[工程数学]练习册
西安邮电学院高等函授
《工程数学》练习册
复变函数(西安交大 第四版 高等教育出版社) 概率论与随机过程(北京邮电大学，北京邮电大学出版社)
西安邮电学院继续教育学院
2010年5月23日
一、单项选择题（在每个小题的四个被选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在题后的括号内）
1．已知事件A 、B 互不相容，P(A)>0，P(B)>0，则（ ）. ① P(A B)=1 ② P(A B)=P(A)P(B) ③ P(A B)=0 ④ P(A B)>0
2．若事件A 、B 满足B -A =B ，则一定有（ ）. ① A=∅ ② A B=∅ ③ A B =∅ ④ B =A
3．某工人生产了三个零件，A i 表示“他生产的第i 个零件是合格
品”（i =1, 2, 3），以下事件的表示式错误的是（ ）.
① A 1A 2A 3表示“没有一个零件是废品”
② A 1 A 2 A 3表示“至少有一个零件是废品”
③ A 1A 2A 3 A 1A 2A 3 A 1A 2A 3表示“仅有一个零件是废品” ④ A 1A 2A 3 A 1A 2A 3 A 1A 2A 3表示“至少有两个零件是废品”
4．设A 、B 是两个随机事件，则A -B 不等于（ ）. ① A B ② A B ③ A -A B ④ (A B ) -B
5．设A 、B 是两个随机事件，且A ⊂B ，则不能推出的结论是（ ）.
① P (A B ) =P (A ) ② P (A B ) =P (B ) ③ P (A B ) =P (A ) -P (B ) ④ P (A B ) =P (B ) -P (A )
6．A 、B 互为对立事件等价于（ ）.
① A 、B 互不相容 ② A 、B 相互独立 ③ A 、B 构成样本空间的一个划分 ④ A B =Ω
7．对任意事件A 、B ，下面结论正确的是（ ）. ① P (AB ) =0，则AB =∅ ② 若P (A B ) =1，则A B =Ω ③ P (A -B ) =P (A ) -P (B ) ④ P (A B ) =P (A ) -P (AB )
8．设A 1、A 2、A 3为任意三个事件，以下结论中正确的是
（ ）.
① 若A 1、A 2、A 3相互独立，则A 1、A 2、A 3两两独立
② 若A 1、A 2、A 3两两独立，则A 1、A 2、A 3相互独立
③ 若P (A 1A 2A 3) =P (A 1) P (A 2) P (A 3) ，则A 1、A 2、A 3相互独立
④ 若A 1与A 2独立、A 2与A 3独立，则A 1与A 3独立
9．设A 、B 是两个随机事件，0
① A 、B 互不相容 ② A 、B 相互独立 ③ A ⊂B ④ A ⊃B
10．设A 、B 是两个随机事件，0
① P (A B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB ) ② P (A B ) =P (A ) +P (A B ) ③ P (B ) =P (A ) P (B |A ) +P (A ) P (B |A ) ④ P (A A ) =P (A )
11．设A 、B 是两个随机事件，若P (A B ) =0. 8，P (A ) =0. 2，P (B ) =0. 4，则（ ）.
① P (A B ) =0. 32 ② P (A B ) =0. 2
③ P (B -A ) =0. 4 ④ P (B A ) =0. 48
12．已知A 、B 、C 两两独立，且P (A ) =P (B ) =P (C ) =，P (ABC ) =，
1215
则P (AB C ) =（ ）.
① 1111 ② ③ ④ 4020104
13．随意掷一颗骰子两次，则这两次出现的点数之和等于8的概率是（ ）.
① 3452 ② ③ ④ 36363636
14．甲、乙、丙三人向同一目标独立地射击一次，三人命中率分别是0.5，0.6，0.7，则目标被击中的概率是（ ）.
① 0.94 ② 0.92 ③ 0.95 ④ 0.90
15．已知事件A 与B 相互独立，且P (A ) =0. 5，P (B ) =0. 6，则P (A B ) =（ ）.
① 0.9 ② 0.7 ③ 0.1 ④ 0.2
16．甲、乙、丙三人独立地译一密码，他们每人译出此密码的概率都是0.25，则此密码被译出的概率是（ ）.
