牛吃草问题
解题关键:
牛顿问题俗称“牛吃草问题”,牛每天吃草,草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步:
1、求出每天长草量;
2、求出牧场原有草量;
3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-—生长的草量= 消耗原有的草量);
4、最后求出牛可吃的天数。
5、每头牛一天吃多少草
规律总结
牛顿问题的难点在于草每天都在不断生长,草的数量都在不断变化。解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量,我们可以把总草量看成两部分的和,即原有的草量加新长的草量。显而易见,原有的草量是一定的,新长的草量虽然在变,但如果是匀速生长,我们也能找到另一个不变量——每天(每周)新长出的草的数量。
基本思路:假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点:原草量和新草生长速度是不变的;
关键问题:确定两个不变的量。
基本公式:
生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间); 原有草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
牛吃草问题常用到四个基本公式:
牛吃草问题又称为消长问题,是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所以草的存量随着吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式,分别是︰
(1)草的生长速度= (对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数);
(2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;`
(3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);
(4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
例1、牧场上有一片牧草,供24头牛6周吃完,供18头牛10周吃完.假定草的生长速度不变,那么供19头牛需要几周吃完?
解:设1头牛吃一周的草量的为一份.
(1)24头牛吃6周的草量
24×6=144(份)
(2)18头牛吃10周的草量
18×10=180(份)
(3)(10-6)周新长的草量
180-144=36(份)
(4)每周新长的草量
36÷(10-6)=9(份)
(5)原有草量
24×6-9×6=90(份)
(6)全部牧草吃完所用时间
不妨让19头牛中的9头牛去吃新长的草量,剩下的10头牛吃原有草量,有
90÷(19-9)=9(周)
答:供19头牛吃9周.
例2、一块草地,10头牛20天可以把草吃完,15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完?
解 草是均匀生长的,所以,草总量=原有草量+草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”,就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话,得有多少头牛? 设每头牛每天吃草量为1,按以下步骤解答:
(1)求草每天的生长量
因为,一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草,即(1×10×20);另一方面,20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量,所以
1×10×20=原有草量+20天内生长量
同理 1×15×10=原有草量+10天内生长量
由此可知 (20-10)天内草的生长量为
1×10×20-1×15×10=50
因此,草每天的生长量为 50÷(20-10)=5
(2)求原有草量
原有草量=10天内总草量-10内生长量=1×15×10-5×10=100
(3)求5 天内草总量
5 天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5×5=125
(4)求多少头牛5 天吃完草
因为每头牛每天吃草量为1,所以每头牛5天吃草量为5。
因此5天吃完草需要牛的头数 125÷5=25(头)
答:需要5头牛5天可以把草吃完。
例3、画展9点开门,但早有人来排队入场,从第一个观众来到时起,若每分钟来的观众一样多,如果开3个入场口,9点9分就不再有人排队;如果开5个入场口,9点5分就没有人排队。求第一个观众到达的时间?
解答:设每一个入场口每分钟通过"1"份人,摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析
3个入场口 9分钟 3×9=27 :原有人+9分钟来的人
5个入场口 5分钟 5×5=25 :原有人+5分钟来的人
从上易发现:4分钟来的人=27-25=2,即1分钟来的人=0.5;那么原有的人:27-9×0.5=22.5;
这些人来到画展用时间22.5÷0.5=45(分)。第一个观众到达的时间为9点-45分=8点15分。 例4、一只船有一个漏洞,水以均匀速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水,3小时可以淘完;如果只有5人淘水,要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完?
解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是,最后一问给出了人数(相当于“牛数”),求时间。设每人每小时淘水量为1,按以下步骤计算:
(1)求每小时进水量
10小时内的总水量=1×5×10=原有水量+10小时进水量
所以,(10-3)小时内的进水量为 1×5×10-1×12×3=14
因此,每小时的进水量为 14÷(10-3)=2
(2)求淘水前原有水量
原有水量=1×12×3-3小时进水量=36-2×3=30
(3)求17人几小时淘完
17人每小时淘水量为17,因为每小时漏进水为2,所以实际上船中每小时减少的水量为(17-2),所以17人淘完水的时间是
30÷(17-2)=2(小时)
答:17人2小时可以淘完水。
例5、一片牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草,牧草每天都在匀速生长,这片牧场可供18头牛吃16天,或者供27头牛吃8天。在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场,6天中可供多少头牛吃草?
