数与多元函数基本性质异同性的分析
ＥｘｃＨＡＮＧＥ。ＦＥｘＰＥＲ．ＥＮｃＥ经验交流
ｌ，。９
一元函数与多元函数基本性质异同性的分析
吴一梅
（安康学院数学系
赵临龙
安康市７２５０００）
摘要：通过对一元函数到多元函数基本性质的讨论，分析了从一元函数到多元函数中异同点
的原因，归纳出一元函数中命题的正确性在多元函数中能否得以保持的内在结构。
关键词：一元函数；多元函数；极ｌｉｔ；连续性；可导性；可积性
多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也由于自变量的变化范围由一维空间扩展到了ｎ维空间（ｎ≥２），使研究的问题更加复杂化，研究的方法更加多样化。
中仍然成立。
（２）“可微ｊ可导”的关系，在多元函数
中也成立．在多元函数中，由于可微这一概念是用多元法给出的，微，
ｆ（ｘ，ｙ）在点（而，％）处可
Ｉ其中
１从一元函数到多元函数中出现的异同点
我们在研究多元函数时采用了两种思想方法。一种是在多个自变量同时变化的情况下进行研究，我们称为多元法。另一种是在其中一个自变量变化，而其余的自变量暂时看作常数的情况下进行研究，即单一法．在多元函数中的概念，有些是用多元法给出的，如极限、连续、可微、重积分等，而有些是用单一法给出的，如偏导数，驻点等。
在一元函数的研究中，因它只有一个自变量，其研究问题的方法就没有多元法与单一法之分，这就使得原来在一元函数中概念间的关系，在多元函数中有些会发生质的变化。
１．１一元函数与多元函数的相同点
既有△ｚ＝Ａ・缸＋Ｂ・△少＋ｏＤ）
ｐ＝√（缸ｙ＋④ｙ）成立，此式中的Ａｘ．△ｙ是任
意的，其中蕴涵了当Ａｘ：０时，乃ｂｏ，Ｙｏ）存在或△ｙ＝０时，六ｂｏ，ｙｏ）存在的情况下也成立。显
然，可微这一概念囊括了用单一法给出的偏导数概念。
所以一元函数中“可微ｊ可导”的关系，在多元函数
中也成立。
１．２一元函数与多元函数的相异点
（１）“偏导数存在连续”的结论不一定成立．例
如，在二元函数中，／＠，力在点（Ｘｏ，Ｙｏ）处的偏导数
是由一元函数中的导数推广来的，而偏导数远不及导数
（１）“连续ｊ有极限”的关系在多元函数中仍然成
立。在多元函数中，由于连续和有极限这两个概念都
的功能丰富。因为六Ｇ。，Ｙｏ）和六Ｇ。，Ｙ。）只是
分别表示／（石，Ｙ）在点（Ｘｏ，ｙｏ）处沿平行于ｘ轴和ｙ轴
的变化率，它们的存在只能保证点（Ｘｏ，ｙｏ）分别沿
这样两个特殊方向趋于％时，函数值ｆ（ｘ，Ｙ）趋于
是用多元法给出的，这样，一元函数／（ｘ）在点ｘｏ处
连续的表达式ｌｉｍ厂Ｇ）＝／Ｇｏ），可以换成多元
Ｊ—，＾０
函数／（ｐ）在点ｐｏ处连续的表达式（点ｐ和点ｐｏ
ｆ
ｂｏ，ｙｏ）。但不能保证点（‰，Ｙｏ）以任何方式、沿
是多维空间的点），ｌｉｍ厂０）＝－－－厂０。）。从而使
ｐ‘＿’ｐｑ
任何路径趋于时，函数值厂（工，ｙ）都趋于／Ｇｏ，Ｙｏ｜）。
因此，对多元函数来说“偏导数存在ｊ连续”的结论
不一定成立。
ｆ（ｘ）在点‰处“连续ｊ有极限”的关系在多元函数
万方数据
１１ｏ
Ｉ
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“㈨）＝｛蒙？‰Ｗ严
线Ｙ＝ｋｘ趋于点（０，０）时，有
，ｊ观。寿＝；骧寿＝ｌｉｍ“．／。吼＋２而＝丽ｋｘ－．－，Ｏ
Ｊ—ｏ，ｙ－＋ｏ工‘＋１，‘
Ｊ—ｏ，ｙ＝ｈ工‘＋ｙ‘
石‘（１＋‘）ｋ
１＋尼２
显然，该极限值随ｋ值而改变．即点（Ｘ，Ｙ）沿不同的直线趋于点（０，０）时，极限值不相同，故
。一＇ｌ。ｉｍ，ｙ＿。布不存在。因此，厂（ｘ，ｙ）在点（ｏ，ｏ）
ＸＶ
处是不连续的。而
ｆ椰：牌学鹊挈：。
＝：（Ｏ，Ｏ）＝。ｌｉ．＋ｍ。』！塑！二垒兰攀：曼婴掣Ａｘ．０：。
所以，函数厂（＿Ｙ）在（０，０）处的两个偏导数均存在，但它在（Ｏ，Ｏ）处并不连续。
（２）“连续ｊ偏导数存在”也不一定成立。
例２
ｆ（ｘ，ｙ）＝√巧在点（ｏ，ｏ）处连续，
但它在（０，０）处的两个偏导数都不存在。这是因为
，删ｌｉｍ，，训ｆ（ｘ，ｙ）＝，她ｌｉｍ，＋。√Ｘ２＋ｙ２＝ｏ＝ｆ（Ｏ，０、，故厂（工，少）在（ｏ，ｏ）处连续，但／Ｏ，ｏ）＝√ｘ２＝Ｈ。
由一元函数的结论知／（ｘ，ｏ）＝Ｉｘｌ在ｚ：ｏ处不
可导。同理，ｆ（Ｏ，ｙ）＝√ｙ２＝ｌｙＪ在ｙ：ｏ处也不可
导。所以，／ｏ，少）：√：≯ｉ歹在点（ｏ，ｏ）处连续，
但它在（ｏ，ｏ）处的两个偏导数Ｚ（ｏ，ｏ）ｎｆ；（ｏ，ｏ）都不
存在。
万方数据
Ｉ—产丝一，ｘ２＋ｙ２≠ｏ
例３厂（ｘ，ｙ）＝｛吣４ｘ２：＋∥ｙ２：ｏ
，
【
在点（ｏ，ｏ）处有偏导数∥（ｏ，ｏ）＝０及
∥（ｏ，ｏ）＝０，但在该点不可微，若函数／（ｘ，ｙ）在点
（ｏ，０）点可微，则
Ａｚ—ｄｚ＝ｆ（Ｏ＋Ａｘ，ｏ＋缈）一ｆ（Ｏ，ｏ）一，（ｏ，ｏ）缸一∥（ｏ，ｏ）缈：—竺丝
√Ｊ２＋，’
应该是较Ｐ＝√缸２＋缈２高阶的无穷小量。
因此，：㈣叫ｌｉｍ等＝嘞若≥。当
