概率论试题一与答案

《概率论》试卷一与答案

一．填空题

1. 设P (A ) =0. 4, P (A B ) =0. 7，若事件A 与B 互不相容，则P (B ) =A 与B 相互独立，则P (B ) = .

2. 已知在10件产品中有2件次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样，则第二次取出的是次品的概率 .

1113. 三人独立地破译一密码，他们能单独破译出的概率分别为、、，则此密码被破译出的概率345

为 ．

4. 设X ~N (3, 22), Φ(3. 5) =0. 9998, 则P (-4

5. 若随机变量X 服从泊松分布，且P {X =1}=P {X =2}，则P {X =4}=

6．设随机变量X ~U (0, 5) , 则关于y 的二次方程y 2+4y +X =0有实根的概率⎧e -x , x ≥07. 设随机变量X 的概率密度函数为f (x ) =⎨，则随机变量Y =2X 的概率密度函数0, x

f Y (y ) = .

(写明分布名称及参数) .

(, Y ) 的分布函数9. 设X , Y 是两个独立同分布的随机变量，其分布函数为F (x ) ，则Z =m ax X 8. 设随机变量X , Y 分别服从N (1, 4) 和N (0, 9) , 且X 与Y 相互独立，令Z =2X -Y , 则Z 服从分布

F max (z ) = .

10. 设X 为非负随机变量，E (1211X -1) =2, D (X -1) =, ，则E (X ) =222

11．设随机变量X 的方差为25，根据契比雪夫不等式, 有P {|X -E (X ) |

2一．填空题答案 1．0.3, 0.5 2．0.2 3. 0.6 4．0.9996 5．e -2 6. 3

1- 7．f Y (y ) =e 2, y ≥0 8．N (2, 25) 9. F 2(z ) 10. 11． 2 y 二．将两信息分别编码0和1传递出去，接收站收到时0被误收作1的概率为0.02，而1被误收作

0的概率为0.01，信息0和信息1传送的频繁程度为2:1，求(1) 接收站收到信息0的概率；(2)

若接收站收到的信息是0，则原发信息是0的概率。

⎧a +bx 2, 0

1(2) X 的分布函数F (x ) ; (3) P {-1

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四．（本题10分）设随机变量X 与Y 独立同分布，X 的分布律为

X 12

P 33

记U =max{X , Y },V =min{X , Y }，求(U , V ) 的联合分布律.

五．（本题16分）设二维随机变量(X , Y ) 的密度函数为

f (x , y ) =⎧⎨8xy , 0≤x ≤1, 0≤y ≤x

⎩0, 其他，

求 (1) X , Y 的边缘概率密度f X (x ), f Y (y ) ；

(2) P {Y ≥X 2}；

(3) 当X =1

3时，Y 的条件密度函数f Y X (y |x =1

3) ；

(4) E (X ), E (Y ), E (XY ) 及Cov (X , Y ) .

六．（本题10分）某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户中占20%，以在随意抽查的100个索赔户因被盗向保险公司索赔的户数.

(1)写出X 的概率分布律；

(2)利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值.

（答案）

二. 设A 为“接收站收到信息0”，B 为事件“原发信息是0”，

（1）P (A ) =P (B ) P (A B ) +P () P (A |=0. 98⨯21197

3+0. 01⨯3=300；„„„„4分

（2） P (B A ) =P (B ) P (A B ) 0. 98⨯2

P (A ) =3

0. 98⨯21=196

197. „„„„„„„„„6分

3+0. 01⨯3

⎧1

三．（1）由题意，得⎪⎨⎰0(a +bx 2) dx =1⇒⎧a =

⎪⎩⎰12) dx =0. 6⎨0. 6

⎩b =1. 2 „„„„„„ 4分

0x (a +bx

⎧0, x

（2） F (x ) =⎰x

-∞f (t ) dt =⎪⎨0. 6x +0. 4x 3, 0≤x

（3）P {-1

2=F (1

2) -F (-1) =F (1

2=0. 35 „„„„„„„„„„„„ 2分

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四． (U , V ) 有三个可能值(1, 1), (2, 1), (2, 2) ，„„„„„„„„„„„„2分

4而P (U =1, V =1) =P (X =1, Y =1) =P (X =1) P (Y =1) =，„„„„„„„„„ 2分 9

P (U =2, V =1) =P (X =1, Y =2) +P (X =2, Y =1)

4 =P (X =1) P (Y =2) +P (X =2) P (Y =1) =„„„„„„„„„ 2分 9

1P (U =2, V =2) =P (X =2, Y =2) =P (X =2) P (Y =2) = „„„„„„„„„ 2分 9

即 12

14/90

24/91/9

x 3⎧+∞⎪⎰08xydy =4x , 0≤x ≤1五. (1) f X (x ) =⎰f (x , y ) dy =⎨ „„„„ 2分 -∞⎪0，其它⎩

⎧18xydx =4y -4y 3, 0≤y ≤1+∞⎪f Y (y ) =⎰f (x , y ) dx =⎨⎰y ；„„„„„„„„„„„2分 -∞⎪0其它⎩

1x 112(2) P {Y ≥X }=⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰dx ⎰28xydy =⎰(4x 3-4x 5) dx =；„„„„4分 0x 03y ≥x 2

⎧2y f (x , y ) ⎪2, 0≤y ≤x (3)当0

111当x =时, f Y |X (y |x =) =18y , 0≤y ≤ „„„„„„„„„„„„„„2分 333

1x 142(4)E (X ) =⎰dx ⎰8x y dy =⎰4x 4dx =, „„„„„„„„„„„„„„„„1分 0005

1x 18E (Y ) =⎰dx ⎰8xy 2dy =⎰(4y 2-4y 4) dy = „„„„„„„„„„„„„1分 00015

1x 4E (XY ) =⎰dx ⎰8x 2y 2dy = „„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分 009

4Cov (X , Y ) =E (X ) E (Y ) -E (XY ) =- „„„„„„„„„„„„„„„1分 225

六． (1)由题意，X ~b (100, 0. 2) ，

k 则P {X =k }=C 1000. 2k 0. 8100-k , k =0, 1, , 100 „„„„„„„„„„„„„„ 4分

(2) E (X ) =np =20, D (X ) =np (1-p ) =16 „„„„„„„„„„„„„„„ 2分 根据棣莫佛—拉普拉斯定理，

14-20X -2030-20P {14≤X ≤30}=P ≤≤ „„„„„„„„ 2分 X -20=P {-1. 5≤≤2. 5} ≈Φ(2. 5) -Φ(-1. 5) =0. 927 „„„„„„„„„„„ 2分

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