鲁教版七年级(下)期末数学试卷1

七年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）

1．（3分）（2012•南昌）等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（ ）

A ．20° B ．50° C ．60° D ．80°

2．（3分）已知a ＞b ，下列不等式中错误的是（ ）

A ．a+1＞b+1 B．a ﹣2＞b ﹣2 C ．﹣4a ＜﹣4b D ．2a ＜2b

3．（3分）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A ． B． C ． D ．

4．（3分）下列事件是随机事件的是（ ）

A ．购买一张福利彩票中奖

B ．400人中至少有两人的生日在同一天

C ．有一名运动员奔跑的速度是30米/秒

D ．在一个仅装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球

5．（3分）（2010•西藏）已知如图，△ABC 为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2等于（ ）

A ．315° B ．270° C ．180° D ．135°

6．（3分）将一个小球在如图所示的地砖上自由滚动，最终没有停在黑色方砖上的概率为（ ）

A ． B ． C ． D ．

7．（3分）（2013•扬州）下列图形中，由AB ∥CD ，能得到∠1=∠2的是（ ）

A ． B ． C ．

D ．

，则x ﹣y 的值为（ ） 8．（3分）已知方程组

A ．﹣1 B ．0 C ．2 D ．3

9．（3分）（2012•毕节地区）如图．在Rt △ABC 中，∠A=30°，DE 垂直平分斜边AC ，交AB 于D ，E 是垂足，连接CD ，若BD=1，则AC 的长是（ ）

A ．2 B．2 C ．4 D ．4

10．（3分）如果函数y=x﹣b 与y=﹣2x+4的图象的交点坐标是（2，0），那么二元一次方程组的解是（ ）

A ．（2，0） B ．

C ． D ．以上答案都不对

11．（3分）如图，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 的值是（ ）

A ．22 B ．21

C ．20 D ．以上答案都不对

12．（3分）如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且BD=AE，AD 与CE 交于点F ，作CM ⊥AD ，垂足为M ，下列结论不正确的是（ ）

A ．AD=CE B ．

MF=CF C ．∠BEC=∠CDA D ．AM=CM

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13．（3分）已知是方程kx ﹣2y+3=0的解，则k 的值为．

14．（3分）（2015•德州模拟）如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F 为圆心，大于EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M ．若∠ACD=114°，则∠MAB 的度数为 ．

15．（3分）（2015•李沧区二模）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有 个．

16．（3分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数为度．

17．（3分）如图，将长方形ABCD 沿直线AE 折叠，点B 落在点B ′处，已知BC=8，AB=6，若△B ′EC 为直角三角形，则BE 的长为 ．

18．（3分）如图，直线L 1：y=x+3与直线L 2：y=ax+b相交于点A （m ，4），则关于x 的不等式x+3≤ax+b的解集是 ．

三、解答题（共10小题）

19．（8分）（1）解方程组：

（2）解不等式组：．

20．（5分）如图，EF ⊥CD 于F ，GH ⊥CD 于H ，已知∠1=70°，求∠3的度数．

21．（5分）如图，已知C 是AB 的中点，AE=BD，∠A=∠B ，求证：∠ACD=∠BCE ．

22．（5分）已知关于x ，y 的方程组的解满足x ＜2y ，求k 的非负整数值．

23．（6分）“六一”儿童节期间，某商厦为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如

元的商品，请你分析计算：

（1）小明获得奖品的概率是多少？

（2）小明获得童话书的概率是多少？

24．（6分）某种商品进价为400元，标价600元出售，为了促销，商场准备打折销售，但其利润率不能少于20%．请你帮助销售员计算一下，此种商品至多可以按几折销售？

25．（6分）食品安全关系千家万户，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输，某食品厂用A 、B 两种添加剂按不同比例混合

多少千克？

26．（6分）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC 的斜边BC 与含30°角的直角三角板DBE 的直角边BD 长度相同，且斜边BC 与BE

在同一直线上，AC 与BD 交于点O ，连接CD ．求证：△CDO 是等腰三角形．

27．（8分）小明用《几何画板》画图，他先画了两条平行线AB 、CD ，然后在平行线间画了一点E ，连接BE ，DE 后（如图①），它用鼠标左键点住点E ，拖动后，分别得到如图②、③、④等图形，这时他突然一想，∠B 、∠D 与∠BED 之间的度数有没有某种联系呢？接着小明同学通过利用《几何画板》的“度量角度”和“计算”的功能，找到了这三个角之间的关系．