解答:设1头牛1天的吃草量为"1",摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析
18头牛 16天 18×16=288 :原有草量+16天自然减少的草量
27头牛 8天 27× 8=216 :原有草量+ 8天自然减少的草量
从上易发现:2000平方米的牧场上16-8=8天生长草量=288-216=72,
即1天生长草量=72÷8=9;
那么2000平方米的牧场上原有草量:288-16×9=144或216-8×9=144。
则6000平方米的牧场1天生长草量=9×(6000÷2000)=27
原有草量:144×(6000÷2000)=432.
6天里,共草场共提供草432+27×6=594,可以让594÷6=99(头)牛吃6天
练习
1、牧场上一片青草,每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天,或者可供15头牛吃10天。问:可供25头牛吃几天?
2、一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管,等水池存了一些水后,再打开出水管。如果同时打开2个出水管,那么8分钟后水池空;如果同时打开3个出水管,那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟?
3、由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天,或可供15头牛吃6天。照此计算,可供多少头牛吃10天?
4、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着,两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级,女孩每分钟走15级,结果男孩用了5分钟到达楼上,女孩用了6分钟到达楼上。问:该扶梯共有多少级?
5、某车站在检票前若干分钟就开始排队,每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失,同时开4个检票口需30分钟,同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口,那么需多少分钟?
6、有三块草地,面积分别为5,6和8公顷。草地上的草一样厚,而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天,第二块草地可供12头牛吃14天。问:第三块草地可供19头牛吃多少天?
7、牧场上的牧草每天均匀生长,这片草地可供17头牛吃6天,可供13头牛吃12天.问多少头牛4天可以把草地上的草吃完?
8、有-牧场,21头牛20天可将草吃完,25头牛则15天可将草吃完,现有牛若干头,吃6天后卖了4头,余下的牛再吃2天则将草吃完,问原有牛多少头?
9、22头牛,吃33公亩牧场的草54天可吃完, 17头牛吃同样牧场28公亩的草,84天可吃完.问几头牛吃同样牧场40公亩的草,24天可吃完?
10、某火车站检票口,在检票开始前已有-些人排队,检票开始后每分钟有10人前来排队检票,-个检票口每分钟能让25人检票进站.如果只有-个检票口,检票开始8分钟后就没有人排队;如果有两个检票口,那么检票开始后多少分钟就没有人排队?
11、甲、乙、丙三个仓库,各存放着同样数量的大米,甲仓库用皮带输送机-台和12个工人5小时把甲仓库搬空,乙仓库用皮带输送机-台和28个工人3小时把乙仓库搬空.丙仓库有皮带输送机2台,如果要2小时把丙仓库搬空,同时还需要多少名工人?
12、牧场上-片牧草,可供27只羊吃6天;或者供23只羊吃9天,如果牧草每周匀速生长,可供21只羊吃几天?
13、-片牧草,每天生长的速度相同.现在这片牧草可供16头牛吃20天,或者可供80只羊吃12天.如果l头牛的吃草量等于4只羊的吃草量,那么lO头牛与60只羊-起吃可以吃多少天?
14、陕北某村有-块草场,假设每天草都均匀生长,这片草场经过测算可供100只羊吃200天,或可供150只羊吃100天.问:如果放牧250只羊可以吃多少天?放牧这么多羊对吗?为防止草场沙化,这片草地最多可以放牧多少只羊?(注意:要防止草场沙化就应该使草场的草永远吃不完)
15、12头牛28天可吃完10公亩牧场上全部牧草,21头牛63天可吃完30公亩牧场上全部牧草.多少头牛126天可吃完72公亩牧场上全部牧草?(每公亩牧场上原有的草量相等,且每公亩牧场上每天草的生长量相同)
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《牛吃草问题》试题
A卷(50分)
一、填空题(每题3分,共30分)
1.牧场上有一片牧草,供24头牛6周吃完,供18头牛10周吃完。假定草的生长速度不变,则供19头牛_________周吃完。
2.有一片牧场上的草均匀地生长,如果4只羊吃,15天可以把草吃光。如果8只羊吃,7天可以把草吃光。若想5天把草吃光,则需要_________只羊去吃。
3.有一条船因触礁,破了一个洞,海水均匀地进入船内,发现船漏时,船已进了一些水。如果12个人舀水,则3小时可以把水舀完;如果5人舀水,则10小时可以把水舀完。如果需要在2小时内舀完水,则需要_________人。
