直接证明与间接证明练习题
2、直接证明与间接证明
三种证明方法的定义与步骤：
1. 综合法 是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。
2. 分析法 是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。
3. 反证法 假设原命题的结论不成立, 经过正确的推理, 最后得出矛盾, 由此说明假设错误, 从而证明了原命题成立, 这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法.
反证法法证明一个命题的一般步骤： (1) 假设命题的结论不成立； (2) 根据假设进行推理, 直到推理中导出矛盾为止 (3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立 题型一：用综合法证明数学命题
例1 ：对于定义域为[0,1]的函数f (x ) ，如果同时满足以下三条：①对任意的；③若x 1≥0, x 2≥0, x 1+x 2≤，=11都有x ∈[0,1]，总有f (x ) ≥0；②f (1)
f (x x ) +1+x 2) ≥f (1f (x ) 为理想函数． f (2成立，则称函数x )
(1) 若函数f (x ) 为理想函数，求f (0)的值；
(2)判断函数g (x ) =2x -1（x ∈[0, 1]）是否为理想函数，并予以证明； 解析：（1）取x 1=x 2=0可得f (0) ≥f (0) +f (0) ⇒f (0) ≤0．
又由条件①f (0) ≥0，故f (0) =0．
（2）显然g (x ) =2x -1在[0，1]满足条件①g (x ) ≥0；
也满足条件②g (1) =1．若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则
g (x 1+x 2) -[g (x 1) +g (x 2)]=2
x 1+x 2
-1-[(2-1) +(2-1)]
x 1x 2
=2x 1+x 2-2x 1-2x 2+1=(2x 2-1)(2x 1-1) ≥0 ，即满足条件③，
故g (x ) 理想函数．
注：紧扣定义，证明函数g (x ) =2x -1（x ∈[0, 1]）满足三个条件
题型二：用分析法证明数学命题
14+≥9. a 1-a 14
≥9， 证明：∵ 0
a 1-a
去分母后需要证：（1－a ）+4a≥9a （1—a ）， 移项合并同类项，即需要证：9a 2—6a+1≥0，
例2：已知：0
即要证；(3a -1)≥0…………（1）
而（1）式显然成立， ∴ 原不等式成立。
题型三：用反证法证明数学命题或判断命题的真假 例3 ：已知f (x ) =a x +
x -2
(a >1) ，证明方程f (x ) =0没有负数根 x +1
2
解析：假设x 0是f (x ) =0的负数根，则x 0
a
x 0
x 0-2=-
x 0+1
∴0
x 0-2
x 0+12
故方程f (x ) =0没有负数根
注：（1）凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题从正面突破往往比较困难，适宜用反证法。即 “正难则反”；（2）反证法步骤：假设结论不成立→推出矛
盾→假设不成立。
选择题
1. 用反证法证明命题：若整系数方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 有有理根，那么a , b , c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）.
A 、假设a , b , c 都是偶数
B 、假设a , b , c 都不是偶数
D 、假设a , b , c 中至多有两个偶数
C 、假设a , b , c 中至多有一个偶数
答案；B
2．若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 答案： B
3. 已知a 1>a 2>0a 3>，则使得
1, 都成立的x 取值范围是(-1a i x 2
（ B ） A. （0，
1
） a 1
y
B （0，
2） a 1
C.