（1）请你分别写出图①至图④各图中的∠B 、∠D 与∠BED 之间关系；

（2）证明从图③中得到的结论．

28．（11分）在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD ⊥BC ，且AD=AB．

（1）如图1，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ，求证：AE+AF=AD

（2）如图2，如果∠EDF=60°，且∠EDF 两边分别交边AB ，AC 于点E ，F ，那么线段AE ，AF ，AD 之间有怎样的数量关系？并给出证明．

2014-2015学年七年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）

1．（3分）（2012•南昌）等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（ ）

A ．20° B ．50° C ．60° D ．80°

【考点】等腰三角形的性质．

【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数．

【解答】解：∵等腰三角形的一个顶角为80°

∴底角=（180°﹣80°）÷2=50°．

故选B ．

【点评】考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，比较简单．

2．（3分）已知a ＞b ，下列不等式中错误的是（ ）

A ．a+1＞b+1 B．a ﹣2＞b ﹣2 C ．﹣4a ＜﹣4b D ．2a ＜2b

【考点】不等式的性质．

【分析】根据不等式的性质1，可判断A 、B ，根据不等式的性质3，可判断C ，根据不等式的性质2，可判断D ．

【解答】解：A 、B 、不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，故A 、B 正确；

C 、不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，故C 正确；

D 、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故D 错误；

故选：D ．

【点评】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．

3．（3分）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A ． B． C ． D ．

【考点】在数轴上表示不等式的解集．

【分析】首先求出不等式x+1≥2的解集，然后根据不等式的解集在数轴上表示的方法得出结果．

【解答】解：不等式x+1≥2的解集是x ≥1，在数轴上表示是C ．

故选C ．

【点评】把不等式的解集在数轴上表示的方法是：＞向右画，＜向左画，含等号的画实心圆点，不含等号的画空心圆圈．

4．（3分）下列事件是随机事件的是（ ）

A ．购买一张福利彩票中奖

B ．400人中至少有两人的生日在同一天

C ．有一名运动员奔跑的速度是30米/秒

D ．在一个仅装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球

【考点】随机事件．

【分析】随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断．

【解答】解：A 、购买一张福利彩票中奖是随机事件，故选项正确；

B 、400人中至少有两人的生日在同一天，是必然事件，选项错误；

C 、有一名运动员奔跑的速度是30米/秒是不可能事件，选项错误；

D 、在一个仅装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球是不可能事件，选项错误．

故选A ．

【点评】本题考查了随机事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

5．（3分）（2010•西藏）已知如图，△ABC 为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2等于（ ）

A ．315° B ．270° C ．180° D ．135°

【考点】三角形的外角性质．

【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答．

【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE 的外角，

∴∠1=∠4+∠C ，∠2=∠3+∠C ，

即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4），

∵∠3+∠4=180°﹣∠C=90°，

∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°．

故选：B ．

【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．

6．（3分）将一个小球在如图所示的地砖上自由滚动，最终没有停在黑色方砖上的概率为（ ）

A ． B ． C ． D ．

【考点】几何概率．

【分析】根据几何概率的求法：最终没有停在黑色方砖上的概率即停在白色方砖上的概率就是白色区域面积与总面积的比值．

【解答】解：观察这个图可知：白色区域与黑色区域面积相等，各占，故其概率等于． 故选C ．

【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A ）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件

（A ）发生的概率．

7．（3分）（2013•扬州）下列图形中，由AB ∥CD ，能得到∠1=∠2的是（ ）

A ． B ． C ．

D ．

【考点】平行线的判定与性质．

【分析】根据平行线的性质求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．

【解答】解：A 、∵AB ∥CD ，

∴∠1+∠2=180°，

故A 错误；

B 、∵AB ∥CD ，

∴∠1=∠3，

∵∠2=∠3，

∴∠1=∠2，

故B 正确；

C 、∵AB ∥CD ，

∴∠BAD=∠CDA ，

若AC ∥BD ，可得∠1=∠2；

故C 错误；

D 、若梯形ABCD 是等腰梯形，可得∠1=∠2，

故D 错误．

故选：B ．

【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

8．（3分）已知方程组，则x ﹣y 的值为（ ）

A ．﹣1 B ．0 C ．2 D ．3

【考点】解二元一次方程组．

【专题】计算题．

【分析】方程组中两方程相减即可求出x ﹣y 的值．

【解答】解：，

①﹣②得：x ﹣y=﹣1，

故选A

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

9．（3分）（2012•毕节地区）如图．在Rt △ABC 中，∠A=30°，DE 垂直平分斜边AC ，交AB 于D ，E 是垂足，连接CD ，若BD=1，则AC 的长是（ ）