4.有一片草地上的草每天都均匀地生长,如果24只羊吃,则6天可吃完;如果21只羊吃,则8天可以吃完。如果16只羊吃草,则可_________天吃完。
5.24头牛6天可将一片牧草吃完;21头牛8天可将这片牧草吃完;如果每天的草增长量相等,要使这片草永远吃不完,最多可以放_________头牛去吃这片牧草。
6.某个水库原存有一定的水,河水又均匀地流入库内,5台抽水机连续20天可将水库的水抽干;6台同样的抽水机连续15天可将水抽干。若要6天抽干水库的水,则需_________台同样的抽水机。
7.有一片牧草,每天生长的速度相同。现在这片牧草可供16头大牛吃20天;或者可供80头小牛吃12天。如果一头大牛的吃草量等于4只小牛的吃草量,那么10头大牛与60头小牛一起吃草可以吃_________天。
8.一片牧草,每亩草原有的草量相等,且每天草的生长量相同。12只羊28天可以吃完10亩地的全部牧草,21只羊63天可以吃完30亩地的全部牧草,_________只羊126天可以吃完72亩地的全部牧草。(亩是旧制的土地面积单位)
9.甲从A地出发行了一段时间后,乙、丙、丁三人才同时从A地出发沿同一条路去追甲。乙、丙、丁三人分别用了3小时、5小时、6 小时才追上甲。已知乙每小时行18千米,丙每小时行16千米。那么丁每小时行_________千米。
10.有一片牧场上的草每天生长的速度相同,草可供10头牛吃10个星期,或供24只羊吃20个星期。已知1头牛和3只羊的吃草量相同,那么10头牛和12只羊一起吃草,可以吃______个星期。
二、解答题(20分)
1.一条船破了一个洞漏水,假设每小时涌进船内的水量相等,发现船漏时已涌进了一些水。如果3个人排
几个人?
2.有一片牧草,每天匀速地生长,它可供17只羊吃30天,或可供19只羊吃24天。现在若干只羊吃,6天后卖了4只,余下的羊2天将草吃光,那么原有多少只羊?
3.一个水池,底部有一个常开的排水管,上部安有若干根同样粗细的进水管。打开2个进水管,需要15小时把水池注满;如果打开4个进水管,只需要5小时就可以把水池注满。现在需要2小时将水池注满,那么至少要打开几个进水管?
4.某棉纺厂仓库,可储存全厂45天的用棉量,若用1辆大汽车往空仓库内运棉,则除了供应车间生产外,5天可将仓库装满;若用2辆小汽车往空仓库运棉,则9天可将仓库装满。如果用1辆大汽车和2辆小汽车同时运棉。需要几天可将仓库装满?
5.甲、乙、丙三辆车同时从同一地点出发,沿同一公路追赶前面的一个行人。这三辆车分别用了6分钟、10分钟、12分钟追上这个人。已知甲车每小时行24千米,乙车每小时行20千米。那么丙车每小时行多少千米?
B卷(50分)
一、填空题(每题2分,共20分)
1.牧场上长满了牧草,而且每天还在匀速生长,这片牧场上的草可供9头牛吃20天,或可供15头牛吃10天。如果要供18头牛吃,可以吃_________天。
2.一片牧草每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20头牛吃12天,或可供60只羊吃24天。如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量,那么12头牛与88只羊一起吃可以吃_________天。
3.一个水池,池底有水流均匀涌出,若将满池水抽干,用10台水泵需2小时,用5台同样的水泵需7小时,现要在半小时内把满池水抽干,至少要这样的水泵_________台。
4.有一片草地,可以供8只羊吃20天,或供14只羊吃10天。假如草的每天生长速度不变,现有羊若干,吃了4天后又增加了6只,这样又吃了2天便将草吃完,原来有羊_________只。
5.12头牛4周吃完6公顷的牧草,20头牛6周吃完12公顷的牧草。假设每公顷原有草量相等,草的生长速度不变,那么_________头牛8周吃完16公顷的牧草。
6.一堆草,可供3头牛与5只羊吃15天,或供5头牛和6只羊吃10天。这堆草可供8头牛与11只羊吃______天。
7.一片牧草,如果让马和牛去吃草,45天将草吃完;如果让马和羊去吃,60天将草吃完;如果让牛和羊去吃,90天将草吃完。已知牛和羊一天吃草量等于马一天的吃草量,现在让马、牛、羊一起去吃草,_________天可以将这片草吃尽。
8.某火车站的检票口,在检票开始前已经有一些人排队,检票开始后,每分钟有15人前来排队检票,一个检票口每分钟能让30个人检票进站。如果只有一个检票口,检票开始6分钟后就没有人排队。如果有两个检票口,那么检票开始后_________分钟就没有人排队。
9.某游乐场在开门前已经有100个人排队等待,开门后每分钟来的游人数是相同的,一个入口处每分钟可以放入10名游客。如果开放2个入口处,20分钟后就没有人排队,现在开放4个入口处,那么开门后_________分钟就没有人排队。
二、解答题(20分)
1.有三辆不同车速的汽车同时从同一地点出发,沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用3分钟、5分钟、8分钟追上骑车人。已知快车每小时行54千米,中速车每小时行39.6千米,那么慢车每小时行多少千米?
