冲激函数和冲激偶函数的物理意义研究(1)
第33卷第1期2011年2月
电气电子教学学报JOURNALOFEEE
V01.33No.1
Feb.2011
冲激函数和冲激偶函数的物理意义研究
申
艳,陈后金
(北京交通大学电子信息工程学院,北京100044)
摘要:冲激函数和冲激偶甬数是信号分析理论中的重要函数,其性质简化了信号分析的过程。本文研究了冲激函数的广义函数定义,分析并解释了冲激函数的取样和筛选性质的物理意义。在此基础上提出了一种冲激偶函数的广义函数定义的物理意义。和传统的定义方式的解释相比,本文提出的解释方式更加易于理解。本文还分析并解释了冲激偶函数的取样和筛选性质的物理意义。关键词:冲激和冲激偶函数;广义函数;取样中图分类号:G420
文献标识码:A
文章编号:1008—0686(2011)01—0032—03
Study
onthe
Physical
MeaningoftheImpulseandDoubletFunction
SHENYan,CHENHou-jin
(School
ofElectronic
and
hformationEngineering,BeijingJiaotongUniversity,Beijing100044.China)
Abstract:Impulseand
doubletfunctions
are
importantfunctionsintheoriesofsignalanalysis.Theysimplify
on
theprocessofthesignalanalysis.Firstly,thedefinitionofimpulsefunctionbased
thedistributionfunction
are
andthephysicalmeaningofthesamplingpropertyandsiftingpropertyoftheimpulsefunctionSecondly,adoubletdefinitionexplainitionbasedingthephysicalmeaningofdoubletcompared
to
on
studied.
thedistributionfunctioniSpresentedforbetterunderstand—
thetraditionaldefinition,thenthephysicalmeaningofsam—
plingpropertyandsiftingpropertyofthedoubletfunctionisalsostudiedandinterpreted.Keywords:impulseanddoubletfunction;distributedfunction;sampling
冲激函数艿(£)是作用时间极短暂、作用值很大及积分有限的一类理想化数学模型。利用它可以对连续信号进行线性表达,可以求解线性非时变系统的零状态响应[1]。冲激函数艿(£)的定义为
r士∞
广义函数(又称分配函数)g(f)定义为[2]:选择一个测试函数9(t),妒(£)是一个连续的、具有任意阶导数、在有限区间以外为零的函数;广义函数g(£)作用于测试函数9(£)结果为F(qD,即
广+∞
艿(f)dt=1,艿(£)=0,t≠0
J’∞
(1)
l
r+∞J’∞
g(£)p(£)d£一F(9)
(2)
用普通微积分的方法直接计算涉及艿(£)的积分是困难的,因此需要通过泛函理论对其进行分析。该方法通过其它函数实现对冲激函数的分析,此时的艿(f)就是一种广义函数。1
依据广义函数理论,冲激函数艿(£)定义为
I
々o(t)B(t)dt=P(o)
(3)
其中,妒(£)是测试函数。式(3)表明,单位冲激函数艿(f)与测试函数9(£)乘积的积分等于测试函数在零时刻的值9(0)。即当冲激函数艿(£)作用于基本空间函数9(£)得到的值为9(o)。
这种定义方式比较抽象,通常难以理解,因此在
冲激函数的物理意义
1.1冲激函数的物理意义
收稿日期:2010—06—18;修回日期:2010—09—15
基金项目:电工电子基础课程国家级教学团队项目(244033529);电工电子国家级实验教学示范中心项目(351003535)第一作者:申艳(1979一),女,博士,讲师,主要从事信号处理研究,E-mail:sheny@bjtu.edu.cn
万方数据
第1期申艳。陈后金:冲激甬数和冲激偶函数的物理意义研究
33