A ．2 B．2 C ．4 D ．4

【考点】线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．

【专题】计算题．

【分析】求出∠ACB ，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD 、∠DCB ，求出CD 、AD 、AB ，由勾股定理求出BC ，再求出AC 即可．

【解答】解：∵∠A=30°，∠B=90°，

∴∠ACB=180°﹣30°﹣90°=60°，

∵DE 垂直平分斜边AC ，

∴AD=CD，

∴∠A=∠ACD=30°，

∴∠DCB=60°﹣30°=30°，

∵BD=1，

∴CD=2=AD，

∴AB=1+2=3，

在△BCD 中，由勾股定理得：CB=

在△ABC 中，由勾股定理得：AC=， =2，

故选：A ．

【点评】本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．

10．（3分）如果函数y=x﹣b 与y=﹣2x+4的图象的交点坐标是（2，0），那么二元一次方程组的解是（ ）

A ．（2，0） B ．

C ． D ．以上答案都不对

【考点】一次函数与二元一次方程（组）．

【专题】数形结合．

【分析】直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解求解．

【解答】解：∵函数y=x﹣b 与y=﹣2x+4的图象的交点坐标是（2，0）， ∴方程组的解为．

故选B ．

【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．

11．（3分）如图，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 的值是（ ）

A ．22 B ．21

C ．20 D ．以上答案都不对

【考点】一元一次不等式的整数解．

【专题】图表型．

【分析】分为两种情况：当为奇数时，当为偶数时，列出不等式，求出不等式的解集，再求出正整数解即可．

【解答】解：当x 为奇数时，5x ＞100，

解得：x ＞20，

即最小整数x 为21；

当x 为偶数时，4x+13＞100，

解得：x ＞21，

即最小整数x 为22，

所以输入的最小正整数x 的值是21，

故选B ．

【点评】本题考查了解一元一次不等式，不等式的整数解的应用，解此题的关键是能求出符合条件的所有情况，难度适中．

12．（3分）如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且BD=AE，AD 与CE 交于点F ，作CM ⊥AD ，垂足为M ，下列结论不正确的是（ ）

A ．AD=CE B ．

MF=CF C ．∠BEC=∠CDA D ．AM=CM

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．

【分析】由等边三角形的性质和已知条件证出△AEC ≌△BDA ，即可得出A 正确；

由全等三角形的性质得出∠BAD=∠ACE ，求出∠CFM=∠AFE=60°，得出∠FCM=30°，即可得出B 正确；

由等边三角形的性质和三角形的外角性质得出C 正确；

D 不正确．

【解答】解：A 正确；理由如下：

∵△ABC 是等边三角形，

∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC

又∵AE=BD

在△AEC 与△BDA 中，

，

∴△AEC ≌△BDA （SAS ），

∴AD=CE；

B 正确；理由如下：

∵△AEC ≌△BDA ，

∴∠BAD=∠ACE ，

∴∠AFE=∠ACE+∠CAD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，

∴∠CFM=∠AFE=60°，

∵CM ⊥AD ，

∴在Rt △CFM 中，∠FCM=30°，

∴

MF=CF ；

C 正确；理由如下：

∵∠BEC=∠BAD+∠AFE ，∠AFE=60°，

∴∠BEC=∠BAD+∠AFE=∠BAD+60°，

∵∠CDA=∠BAD+∠CBA=∠BAD+60°，

∴∠BEC=∠CDA ；

D 不正确；理由如下：

要使AM=CM，则必须使∠DAC=45°，由已知条件知∠DAC 的度数为大于0°小于60°均可， ∴AM=CM不成立；

故选：D ．

【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13．（3分）已知是方程kx ﹣2y+3=0的解，则k 的值为 1 ．