2.一个蓄水池,每分钟流入4立方米水。如果打开5个水龙头,2.5小时就把水池中的水放光;如果打开8个水龙头,1.5小时就能把水池中的水放光(每个水龙头每小时放走的水量相同)。现在打开13个水龙头,则多长时间把水池中的水放光?
3.有一个蓄水池装有9根水管,其中1根为进水管,其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入一些水后,有人想把出水管也打开,使池内的水都全部排光。如果把8根出水管全部打开需要3小时可将池内水排光;而若仅打开3根出水管,则需要18小时。问:如果想要在8小时内将池中的水全部排光,最少要打开几根出水管?
4.有三块草地,面积分别为31公顷、10 公顷和4公倾。草地上的草一样厚,而且长得一样快。如果第一3
块草地饲养12头牛,可以维持4周;第二块草地饲养21头牛可以维持9周。则第三块草地应饲养多少头牛,恰好可以维持18周?
三、生活题(10分)
1.假设地球上每年新生成的资源量是一定的。据测算,地球上的资源可供110亿人生活90年而耗尽,或者可供90亿人生活210年而耗尽。世界总人口必须控制在多少以内,才能保证地球上的资源足以使人类不断繁衍下去?
2.国画展馆9时开门。但是早有人前来排队等候人场,从第一个观众来到起,每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口,9时9分就不再有人排队;如果开5个人场口,9时5分就没有人排队。问:第一个观众到达的时间是几时几分?
参考答案
A卷
一、
1.9 2.11 3.17 4.18 5.12 6.12 7.8 8.36 9.15.5 10.5
二.
1.(3×3.6-5×2)÷(3.6-2)=0.5,3×3.6-0.5×3.6=9,(0.5×1.2+9)÷1.2=8(个人)
2.(17×30-19×24)÷(30-24)=9,17×30-9×30=240,(240+9×2×4+4×2)÷8=40(只)
3.(2×15-4×5)÷(15-5)=1。4×5-1×5=15,(15+1×2)÷2=8.5≈9(个)
4.(45+5)÷5+(45+9)÷9-1=15(天),45÷15=3(天)
(20⨯5.[1**********]9-24⨯)÷(-)=14,24⨯-14⨯=1,1+14⨯= (千米), [**************]
1912÷=19(千米) 560
B卷
一、
1.(9×20-15×10)÷(20-10)=3,9×20-3×20=120,120÷(18-3)=8(天)
2.60只羊相当于15头牛,5天
3.(5×7-10×2)÷(7-2)=3,5×7-3×7=14,(14+3×0.5)÷0.5=31(台)
4.(8×20-14×10)÷(20-10)=2(只),8×20-2×20=120,[120+2×(4+2) -6×2]÷(4+2)=20(只)
5.(20×6÷12-12×4÷6)÷(6-4)=1,12×4÷6-1×4=4,(4×16+1×16×8)÷8=24(头)
6.没牛每天吃草量为x,羊每天吃草量为y。
11+)=6(天) 1510
217.设马每天吃“1”,草每天增长x,(1+牛)×45-45=(1+羊)×60-60x,牛=,羊=,36天。 33 (3x+5y)⨯15=(5x+6y)⨯10,x=3y,6天。 或1÷(
8.30×6-15×6=90,90÷ (60-1 5)=2(分)
9.10×2×20-100=300,300+20=15(人),100+(10×4-15)=4(分)
二、
1.54千米/小时=900米/分,39.6千米/小时=660米/分,(660×5—900×3)÷(5-3)=300,900×3-300×3=1800,(1800+300×8)÷8=525米/分=31.5千米/小时。
2.4×150-4×90=240.240÷(5×150-8×90)=8,8×8×90-4×90=5400,5400÷(8×13-4)=
小学奥数培训 牛吃草问题 姓名:
3.(3×18-8×3)÷(18-3)=2,8×3-2×3=18,(18+2×8)÷82=4.25≈5(根)。
4.(21×9.10-12×4÷3)÷(9-4)=0.9,21×9÷10-0.9×9=10.8,(10.8×4+0.9×4×18)÷18=6(头)。
三、
1.(210×90-110×90)÷(210-90)=75(亿)
2.(1×3×9-1×5×5)÷(9-5)=0.5,5×5-5×0.5=22.5,22.5÷0.5=45(分),9时-45分=8时15分。 13