解释定义时重点放在与普通函数定义方法的比较。普通函数是由对应于自变量的变化值所取的函数值来定义的,例如,某函数z(f)=t2—2£+1直接作用在变量t上,即将变量映射到函数z(£)上[3]。而广义函数是由它对另一个函数(常称为检验函数或测试函数)的作用效果来定义的。广义函数是作用在某类函数妒(£)上的,即把妒(£)映射到F(9)。即广义函数作用在9(£)所属的函数空间上,这个函数空间就叫基本函数空间。故广义函数g(£)就是基本函数空间上的线性连续泛函。作为广义函数g(£)不一定能写出类似于普通函数z(£)的表达形式。但如果知道对基本空间中任一元素的作用值,就可认为这个广义函数已知了。如果两个广义函数对于基本空间中任一元素妒(£)的作用值相等,就可认为这两个广义函数是相等的。1.2冲激函数的性质
(1)筛选性质
如果信号z(£)是一个在t=t。处连续的普通函数,则有
z(£)艿(t—to)一x(to)艿(£一to)
(4)
上式表明,信号z(£)与冲激函数艿(£一岛)相乘,筛选出连续时间信号z(£)在t=t。时的函数值x(t。)。可以理解为冲激函数艿(z—t。)在t=t。时刻对函数z(£)的一瞬间的作用,其值是艿(£一t。)和x(t。)相乘的结果,瞬间趋于无穷大。
(2)取样性质
如果信号z(£)是一个在t=t。处连续的普通函数,则有
r∞
I
z(f)艿(£一to)dt=x(to)
(5)
J。。。
冲激信号的取样特性表明,一个连续时间信号z(£)与冲激函数艿(£一t。)相乘,并在(一。。,+。。)时间域上积分,其结果为信号z(£)在t—t。时的函数值x(t。)。该式可以理解为冲激函数3(t—t。)作用于函数z(£),趋于稳态时最终作用的结果,即得到信号z(£)在t。时刻的值x(t。)。
2冲激偶函数的物理意义
文献[3—5]均对冲激偶函数的性质进行了证明。但是冲激偶函数的物理意义是什么?对于普通信号而言,可以表征为声音、图像或位移等物理现象。比如位移信号是一种普通信号z(f),对位移信号求
万方数据
导,体现了位移的变化,得到速度信号z7(£);再对速度信号求导,体现了速度信号的变化,得到加速度信号/(£)。而对于冲激函数这种奇异信号,表征的是作用时间极短,而作用值很大的物理现象,比如雷击或电路中电容电流的突变等现象。那么从物理意义上讲,冲激函数艿(£)瞬间的变化可用冲激偶函数艿7(£)来表示。
2.1冲激偶函数的物理意义
传统的冲激偶函数艿7(£)的定义方式是直接对冲激函数求导而得到[6],即∥(£)一曲(t)/dt。由于冲激函数不能用普通的积分来求出,因此可采用了
分配函数定义的冲激函数I妒(f)艿(£)dt一9(o),这
是一种间接的定义方式。艿7(£)一d3(t)/dt也很难用普通的求导来得到,因此采用分配函数实现[7],即用一个竹阶可导的测试函数妒(£),乘以被测试的函数。如果在整个时间轴上的积分等于一∞7(o),则被测试的函数就是冲激偶函数艿7(£),即有
r+∞7(o)
(6)
J。∞
I妒(£)艿7(t)dt=一P大多数文献仅给出了上述定义,并没有对其物理意义作进一步解释。笔者认为,冲激偶函数表示冲激函数的瞬间变化,该变化作用于测试函数,通过测试函数的变化(导数)体现。该变化和冲激偶函数的方向相反。因为艿7(£)表示艿(£)的变化,该变化难以直观测量,当冲激偶函数∥(£)作用于测试函数艿(£)时,可以通过测试函数的变化-37(0)来体现艿(£)的变化,该变化和艿(£)的变化相反。也就是说,冲激函数的变化用冲激偶函数表示,而冲激偶函数作用于
分配函数妒(£),妒(£)在0时刻产生的形变是一妒7(o),则一够7(o)体现了冲激函数的变化。以此类推,冲激函数的高阶导数通过测试函数的高阶导数及其方向来体现。这样就可避免对冲激函数及其高阶导数的直接定义和分析。
2.2冲激偶函数的性质
(1)取样性质
r。。
l
z(£)艿7(£一£o)d£=一z7(£o)
(7)
J一。。
式中,z’(f。)为z(£)在t。点的导数值。该式可以理解为冲激偶函数艿7(£一t。)作用于函数z(£),趋于稳态时最终作用的结果,即冲激函数的变化艿7(t--t。),通过信号z(£)的变化z7(%)来体现。即是,3(t—t。)的形变艿7(卜一t。)体现为z(£)的变化z7(£0),这两种变
34
电气电子教学学报
第33卷
化的方向是相反的,因此出现了负号。
(2)筛选性质
z(£)∥(£一to)一X(to)∥(£一to)一√(to)艿(f—to)
(8)
比较单纯的记忆和公式计算,这种结合物理意义理解冲激函数和冲激偶函数更为有效。参考文献:
[1-1陈后金,薛健,胡健.信号与系统[M].北京:高等教育出版社,