【考点】二元一次方程的解．

【分析】根据方程的解满足方程，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．

【解答】解：把代入方程kx ﹣2y+3=0，得

k ﹣4+3=0，

k=1，

故答案为；1．

【点评】本题考查了二元一次方程的解，先把解代入得出一元一次方程，再解一元一次方程．

14．（3分）（2015•德州模拟）如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F 为圆心，大于EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M ．若∠ACD=114°，则∠MAB 的度数为 33° ．

【考点】作图—基本作图；平行线的性质．

【分析】根据题意可得AM 平分∠CAB ，再根据平行线的性质可得∠CAB 的度数，再根据角平分线的性质可得答案．

【解答】解：由题意可得：AM 平分∠CAB ，

∵AB ∥CD ，

∴∠C+∠CAB=180°，

∵∠ACD=114°，

∴∠CAB=66°，

∵AM 平分∠CAB ，

∴∠MAB=33°．

故答案为：33°．

【点评】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的作法，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，以及角平分线的做法．

15．（3分）（2015•李沧区二模）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有 6 个．

【考点】模拟实验；频数与频率．

【分析】球的总数乘以红球所占球的总数的比例即为红球的个数．

【解答】解：红球个数为：40×15%=6个．

故答案为：6．

【点评】具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值．

16．（3分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数为

【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．

【分析】如图连接CE ，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和

∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，在△DCE 中有∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，即可得∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°．

【解答】解：如图连接CE ，

根据三角形的外角性质得∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，

在△DCE 中有，∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，

∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°．

【点评】本题运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，将已知角转化在同一个三角形中，再根据三角形内角和定理求解．

17．（3分）如图，将长方形ABCD 沿直线AE 折叠，点B 落在点B ′处，已知BC=8，AB=6，若△B ′EC 为直角三角形，则BE 的长为 3 ．

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【专题】计算题．

【分析】连结CB ′，如图，先根据折叠的性质得AB ′=AB=6，BE=BE′，∠AB ′E=∠B=90°，而∠CB ′E=90°，于是可判断点A 、B ′、C 共线，即点B ′在AC 上，再根据勾股定理计算出AC=10，则CB ′=AC﹣AB ′=4，设BE=x，则EB ′=x，CE=8﹣x ，然后在Rt △CB ′E 中，根据

222勾股定理得到x +4=（8﹣x ），再解方程求出x 即可．

【解答】解：连结CB ′，如图，

∵长方形ABCD 沿直线AE 折叠，点B 落在点B ′处，

∴AB ′=AB=6，BE=BE′，∠AB ′E=∠B=90°，

∵∠CB ′E=90°，

∴点A 、B ′、C 共线，即点B ′在AC 上，

在Rt △ABC 中，AC=∴CB ′=AC﹣AB ′=10﹣6=4，

设BE=x，则EB ′=x，CE=8﹣x ， ==10，

在Rt △CB ′E 中，∵EB ′+CB′=EC，

222∴x +4=（8﹣x ），解得x=5，

即BE 的长为3．

故答案为3．

222

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．

18．（3分）如图，直线L 1：y=x+3与直线L 2：y=ax+b相交于点A （m ，4），则关于x 的不等式x+3≤ax+b的解集是 x ≤1 ．

【考点】一次函数与一元一次不等式．

【分析】首先把A （m ，4）代入y=x+3可得m 的值，进而得到A 点坐标，然后再利用图象写出不等式的解集即可．

【解答】解：把A （m ，4）代入y=x+3得：m=1，

则A （1，4），

根据图象可得不等式x+3≤ax+b的解集是x ≤1，

故答案为：x ≤1．

【点评】此题主要考查了一次函数与不等式，关键是能根据函数图象得到正确信息．

三、解答题（共10小题）

19．（8分）（1）解方程组：

（2）解不等式组：．

【考点】解一元一次不等式组；解二元一次方程组．

【分析】（1）①×2+②得出x=2，把x 的值代入②求出y 即可；

（2）先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．

【解答】解：（1）

①×2+②得：x=2，

把x=2代入②得：2﹣2y=4，

解得：y=﹣1， 所以原方程组的解为：

（2） ；

∵解不等式①得：x ≤3，

解不等式②得：x ＞﹣2，

∴不等式组的解集为﹣2＜x ≤3．

【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组的应用，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解（1）的关键，能求出不等式组的解集是解（2）的关键，难度适中．

