，在混有周期成分的信号中提取特定的频率成分；以及线性定位和相关测速。 4 相干函数

相干函数是表示两个随机过程之间的线性相关性，在时域上用互相关函数，在频域上用互谱密度函数进行描述，在频域上也可以用相干函数描述这种线性相关性。

G xy (f )

22γxy (f ) =G xx (f ) G yy (f )

式中：G xx (f ) 、G yy (f ) —非零且无δ函数的自谱密度函数； G xy (f ) —互谱密度函数。

相干函数的值总在0 1 之间。当它接近1时，说明和有良好的线性因果关系；当它明显小于1时，说明信号受到干扰噪声的“污染”或系统具有非线性特性。

5 传递函数

传递函数是零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。传递函数是描述线性系统动态特性的基本数学工具之一，经典控制理论的主要研究方法频率响应法和根轨迹法都是建立在传递函数的基础之上。振动系统的传递函数在频率域内描述系统的动态特性。若系统的输入为x (t ) （例如力信号），输出为y (t ) （例如加速度、速度或位移信号），它们的傅立叶变换分别为X (f ) 及Y (f ) ，那么系统的频率特性为:

H (f ) =Y (f ) (f )

令：Y (f ) =Y r (f ) +jY r (f ) ；X (f ) =X r (f ) +jX r (f )

根据复数相除的模等于复数模相除的法则得:

G y (f ) Y r 2+Y i 2H (f ) ===2X r 2+X i 2G x (f ) X (f ) 2Y (f ) 2

式中G y (f ) 和 G x (f ) 为输出及输入的自功率谱。另一方面

Y (f ) X *(f ) Y (f ) G xy (f ) H (f ) ==*=X (f ) X (f ) X (f ) G x (f )

式中H (f ) 即是实际计算的传递函数公式。

六 模态分析

1 概念

模态分析及参数识别是研究复杂机械和工程结构振动的重要方法。它通过对激发力和响应的时域或频率分析，求得系统的频响函数（或传递函数），然后根据频响函数的特征，采用参数识别法求出结构的振动模态和结构参数。对于n 个自由度的系统的运动方程：

[M ]{}[]{}[]{}.. . x +c x +k x ={f }

如果方程的右边为零，方程的求解变成特征值问题。计算得到的特征值及特征向量即为结构的模态参数。模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。这个分析过程如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模态分析；如果通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。通常，模态分析都是指试验模态分析。

2 方法分类及理解

一般通用的参数识别方法有两种：图解法和曲线拟合法。

（1）图解法

利用频响函数曲线（如幅频曲线、相频曲线、实频曲线和虚频曲线等）直接进行模态参数识别的方法，称为图解识别法。图解法用于模态耦合较离散的系统，具有简单。直观等特点，但精度较低，常用于一些简单结构的实验模态分析中。 图解法的优点是简便、直观；缺点是精度差，不能排除外噪 干扰。所以，图解法不是完整的识别方法，要提高识别精度，必须进行优化，排除干扰噪声。

（2）曲线拟合法

曲线拟合法是用一条连续曲线去拟合一组离散的测试数据，然后用拟合曲线识别有相关参数的方法。它是建立在各种优化计算的基础上，由于计算机进行识别，采用优化算法，可以在一定程度上排除有关误差，使结果尽可能准确地反映实际系统。

曲线拟合法，一般是利用图解法所识别的参数作为初始值进行迭代优化计算，并利用有关的优化准则判断计算模态参数的精度，直到满足要求为止，从而可利用传递函数识别出振动系统的有关参数，如固有频率、衰减阻尼系数和留数等，在此基础上可进一步算求出模态矢量、模态质量、模态刚度和模态阻尼。 实验模态分析主要是通过模态实验，测量系统的振动响应信号，或同时测量系统的激励信号、响应信号，从测量到的信号中，识别描述系统的动力特征的有关参数。

模态分析系统一般由激振系统、测量系统和分析系统3部分组成。其一般流程图如下：

图6.1 实验模态流程图

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