2007
∥(£一t。)在t=t。作用于信号z(£)。这时,相当于艿7(£一t。)在t=t。作用于信号x(t。),它们相乘的结果趋于正无穷大和负无穷大,即上式等号右边的第一项表示。同时,d7(z—t。)体现了8(t—to)的变化,即艿7(f—t。)使它所作用的信号z(£)产生了形变,该形变的大小是一z7(£。)艿(£一t。),和原作用方向
相反。
[2]沈永朝关于广义函数的讨论[J].南京:电气电子教学学报,
2002:24(1)
[3]钱琳琳,任俊杰,冲激(偶)函数类性质的教学策略探讨[J].北
京:北京联合大学学报(自然科学版),2004;18(3)
[4]王东平,程从菊.关于冲激函数导数的两个性质[J].南京:电
气电子教学学报2001:23(z)
3
结语
本文研究了冲激函数和冲激偶函数的物理意
[5]郑君里。应启珩,杨为理.信号与系统(第二版)[M].北京:高等
教育出版社,2000[6]OPPENHEIM
A
V,WII。LSKYA
S
NAWAB
S
H著;刘树棠
义,提出了一种冲激偶信号的广义函数定义的解释,体现了冲激偶函数的物理意义。同时,分析了它们的取样性质和筛选性质的物理意义。可以看出,相
译.信号与系统[M].西安:西安交通大学出版社,1998[7]管致中,夏恭恪,孟桥.信号与线性系统(第四版)[M].北京:
高等教育出版社.2004
(上接第28页张玉超等文)
已知互相关结果中三个点a、b和C,坐标分别为(z。,y。)、(z。,Y,)和(zz,yz),其中b为最大值点,a、c与b相邻。由于互相关结果是离散序列,b点只是最大值点的近似值,在插值后可能会出现比b更大的值,而这个值肯定会落在a、c之间。通过
不同的时间差,比较插值前后的相对误差,其结果如表1所示。
表1对互相关运算进行插值的比较
时间差(“s)
O.9792.12一0.70
1.241—3.45—0.68
1.615—1.46一O.52
2.021—1.06—0.41
2.4751.32一O.32
插值前相对误差(%)插值后相对误差(%)
a、b和c三个点可以确定一条抛物线,(z)一仳2+
k+c,三个参数a,b和C可以通过Lagrange插值公式求得
m)一毒葺嬲y:+瓦『二i了瓦习y1十石■i万瓦习y2‘j’鲁篙嬲y・+等焉鹄yz㈣
图3对互相关结果时行插值
3
结语
本文研究互相关技术在实际应用中需要注意的
一些问题,并利用Matlab仿真进行了验证。其结论是:①进行互相关运算的两个序列有效长度不相等是可以的;②两个序列的有效长度之差越小越好,最大不能超过一个周期;③对互相关序列进行插值能够大大提高时间分辨率。参考文献:
[1]
徐科军.信号处理技术[M].武汉:武汉理工大学出版社,2001
[2]徐科军主编.信号分析与处理[M].北京:清华大学出版社,
2006
[3]P.Brassier,B.Hosten,F.Vulovic.High—frequency
andcorrelationmethod
to
transduers
enhanceultrasonic
gas
flowmetering
在仿真程序中,采用的是直接调用Matlab中的插值函数polyfit(X,Y,N)进行抛物线插值。设定
[J].FlowMeasurementandInstrumentation,2001(12)。201
万方数据
冲激函数和冲激偶函数的物理意义研究
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):
申艳, 陈后金, SHEN Yan, CHEN Hou-jin北京交通大学,电子信息工程学院,北京,100044电气电子教学学报
JOURNAL OF ELECTRICAL & ELECTRONIC EDUCATION2011,33(1)
参考文献(7条)
1. 陈后金;薛健;胡健 信号与系统 20072. 沈永朝关于广义函数的讨论 2002(01)
3. 钱琳琳;任俊杰 冲激(偶)函数类性质的教学策略探讨[期刊论文]-北京联合大学学报(自然科学版) 2004(03)4. 王东平;程从菊 关于冲激函数导数的两个性质[期刊论文]-电气电子教学学报 2001(02)5. 郑君里;应启珩;杨为理 信号与系统 2000
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引证文献(2条)
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