20．（5分）如图，EF ⊥CD 于F ，GH ⊥CD 于H ，已知∠1=70°，求∠3的度数．

【考点】平行线的判定与性质；垂线．

【分析】根据垂直定义求出∠EFC=∠GHC=90°，根据平行线的判定得出EF ∥GH ，根据平行线的性质得出∠2=∠1=70°即可．

【解答】解：∵EF ⊥CD ，GH ⊥CD ，

∴∠EFC=∠GHC=90°，

∴EF ∥GH ，

∴∠2=∠1=70°，

∴∠3=∠2=70°．

【点评】本题考查了垂直定义，平行线的性质和判定的应用，解此题的关键是求出∠2=∠1．

21．（5分）如图，已知C 是AB 的中点，AE=BD，∠A=∠B ，求证：∠ACD=∠BCE ．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】易证AC=BC，即可证明△ACE ≌△BCD ，根据全等三角形对应边相等的性质即可得证．

【解答】证明：∵C 是AB 的中点，

∴AC=BC，

在△ACE 和△BCD 中，

，

∴△ACE ≌△BCD （SAS ），

∴∠ACE=∠BCD ，

∴∠ACE ﹣∠DCE=∠BCD ﹣∠DCE ，

即∠ACD=∠BCE ．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACE ≌△BCD 是解题的关键．

22．（5分）已知关于x ，y 的方程组的解满足x ＜2y ，求k 的非负整数值．

【考点】二元一次方程组的解；一元一次不等式的整数解．

【分析】先解方程组得出xy 的值，再根据x ＜2y ，求出k 的取值范围，再得出k 的非负整数值即可．

【解答】解：两个方程相加得x=k+3，

两个方程相减得，y=3，

∵x ＜2y ，

∴k+3＜6，

解得k ＜3，

∴k 的非负整数值0，1，2．

【点评】本题考查了二元一次方程组的解以及一元一次不等式的整数解，解方程组是本题的关键．

23．（6分）“六一”儿童节期间，某商厦为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如

元的商品，请你分析计算：

（1）小明获得奖品的概率是多少？

（2）小明获得童话书的概率是多少？

【考点】几何概率．

【专题】数形结合．

【分析】（1）看有颜色部分的面积占总面积的多少即为所求的概率．

（2）看黄色部分的面积占总面积的多少即为所求的概率．

【解答】解：（1）∵转盘被平均分成16份，其中有颜色部分占6份，

∴小明获得奖品的概率==．

（2）∵转盘被平均分成16份，其中黄色部分占2份，

∴小明获得童话书的概率==．

【点评】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概率的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．

24．（6分）某种商品进价为400元，标价600元出售，为了促销，商场准备打折销售，但其利润率不能少于20%．请你帮助销售员计算一下，此种商品至多可以按几折销售？

【考点】一元一次不等式的应用．

【分析】利润率不能少于20%，即利润要大于或等于：400×2%元，设打x 折，则售价是600x 元．根据利润率不低于20%就可以列出不等式，求出x 的范围．

【解答】解：设至多可以打x 折

600x ﹣400≥400×20%

解得x ≥80%，即最多可打8折．

答：此种商品至多可以按8折销售．

【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解利润率的含义，理解利润=进价×利润率，是解题的关键．

25．（6分）食品安全关系千家万户，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输，某食品厂用A 、B 两种添加剂按不同比例混合

现在有A 、B 添加剂分别为22毫克和23毫克，且恰好全部用完，求甲、乙两种产品各生产多少千克？

【考点】二元一次方程组的应用．

【分析】设甲产品生产了x 千克，乙产品生产了y 千克，等量关系：A 、B 添加剂分别为22毫克和23毫克，且恰好全部用完．

【解答】解：设甲产品生产了x 千克，乙产品生产了y 千克，

根据题意，得

解之得 ， ，

答：甲产品生产了30千克，乙产品生产了35千克．

【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，在解题时要能根据题意得出等量关系，列出方程组是本题的关键．

