二阶常系数非齐次线性微分方程的通解公式
第１４卷第３期
高等数学研究
Ｖ０１．１４，Ｎｏ．３
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解公式
宋燕
（渤海大学数理学院．辽宁锦州１２１０００）
摘要
根据二阶常系数齐次线性微分方程的特征根，利用降阶法．可给出求解一般二阶常系数非齐次线性
微分方程的通解公式．
关键词
常系数；非齐次；线性微分方程；通解
中图分类号０１７５．１
文献标识码
Ａ
在一般常微分方程教材中，求常系数非齐次线性微分方程的通解可归结为求对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特
解．而齐次线性微分方程的通解可由其特征方程
的根来决定．对非齐次线性微分方程，教材中多数都介绍当非齐次项为两种特殊类型时，其特解可
用待定系数法求得［１。］．
本文根据常系数齐次线性微分方程的特征根，利用降阶法，给出了当非齐次项为任意连续函数时二阶常系数非齐次线性微分方程的通解公式．
定理１
设二阶常系数非齐次线性微分方程
，＋缈７＋ｑＹ一厂（ｚ）
（１）
对应齐次方程的特征根为Ａ。，Ａ：，而厂（ｚ）为任意连
续函数，则
（ｉ）当Ａ。，Ａ。为不相等的实根时，方程（１）的一
个特解为
１
广
广
了。２＃专ｌｅＪ．ｚｘ∽ｄｅ。２ｑ—
ｒ
１
ｅ＾ｌ’ｌ
ｆ（ｚ）ｅ一～。ｄｘ
Ｉ．
（ｉｉ）当Ａ。．Ａ：为相等的实根时，方程（１）的一个
特解为
’
广ｒ
Ｙ’＝ｅｘ，１ｚＩ厂（ｚ）ｅ－ＡＰｄｘ—
ｒ
］
Ｉｘｆ（工）ｅ。卜ｄｘＩ．
（ｉｉｉ）当Ａ。，叉：为共轭复根时，不妨设
ＡⅢ一口±所（卢＞０），
这时方程（１）的一个特解为
ｊ，’２吉∥ｌＳｉ啦ｊｅ一厂ｂ）ｃ。啦妇一
收稿日期；２０１０—１０—２５ｌ修改日期：２０１１—０３—１９．基金项目：辽宁省教育厅高校科研项目（２００８００９）．
作者简介：宋燕（１９６２－－），女．辽宁锦州人，硕士．教授，从事常微分方
程定性理论研究．Ｅｍａｉｌ：ｊｚｓｏｎｇｙａｎ＠１６３．ｃｏｎｌ．
万方数据
文章编号
１００８—１３９９（２０１１）０３—０００６—０２
ｃｏｓ卢ｒｆｅ一，（ｚ）ｓｉｎｆｌｘｄｘ
ｆ．
这里在计算不定积分时，积分常数均取零．
证明
（ｉ）已知Ａ。，Ａ：是不相等的实根，故有
Ａ１＋Ａｚ＝一Ｐ，
ＡｌＡ２＝ｑ，
于是方程（１）变为
，一（Ａｌ＋Ａ２）了’＋Ａ１Ａ２Ｙ一
，一ＡｌＹ７一Ａ２（ｙ７一Ａｌｙ）一厂（ｚ）．
（２）
再令
ｚ—Ｙ７一ＡｌＹ，
则方程（２）变为
ｚ７一Ａ２ｚ一厂（ｚ）．
这是一阶线性微分方程，求其一个特解为
ｇ’一ｅ”Ｉ厂（ｚ）ｅ＿２２ｄｘ，
于是由变换可得方程（２）的一个特解为
ｙ。＝＝ｅ＾，。ｊｆ［ｅ（＾ｚ一＾・）。ｊ＇，ｃ。ｃ，ｅ一＾ｚ２ｄ・ｃ］ｄ・ｃ＝＝
志［出可倒一ａｒ叫可弛舻。出］．
（ｉｉ）证明的思想方法与（ｉ）类似，从略．（ｉｉｉ）由情形（ｉ）中的特解形式及公式
ｅ１１。一ｅ‘升芦’。一ｅ“（ｃｏｓＪ＆ｒ＋ｉｓｉｎｆｌｚ），出。＝ｅ‘”芦’。＝ｅ“（ＣＯＳｆｌＴ—ｉｓｉｎ／３ｒ），
得方程（１）的一个特解为
ｙ・一∥（ｃ０啦＋ｉ。ｉ啦）：ｆ『（ｃｏｓ耻一
ｉ
ｓｉｎ耻汀Ｐ厂匕）（∞啦十ｉｓｉＩ恤）司出一
Ａ（ｚ）＋ｉＢ（工），
其中
Ａ。）＝酽嘣耐［瞅州Ｐ厂＆）ｃ。啦ｃ司出＋酽ｃｏ啦肛雌卜弛）Ｓｉ啦出］出一
第１４卷弟３期宋燕；二阶常系数非齐次线性截分方程的通解公式７
矿Ｓｉ啦儿哗，Ｐ弛）ｓｉｎ皿ｒｄｘＩ
ｄｘ＋
式可分如下情形分别给出：
（ｉ）当Ａ。，｜＝ｌ：为不相等的实根时，
Ｙ＝ＣｉｅＡｌ。＋Ｃｚｅｌ＝。＋
脓，＝酽叫［叫Ｐ厂∽雌司出一
，婶』［ｓｉ雌ＪＩＰ弛）哗陶出＋
ｄｘ＋
矿ｓｉ啦ＪＩ［ｓ雌，Ｐ，（ｚ）婶嘲如，
志沪，删∥ｄｘ廿Ｊ．删一司．
（¨）当Ａ。，Ａ。为相等的实根时，
Ｙ一（Ｃｌ＋Ｃｚｚ）一ｌ。＋
小。［ｚＪ．，（ｚ）ｐ。出一Ｊ．巧（ｚ）ｅ－ｈ。如］．
（Ⅲ）当．；Ｉ。，．；Ｉ。为共轭复根时，
Ｙ＝ｅ４（Ｃｌｃｏｓ／ｔｒ＋Ｃ２ｓｉｎ／ｂ）＋
ｒ雌Ｊ．［ｓｉ雌卜弛）雌嘲
舭）＝南ｒ哗［感ｎ耐Ｐ，∽∞啦如一