① ② 1
413763 ③ ④ 646464
17. 甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次，他们命中率分别是0.5和0.6，则目标被击中的概率是（ ）.
① 0.60 ② 0.80 ③ 0.90 ④ 0.50
18．设随机变量X 的密度函数为f (x ) =⎨⎧2x , 0A =（ ）.
① 0.25 ② 0.50 ③ 1 ④ 2
19．设离散型随机变量X 的概率分布为
其分布函数为F (x ) ，则F (3) =（ ）.
① 0 ② 0.3 ③ 0.8 ④ 1
20. 设离散型随机变量X 的概率分布为
1
812则c =（ ）. ① ② ③ ④
21. 设随机变量X ⎧cx 4, 0
c =（ ）.
① ② ③ 4 ④ 5
x
⎪22≤x ⎩1, 1514
（ ）.
① 0 ② ③ 4 ④ 1
23. 设随机变量X 的密度函数为f (x ) =⎨
A =（ ）. 1234⎧Ax , 0
① 3 ② 0.50 ③ 1 ④ 2
24. 设X ~N (-1, σ2) 且P (-3
① 0.1 ② 0.2 ③ 0.3 ④ 0.5
25. 设随机变量X 服从二项分布，即X ~B (n , p ) ，且E (X ) =3，
p =1，则n =（ ）. 7
① 7 ② 14 ③ 21 ④ 49
26. 设随机变量X 服从二项分布，即X ~B (n , p ) ，则有（ ）.
① E (2X +1) =2np ② D (2X +1) =4np (1-p ) +1 ③ E (2X +1) =4np +1 ④ D (2X +1) =4np (1-p )
27. 设随机变量X 服从参数为λ(λ>0) 泊松分布，即X ~P (λ) ，则[D (X ) ]2
=（ ）. E (X )
① 1 ② λ ③ ④ λ2 λ1
28. 设随机变量X 服从参数为λ(λ>0) 指数分布，则
（ ）. D (X ) =E (X )
① 1 ② λ ③ ④ λ2 λ1
29. 设随机变量X 服从参数为n ，p 二项分布，即X ~B (n , p ) ，则D (X ) =（ ）. E (X )
① p ② 1-p ③ np ④ np (1-p )
30. 设随机变量X 服从正态分布，即X ~B (2, 25) ，则E (X 2) =（ ）.
① 4 ② 27 ③ 5 ④ 29
31．两个独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量3X -2Y 的方差是（ ）.
① 8 ② 16 ③ 28 ④ 44
32. 设z 2+z +1=0，则z 11+z 7+z 3=（ ）. ① 0 ② i ③ -i ④ 1
33．设z 2+z +1=0，则z 20+z 10+z 6=（ ）. ① 0 ② i ③ -i ④ 1
34．当z =1+i 时，z 100+z 75+z 50的值等于（ ）. 1-i
① i ② -i ③1 ④-1
35．设复数z 满足arg(z +2) =，arg(z -2) =3π5π，那么z =（ ）
6
①-1
②i
③-+
36．函数f (z ) =3|z |2在点z =0处是( ) 121
④+i 2
①解析的 ②可导的
③不可导的 ④既不解析也不可导
37．函数f (z ) 在点z 可导是f (z ) 在点z 解析的( )
①充分不必要条件 ②必要不充分条件
③充分必要条件 ④既非充分条件也非必要条件
38．函数f (z ) =z 2Im(z ) 在z =0处的导数( )
①等于0 ②等于1 ③等于-1 ④不存在
39．设f (z ) =x 2+iy 2，则f '(1+i ) =( )
① 2 ② 2i ③ 1+i ④ 2+2i
40．设u (x , y ) =e px sin y 为某一解析函数的实部，那么p =（ ）. ① 0 ② ±1 ③ ±2 ④ ±i
41．下列函数为解析函数的是( )
①x 2-y 2-2xyi ② x 2+xyi
③2(x -1) y +i (y 2-x 2+2x ) ④x 3+iy 3
42．若函数f (z ) =x 2+2xy -y 2+i (y 2+axy -x 2) 在复平面内处处解析，那么实常数a =( )
① 0 ② 1 ③ 2 ④ -2 43. i i 的主值为 ( ).