26．（6分）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC 的斜边BC 与含30°角的直角三角板DBE 的直角边BD 长度相同，且斜边BC 与BE 在同一直线上，AC 与BD 交于点O ，连接CD ．求证：△CDO 是等腰三角形．

【考点】等腰三角形的判定；等腰直角三角形．

【专题】证明题．

【分析】根据BC=DE和∠DEF=30°可求得∠BDC 和∠BCD 的值，根据∠ACB=45°即可求得∠DOC 的值，即可解题．

【解答】证明：∵在△BDC 中，BC=DE，

∴∠BDC=∠BCD ．

∵∠DEF=30°，

∴∠BDC=∠BCD=75°，

∵∠ACB=45°，

∴∠DOC=30°+45°=75°．

∴∠DOC=∠BDC ，

∴△CDO 是等腰三角形．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求证∠DOC=∠BDC 是解题的关键．

27．（8分）小明用《几何画板》画图，他先画了两条平行线AB 、CD ，然后在平行线间画了一点E ，连接BE ，DE 后（如图①），它用鼠标左键点住点E ，拖动后，分别得到如图②、③、④等图形，这时他突然一想，∠B 、∠D 与∠BED 之间的度数有没有某种联系呢？接着小明同学通过利用《几何画板》的“度量角度”和“计算”的功能，找到了这三个角之间的关系．

（1）请你分别写出图①至图④各图中的∠B 、∠D 与∠BED 之间关系；

（2）证明从图③中得到的结论．

【考点】平行线的性质．

【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，两直线平行解答；

（2）选择③，过点E 作EF ∥AB ，根据两直线平行，内错角相等可得∠D=∠DEF ，∠B=∠BEF ，再根据∠BED=∠DEF ﹣∠BEF 整理即可得证．

【解答】解：（1）①∠B+∠D=∠BED ；

②∠B+∠D+∠BED=360°；

③∠BED=∠D ﹣∠B ；

④∠BED=∠B ﹣∠D ；

（2）选图③．

过点E 作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，

∴EF ∥CD ，

∴∠D=∠DEF ，∠B=∠BEF ，

又∵∠BED=∠DEF ﹣∠BEF ，

∴∠BED=∠D ﹣∠B ．

【点评】本题考查了平行线的性质，此类题目解题关键在于过拐点作平行线．

28．（11分）在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD ⊥BC ，且AD=AB．

（1）如图1，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ，求证：AE+AF=AD

（2）如图2，如果∠EDF=60°，且∠EDF 两边分别交边AB ，AC 于点E ，F ，那么线段AE ，AF ，AD 之间有怎样的数量关系？并给出证明．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD=∠DAC=×120°=60°，再证出∠ADE=∠ADF=90°﹣60°=30°，由含30角的直角三角形的性质得出AE=AD ，AF=AD ，即可得出结论；

（2）连接BD ，证明△ABD 是等边三角形，得出BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，证出∠ABD=∠DAC ，得出∠EDB=∠ADF ，由ASA 证明△BDE ≌△ADF ，得出BE=AF，即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵AB=AC，AD ⊥BC ，

∴∠BAD=∠DAC=∠BAC ，

∵∠BAC=120°，

∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°，

∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，

∴∠ADE=∠ADF=90°﹣60°=30°，

∴AE=AD ，

AF=AD ，

∴

AE+AF=AD+AD=AD；

（2）解：线段AE ，AF ，AD 之间的数量关系为：AE+AF=AD，理由如下：

连接BD ，如图所示：

∵∠BAD=60°，AB=AD，

∴△ABD 是等边三角形，

∴BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，

∵∠DAC=60°，

∴∠ABD=∠DAC ，

∵∠EDB+∠EDA=∠EDA+∠ADF=60°，

∴∠EDB=∠ADF ，

在△BDE 与△ADF 中，

∴△BDE ≌△ADF （ASA ），

∴BE=AF，

∵AE+BE=AD，

∴AE+AF=AD． ，

【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30角的直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．

参与本试卷答题和审题的老师有：HJJ ；2300680618；HLing ；zhjh ；CJX ；开心；sjzx ；zcx ；sks ；zjx111；gsls ；[email protected]；sd2011；lanchong ；438011；郝老师；wd1899；张其铎；lbz ；73zzx ；nhx600；王学峰；ZJX （排名不分先后）