卜ｍ）Ｓｉｎ２肛ｃ。啦ｄ司一务‰啦［ｃ。ｓ耻，ｅ一厂（小ｉ啦出一』ｅ１厂（小ｉ啦ｃ。ｓ２ｐ：ｄｘ］－－
例．１
吉ｅ４［ｓｉ啦卜ｍ）ｃｏｓ触ｄｘ—
ｃｏ啦Ｉｅ－ａＸ厂（ｚ）ｓｉ啦如１．
其中Ｃ。，Ｃ２为任意常数．
求解微分方程
墨七》＝ｓｅｃｘ．
解
易知对应齐次方程的特征根为
Ａｌ＝ｉ，
Ｊ＝１２＝一ｉ．
寺嗡啦［ｓｉｎｚ肛ｆｅ－“，（小ｉ啦如一
卜弛）Ｓｉ啦ｓｉｎ２肛ｄ司一ｅ＝ｓｉｎ犀ｒ［ｃ。ｓ２触卜“，（ｚ）ｃ。啦ｄｚ一卜ｍ）ｃｏ啦ｃｏｓ２触ｄ司＝吉酽［ｓｉ叫●弛）ｃｏ啦ｄＬｃ—ｃ。啦卜他）ｓｉ啦如］．
同理计算可得
。Ｂ（ｚ）＝０．
即相应地有
口＝０，ｐ一１・
于是由本文定理可知所求方程的通解为
ｙ—Ｃ１ＣＯＳＸ＋ｃ２ｓｉｎｘ＋
ｓｉｎｘ
Ｉ
ｓｅｃｘｃｏｓｘｄｘ—ＣＯＳＸ
Ｉｓｅｃｘｓｉｎｘｄｘ
ｌ，
２
ＣｌＣＯＳＸ＋Ｃ２ｓｉｎｘ＋ｘｓｉｎｘ＋
ＣＯＳＸ・Ｉｎ
ＣＯＳＸ
其中Ｃ。，ｃ２为任意常数．
参考文献
［１］王高雄．周之铭．朱恩铭．等．常微分方程［Ｍ］．３版．北
京；高等教育出版杜．２００６：１４４－１５０．
［２］东北师范大学微分方程教研室．常微分方程［Ｍ］。２版．
北京：高等教育出版社，２００５：１８８—２００．
于是方程（１）的一个特解为
ｙ’一去ｅ４［ｓｉ唯卜ｍ）ｃｏ啦ｄｚ—
ｃｏｓ肛Ｉｅ—ｆ（ｘ）ｓｉｎ肛ｄｘ１．
定理２
＋’
［３３林武忠．汪志鸣．张九超．常微分方程［Ｍ］．北京：科学出
版社。２００３１１０７—１０８．
在定理１的条件下，方程（１）的通解公
ＧｅｎｅｒａｌＳｏｌｕｔｉｏｎｏｆＳｅｃｏｎｄＯｒｄｅｒ
Ｎｏｎ－ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ
ＬＤＥｗｉｔｈＣｏｎｓｔａｎｔＣｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ
ＳＯＮＧＹａｌｌ
（Ｓｃｈｏｏｌｏｆ
ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＰｈｙｓｉｃｓ．ＢｏｈａｉＵｎｉ＇口ｅｒｓｉｔｙ．Ｊｉｎｚｈｏｕ１２１０００．ＰＲＣ）ｔｈｅ
ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ
ｒｏｏｔｓ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：
Ｕｓｉｎｇ
ｏｆｔｈｅ
ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ
ａ
ｌｉｎｅａｒ
ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ
ａ
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ｃｏｎｓｔａｎｔ
ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｎｓｔａｎｔｃｏｅｆｆｉｄｅｎｔ，ｎｏｎ－ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ，ｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ，ｇｅｎｅｒａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ’
万方数据
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解公式
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
宋燕， SONG Yan
渤海大学,数理学院,辽宁,锦州,121000高等数学研究
STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2011,14(3)
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