① 0 ② 1 ③ e ④ e 44．Ln (-1) 的主值为 ( )
① 0 ② 1 ③ πi ④ -πi
45. 设C 为包含圆周|z |=1在内的任何正向简单闭曲线，那么π2-π2 C 2z -1dz 的值是（ ）. z 2-z
① 2πi ② -2πi ③ 4πi ④ -4πi
46．设c 1:z =1为负向，c 2:z =3正向，则sin z = ( ) 2 ⎰z c =c 1+c 2
① -2πi ② 0 ③ 2πi ④ 4πi
47．设c 为正向圆周|z |=2，则 ⎰c cos z = ( ) (1-z ) 2
①-sin1 ②sin1 ③ -2πi sin1 ④ 2πi sin1
48. 下列级数中绝对收敛的是
∞∞∞1i i n (-1) n i (8i ) n ① ∑(1+) ② ∑ ③ ∑[ +n ] ④ ∑n n ln n n 2n ! n =1n =1n =2n =1∞
49. 幂级数∑(1+3i ) n z 2n 的收敛半径是 （ ）
n =0∞
① 2 ② ③ 2 ④
50．下列级数中绝对收敛的是（ ）.
1212
∞∞∞i 1(1+i ) n (-1) n -1i i n ① ∑(1+) ② ∑ ③ ∑[+n ] ④ ∑2 n n ln n n 2n =1n =2n =1n =1n ∞
51．下列级数中，条件收敛的级数为( ) ∞1+3i n (3+4i ) n ①∑( ) ②∑2n ! n =1n =1∞
∞i n n ③ ∑
④ n =1n n =1∞
52．下列级数中，绝对收敛的级数为( ) ∞1i (-1) n i ①∑(1+) ②∑[+n ] n n n 2n =1n =1∞
∞i n (-1) n i n ③ ∑ ④∑n 2n =2ln n n =1∞
二、简答题
1． 设有一批产品100件，其中有5件次品. 现从中任取50件，求所取50件中无次品的概率.
2． 袋中有白球4个，黑球2个. 每次从中任取一个球，连续取两次，取后不放回. 如果已知第一个是白球，试求第二也是白球的概率.
3． 10把钥匙中有3把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率.
4． 某产品共40件，其中有三件是次品，现从中任取2件，求至少有一件是次品的概率.
5． 一批产品共50件，其中45件是合格品. 从这批产品中任取3件，求其中有不合格品的概率.
6． 全年级100名学生中有男生（用A 表示）80人，来自西安
的（用B 表示）有20人，这20人中有男生12人，试写出P (A ), P (B ), P (B |A ), P (A |B ) .
7． 由长期的统计资料知，某一地区在4月份下雨（记作事件
47，刮大风（用事件B 表示）的概率为，既下雨又1515
1刮大风的概率为，求P (A |B ), P (A B ) . 10A ）的概率为
8． 若事件A 、B 相互独立， P (A ) =0. 4, P (A B ) =0. 6，求P (B ), P (A B ) .
9． 一个袋中有10个球，其中6个白球，4个黑球. 现从中任取3个，X 表示取到黑球个数，写出随机变量X 的概率分布.
10． 一仪器由三个相同的独立工作的元件构成. 该仪器在一次试验中每个元件发生故障的概率为0.1. 试求在一次试验中发生故障元件数X 的概率分布.
11． 设电阻的阻值R 是一个随机变量，均匀分布在900Ω~1100Ω之间，求R 的概率密度函数及P (950
12． 已知随机变量X 的分布律为
试求常数a 及X 的分布函数.
13． 已知随机变量X 的密度函数为f (x ) =⎨
常数A 及X 的分布函数.
14． 已知随机变量K 服从（0，5）上的均匀分布，试求方程
4x 2+4Kx +K +2=0 ⎧Ax , 0
有实根的概率.
15． 已知随机变量X 服从参数为λ=3的指数分布，求P (X >0. 1) . 16． 设X ~N (0, 1) ，试求X 2的概率密度函数.
, 0
⎪
17． 设X 的概率密度函数为f (x ) =⎨2-x , 1≤x
⎪0, 其它⎩E (X ), D (X ) .