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2016年6月16日

考点卡片

1．二元一次方程的解

（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．

（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．

（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．

2．二元一次方程组的解

（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．

（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．

3．解二元一次方程组

（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x 、y 的值用“{”联立起来，就是方程组的解．

（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=ax=b的形式表示．

4．二元一次方程组的应用

（一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．

（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．

（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．

（4）求解．

（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．

（二）、设元的方法：直接设元与间接设元．

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．

5．不等式的性质

（1）不等式的基本性质

①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：

若a ＞b ，那么a ±m ＞b ±m ；

②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：

若a ＞b ，且m ＞0，那么am ＞bm 或am ＞bm ；

③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：

若a ＞b ，且m ＜0，那么am ＜bm 或am ＜bm ；

（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．

【规律方法】

1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．

2．不等式的传递性：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ．

6．在数轴上表示不等式的解集

用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：

一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；

二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．

【规律方法】不等式解集的验证方法

某不等式求得的解集为x ＞a ，其验证方法可以先将a 代入原不等式，则两边相等，其次在x ＞a 的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．

7．一元一次不等式的整数解

解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．

8．一元一次不等式的应用

（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．

（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．

（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：

①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．

②根据题中的不等关系列出不等式．

③解不等式，求出解集．

④写出符合题意的解．

9．解一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．

（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．

（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

10．一次函数与一元一次不等式

（1）一次函数与一元一次不等式的关系

从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；

从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）

对应一次函数y=kx+b，它与x 轴交点为（﹣，0）．

当k ＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x ＞﹣bk ，不等式kx+b＜0的解为：x ＜﹣bk ； 当k ＜0，不等式kx+b＞0的解为：x ＜﹣bk ，不等式kx+b＜0的解为：x ＞﹣bk ．

11．一次函数与二元一次方程（组）

（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x 轴交点的横坐标值．

（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系

（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．

12．垂线

（1）垂线的定义

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．

（2）垂线的性质

在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”

“过一点”的点在直线上或直线外都可以．

13．平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．

定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．

2、两条平行线之间的距离处处相等．

14．平行线的判定与性质

（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．

（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．

（3）平行线的判定与性质的联系与区别

区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．

（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．

15．三角形内角和定理

（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．

（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．

（3）三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．

（4）三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．

16．三角形的外角性质

（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．

（2）三角形的外角性质：

①三角形的外角和为360°．

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．

（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．

（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．

17．全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

18．线段垂直平分线的性质

（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．

（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．

19．等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．

（2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】

（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．

20．等腰三角形的判定

判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等边对等角】

说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆；

③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；

④判定定理在同一个三角形中才能适用．

21．等边三角形的性质

（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．

（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．

22．含30度角的直角三角形

（1）含30度角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．

（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；

②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．

23．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

222如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a +b=c．

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

（3）勾股定理公式a +b=c 的变形有：a=c2﹣b2，b=c2﹣a2及c=a2+b2．

2222（4）由于a +b=c＞a ，所以c ＞a ，同理c ＞b ，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中

的每一条直角边．

24．等腰直角三角形

（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．

（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R ，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；

（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=1，则外接圆的半径R=+1，所以r ：R=1：+1．

25．作图—基本作图

基本作图有：

（1）作一条线段等于已知线段．

（2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线．

26．翻折变换（折叠问题）

1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．

2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．

首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．

27．频数与频率

（1）频数是指每个对象出现的次数．

（2）频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率=频数数据总数 一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率．频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量．

28．随机事件

222

（1）确定事件

事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．

（2）随机事件

在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．

（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，

①必然事件发生的概率为1，即P （必然事件）=1；

②不可能事件发生的概率为0，即P （不可能事件）=0；

③如果A 为不确定事件（随机事件），那么0＜P （A ）＜1．

29．几何概率

所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G ，又区域g 包含在区域G 内（如图），而区域G 与g 都是可以度量的（可求面积），现随机地向G 内投掷一点M ，假设点M 必落在G 中，且点M 落在区域G 的任何部分区域g 内的概率只与g 的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g 的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G 中任意投掷一个点M ，点M 落在G 内的部分区域g ”的概率P 定义为：g 的度量与G 的度量之比，即 P=g的测度G 的测度

简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．

30．模拟实验

（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟实验．

（2）模拟实验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果．

（3）模拟实验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟实验即可．