（0，
1
） a 3
D. （0，
2） a 3
提示；
2
(1-a i x 2)
a i
222
a 1>a 2>a 3>0⇒a 1a 2a 3得出结论。
填空题 4
．
若
f (x ) =
44x +2
x
，则
121000f () +f () + +f () [1**********]答案：500
5. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形
ABC 的顶点分别为A (0, a ), B (b , 0), C (c , 0) ，点P (0,p ) 在线段AO 上的一点（异于端点），这里a , b , c , p 均为非零实数，设直线BP , CP 分别与边AC , AB 交于点E , F ，
11⎫⎛11⎫某同学已正确求得直线OE 的方程为⎛，请你完成直线OF 的 -⎪x + -⎪⎪y =0
⎝b
c ⎭
⎝p
a ⎭
方程： ( ) x +
⎛11⎫
-⎪y =0。 ⎪⎝p a ⎭
11
答案：-
c b
6．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
………………
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为
n 2-n +2
答案：。
2
解答题
7. 若a >b >c >d >0且a +d =b +c ，求证：d +a
设a +d =b +c =t ，则ad -bc =(t -d ) d -(t -c ) c =(c -d )(c +d -t )
∴ad
8. 在锐角三角形ABC 中, 求证:sin A +sin B +sin C >cos A +cos B +cos C [解析] ∆ABC 为锐角三角形，∴A +B >
π
2
∴A >
π
2
-B ，
y =sin x 在(0, ) 上是增函数，∴sin A >sin(-B ) =cos B
22
ππ
同理可得sin B >cos C ，sin C >cos A
∴sin A +sin B +sin C >cos A +cos B +cos C
9. 设
, 为非零向量，且, 不平行，求证+，-析
]
假
设
不平行
[解
+=λ(-)
，则
(1-λ) +(1+λ) =，
⎧1-λ=0
, 不平行，∴⎨1+λ=0，因方程组无解，故假设不成立，即原命
⎩
题成立
10. 已知a 、b 、c 成等差数列且公差d ≠0，求证：列
[解析] a、b 、c 成等差数列，∴2b =a +c
111211
假设、、成等差数列，则=+⇒(a +c ) 2=4ac ⇒(a -c ) 2=0，∴a =c
a b c b a c
111
从而d =0与d ≠0矛盾，∴、、不可能成等差数列
a b c
111
、、不可能成等差数a b c
11. 已知f (x ) =ln x
证明： f (1+x ) ≤x (x >-1)
[解析] 即证：ln(x +1) -x ≤0
1-x
-1=. x +1x +1
当x ∈（-1，0）时，k ′(x )>0，∴k (x ) 为单调递增函数； 当x ∈（0，∞）时，k ′(x )
设k (x ) =ln(x +1) -x , 则k '(x ) =
即ln(x +1) -x ≤0∴f (1+x ) ≤x (x >-1) 12. 已知函数y =|x |+
1，y =y =
11-t (x +) (x >0) 的最小值恰2x
好是方程x 3+ax 2+bx +c =0的三个根，其中0
，
由f (1)=0，得c =-a -b -1
∴ f (x ) =x 3+ax 2+bx +c =x 3+ax 2+bx -(a +b +1)
=(x -1)[x 2+(a +1) x +(a +b +1)]，
故方程x 2+(a +1) x +(a +b +1) =
．
=-(a +
1) =a +b +1．
2=(a +1) 2，
即2+2(a +b +1) =(a +1) 2 ∴ a 2=2b +3．
改变后
直接证明与间接证明
1. 用反证法证明命题：若整系数方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 有有理根，那么a , b , c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）.
A 、假设a , b , c 都是偶数
B 、假设a , b , c 都不是偶数
D 、假设a , b , c 中至多有两个偶数
C 、假设a , b , c 中至多有一个偶数
2．若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
4x 121000
) +f () + +f () 3．若f (x ) =x ，则f ([1**********]14+2
4 . 若a >b >c >d >0且a +d =b +c ，求证：d +a
5. 在锐角三角形ABC 中, 求证:sin A +sin B +sin C >cos A +cos B +cos C 6. 设
, 为非零向量，且, 不平行，求证+，-不平行
111
7. 已知a 、b 、c 成等差数列且公差d ≠0，求证：、、不可能成等差数列
a b c
8. 对于定义域为[0,1]的函数f (x ) ，如果同时满足以下三条：①对任意的x ∈[0,1]，总有
f (x ≥)
2
；0②
f (1=) ；③若x 1≥0, x 2≥0, x 1+x 2≤1，都有
f (1x +
x ) ≥(f
1
+x ) 成立，则称函数f (x ) 为理想函数． (f x )
(1) 若函数f (x ) 为理想函数，求f (0)的值；
(2)判断函数g (x ) =2x -1（x ∈[0, 1]）是否为理想函数，并予以证明；