动点ｐ（ｘ，ｙ）沿直线ｙ＝ｍｘ而趋于定点（ｏ，ｏ）时，由例１
知上述极限不存在，因而函数ｆ（ｘ，Ｙ）在原点不可微。
２一元函数与多元函数异同点的分析
２．１若关于多元函数的命题，其题设条件中所涉及的概念是用多元法给出的，而结论中所涉及的概念是用单一法给出的，则这命题的正确性也可得以保持。
例如，在多元函数中，可微和极值点两个概念是用多元法给出的，而可导和驻点这两个概念是用单一
法给出的。所以，在一元函数中的“可微ｊ可导”和
“极值点必为驻点”两命题的正确性仍可保持。
例４
讨论函数ｚ＝ｘ２一ｘｙ＋Ｙ２—２ｘ＋１，的极
值。
解：由｛乏三瑟意ｏ，得靛点ｐｏ（３，－１）。
由于％（３，一１）＝２，
Ｚ卫ｖ（３，一１）＝１０，
％（３，一１）＝０，且ｚ搿ｚｗ一％２＝２０＞０。故／（ｘ，Ｙ）在点｛３，一１）取得极小值ｆ（３，一１）＝一８。
２．２若关于多元函数的命题，其题设条件和结论中所涉及的概念均是用多元法给出的，则这一命题的正确性，在多元函数中能够得以保持。
例如，在多元函数中的极限、连续、可微、重积分、最大（小）值等概念，均是用多元法给出的．所
以，一元函数中的“可微ｊ连续”，
“可微ｊ有极
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１．．．．，
限”，
“连续ｊ有极限”等命题的正确性在多元函数
多元法给出的，则这一命题的正确性在多元函数中不再保持。
中仍然保持。
一元函数中的“在闭区间上连续的函数必可积”和“在闭区间上连续的函数必有最大值和最小值”两命题，在多元函数中，可分别推广为“在闭区间上连续的函数必存在重积分”和“在闭区域上连续的函数必有最大值和最小值”。
例５若ｆ（ｘ，ｙ）在有界闭区域Ｄ上非负连续，且在
例如，一元函数／（工）在点％处可导，则有“可
导ｊ可微”、“可导ｊ连续”、“可导ｊ有极限”
成立．因为在多元函数中，偏导数概念是用单一法给出的，可微、连续、有极限等概念是用多元法给出的，则上述命题的正确性在多元函数中不再保持，即“偏导数
存在ｊ可微”，“偏导数存在ｊ连续”，
“偏导数存
Ｄ上不恒为零，则刿ｍ，ｙ）稍＞Ｕ，由于似川
在Ｄ上不恒为零，则３８＞０，及ｐｏ（Ｘｏ，ｙｏ）∈Ｄ，有
在＝亨有极限”不成立。
从一元函数到多元函数中出现的问题可以看作是一个量变与质变的过程，但一元函数微分学理论是基础，因此在学习过程中应该予以重视，以便为学习多元函数微分学做好准备。
参考文献
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Ｈ
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巧弛川稍２牌蔷ｎ讹，乃ｈ
由于ｆ（ｘ，Ｊ，）为非负函数，则上式大干等于
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参考文献
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磊
Ｉ上接１１５页）
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基于资源熵研究人类与人类组织可持续发展是一
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发展的条件，模型６给出ＥＣＳ与ＳＲＳ协调可持续发展
的条件。ＥＣＳ与ＳＲＳ协调可持续发展中ＥＣＳ必须发挥主动能动性，通过技术创新与改良生产消费习惯，在利用资源的过程中做到熵增最小化与资源负熵效用最大化，企业熵增目标是零排放，至少做到单位时间内废弃物熵增量小于等于ＳＲＳ再生与自净化的资源负熵量。ＥＣＳ在生产经营过程中，还应该把帮助ＳＲＳ资源再生与自净化作为企业治理经营目标之一。只有ＳＲＳ实现可持续发展，人类与人类组织才能可持续生存；只有ＥＣＳ实现可持续发展，人类的生活质量才可以日益提高。
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：４０－４３
万方数据
一元函数与多元函数基本性质异同性的分析
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
吴一梅， 赵临龙
安康学院数学系,安康市,725000信息系统工程CHINA CIO NEWS2009，""(11)0次
参考文献(2条)
1. 刘开宇,周利彪.高等数学多元微积分学[M].北京:科学出版社,20072. 华东师范大学数学系,数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2008.
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下载时间：2010年8月9日