⎧x f (x ) =18． 设X 的概率密度函数为⎨
⎩0
, ,
x
，试求其它
E (X ), D (X ) .
19． 已知（X ，Y ）在矩形区域0
20． 已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且E (X ) =3，而随机变量Y 服从参数为λ的指数分布，试求E (Y 2) .
21．
计算的值.
20
22． 当x ，y 等于什么实数时，等式23． 求z 3+8=0的所有根. 24． 求+i .
x +1+i (y -3)
=1+i 成立？
5+3i
25． 函数f (z ) =nx 2y +my 3+i (x 3+lxy 2) 在复平面内处处解析，试求
l , m , n 的值.
26． 函数f (z ) =x 2+axy +by 2+i (cx 2+d xy +y 2) 在复平面内处处解析，试求a , b , c , d 的值.
27． 已知调和函数u =y 3-3x 2y ，求一解析函数f (z ) =u +iv ，使
f (1) =2.
28． 已知调和函数v =e x (y co s y +x sin y ) +x +y ，求一解析函数
f (z ) =u +iv ，使f (0) =0.
29． 将函数
1
展开成z 的幂级数，并指出它的收敛半径. 22
(1+z )
三、计算题
1．已知5%的男人和0.25%的女人是色盲. 假设男人、女人各占一半，现随机地挑选一人.
（1） 求此人是色盲患者的概率.
（2） 若随机挑选一人，此人不是色盲患者，问他是男人概率. 2．发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“A ”和“B ”. 由于通信系统的干扰，当发出信号“A ”时，收报台分别以概率0.8及0.2收到信号“A ”和“B ”；又当发报台发出信号“B ”时，收报台分别以概率0.1及0.9收到信号“A ”和“B ”. 试求
（1） 收报台收到信号“A ”的概率；
（2） 当收报台收到信号“A ”时，发报台确系发出信号“A ”的概率.
3．设有甲、乙、丙三部机床独立工作，由一名工人照管，在一小时内它们不需要工人照管的概率分别为0.9，0.8及0.85. 试求（1）在这一小时内有机床需要工人照管的概率；（2）机床因无人照管而停工的概率.
P (A B +B C +C A ) =P (A B ) +P (B C ) +P (C A ) -2P (A B C ) =0. 059
4．设X 、Y 是相互独立的随机变量，且X~N (0, 1) ，Y~N (0, 1) ，
试求Z=X+Y的密度函数.
5．已知（X ，Y ）的联合概率密度为
⎧2xy ⎪x +, 0≤x ≤1, 0≤y ≤2
f (x , y ) =⎨ 3
⎪, 其它⎩0
求P (X +Y >1) .
6．设(X , Y ) 的联合分布率
试求(1)E (X ) 、E (Y ) ；(2)Cov (X , Y ) .
7．某产品的价格X (元) 与销售量Y (件) 的联合分布为
试求(1)产品的平均售价和产品的平均销售量；(2)Cov (X , Y )
8. 随机过程X (t ) =(t 2+1) U , 这里U 是随机变量, 其可能值属于(0,10) ,在两次试验中得到U 的值:u 1=2, u 2=3. 5, 求相应的样本函数. 9. 设随机过程X (t ) =U sin t , 其中U 是随机变量, 求在t =及t =
π
处的状态. 2
π
处的状态6
10. 求随机过程 X (t ) =U cos 2t 的均值函数, 自相关函数, 均方值函数, 方差函数及均方差函数, 其中E (U ) =5, D (U ) =6.
2
σX (t ) =X (t ) =6cos 2t .
11. 已知过程{X (t ), t ∈T }的均值函数μX (t ) 和协方差函数
C X (t 1, t 2), ϕ(t ) 是普通的函数，试求随机过程Y (t ) =X (t ) +ϕ(t ) 的均值函数
和协方差函数 12. 求积分I = ⎰C . (r ≠1, 2)
13. 求函数f (z ) =14. 将函数cos 收敛范围.
2(z +1)
在其奇点的邻域内的洛朗展开式.
z 2+2z -3
1
dz 的值，其中C 为圆周|z |=r 正向
z 3(z +1)(z -2)
z
在圆环0