万有引力与航天教案

第六章：万有引力定律

6.1行星的运动

教学目标

1． 了解地心说和日心说两种不同观点 2． 知道开普勒对行星运动的描述 重难点

1． 开普勒行星运动定律

2． 用开普勒定律解决天体运动问题 教学过程 一、引入

宇宙中有无数大小不同，形态各异的天体，由这些天体组成的神秘的宇宙始终是人们渴望了解的领域，人们认识天体运动围绕“天体怎样运动？”和“天体为什么这样运动？”两个基本问题进行了长期的探索研究，提出了很多观点。通过本节的学习，我们应了解这些观点，知道行星如何运动。 二、授新：

1． 行星运动的两种学说 （1）地心说

① 代表人物：亚里士多德和托勒玫。

② 主要观点：地球是宇宙的中心，并且静止不动，所有行星绕地球作圆周运动。 ③ 缺点：由日常经验得出，缺乏科学依据。 （2）日心说

① 代表人物：哥白尼。 ② 主要观点：太阳是静止不动的，地球和其他行星绕太阳作圆周运动。 ③ 缺点：固守天体做圆周运动的传统思想，缺乏深入的物理思考。 2． 开普勒关于行星运动的三大定律

虽然哥白尼、伽利略等人否定了地心说，但仍然认为其他行星围绕太阳做圆周运动。这个观点是错误的，开普勒在第谷对780颗左右恒星观察并有准确记录的基础上，提出了椭圆轨道定律和周期定律。

（1）第一定律（椭圆轨道定律）：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，

太阳是在这些椭贺的一个焦点上（多数行星的椭圆轨道非常接近于圆） （2）第二定律（面积定律）：太阳和行星的连线在相等时间内扫过的面积相等。 （3）第三定律（周期定律）：

① 内容：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。

a3② 公式：2 k

T

③ 关于k：k值与中心天体的质量有关，而与行星无关。即所有绕同一中心天体的行

星有相同的k值；所绕中心天体不同，k值一般不同。

例1：月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27天，运用开普

勒第三定律计算，在赤道平面内离地面多高处的人造地球卫星可以随地球一起转动，就像停留在天上不动一样。

6.2（3）万有引力定律

教学目标

1． 了解万有引力定律得出的思路和过程

2． 理解万有引力定律的含义并会推导万有引力定律 3． 掌握万有引力定律，能解决简单的万有引力问题 重难点

1． 万有引力定律的应用 2． 万有引力定律 教学过程

一、人们对行星运动规律的原因的认识发展的过程

1． 17世纪前的人们：圆周运动是最完美的，因而神圣和永恒的天体必须应该做匀速圆

周运动，无需什么动因.

2． 伽利略：一切物体都有合并的趋势，这种趋势导致物体做圆周运动. 3． 开普勒：行星绕太阳运动，一定是受到了来自太阳的类似于磁力的作用.

4． 笛卡儿：行星绕太阳的运动是因为在行星的周围有旋转的物质（以太）作用在行星

上。使得行星绕太阳运动

5． 胡克、哈雷：行星绕太阳的运动是因为受到了太阳对它的引力，甚至证明了如果行

星的轨道是圆形的。它所受的引力的大小跟行星到太阳的距离的二次方成反比. 6． 牛顿：如果太阳和行星间的引力与距离的二次方成反比，则行星的轨迹是椭圆，并

且阐述了普遍意义下的万有引力定律。

二、万有引力定律的发现过程

1． 假想：

牛顿看到苹果落地发现了万有引力。这只是一种传说，但是他对天体和地球的引力确实作过深入的思考。牛顿经过长期观察和研究，产生如下的假想：太阳、行星以及离我们很远的恒星，不管彼此相距多远，都是互相吸引着，其引力随距离增大而减小，地球和其它行星绕太阳转，就是靠太阳的引力维持。同样地球吸引地面上的物体和表面附近的物体，而且也吸引很远的物体（例如月亮），其引力也随距离的增大而减小。牛顿进一步猜想，宇宙间任何物体间都存在吸引力，这些力具有相同的本质，遵循同样的力学规律。 2． 推导：

先把行星的椭圆运动理想化为圆周运动。行星做圆周运动的向心力来源于太阳对它的吸引力，即：

⎫υ2

4π2F=m⎪

r⎬⇒T=m2r

T

而υ=2πr/T⎪⎭

r3

再根据开普勒第三定律2=k代入上式

T

r3m

可得到：F=4π(2)2

Tr

2

其中m为行星的质量，r为行星轨道半径，即太阳与行星的距离.由上式可得出结论：太阳对行星的引力跟行星的质量成正比，跟行星到太阳的距离的二次方成反比.

即：F ∝

m r2

根据牛顿第三定律：太阳吸引行星的力与行星吸引太阳的力是同性质的相互作用力，既然太阳对行星的引力与行星的质量成正比，那么行星对太阳也有作用力，也应与太阳的质量M成正比，即：

M⋅mF ∝2

r

用文字表述为：太阳与行星之间的引力，与它们质量的乘积成正比，与它们的距离的二

Mm

次方成反比.用公式表述：F=G2

r

三、万有引力定律：

牛顿的研究表明,太阳对行星的引力,行星对卫星的引力, 以及地球对地面上的物体的引力,都遵循某一同样的规律,是同一种性质的力,于是牛顿把这种引力规律做了合理的推广,在1687年正式发表了万有引力定律：

1． 定律内容：自然界任何两个物体间都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质

量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比。

2． 表达式：F=G

m1m2－1122

，式中G=6.67×10N·m/kg（卡文迪许用扭秤装置测出） 2

r

3． 适用条件：只适用于质点间的万有引力计算。

（1） 只有当两个物体可以视为质点时，方可使用万有引力定律来计算万有引力。 （2） 质量分布均匀的球体可以视为位于球心的质点。 （3） 当研究物体不能看成质点时，可把物体假想分割成无数个质点，求出一个物体

上每个质点与另一物体上每一个质点的万有引力然后求合力。

例1：如图.在一个半径为R、质量为M的均质球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2

的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质量为m的质点的作用力为多大？

例2：对于万有引力定律的表达式F=G

m1m2

，下面说法中正确的是（ ） r2

A. 公式中的G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的 B. 当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大

C. m1与m2受到的引力总是大小相等的，而与m1、m2是否相等无关 D. m1与m2受到的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力

四、万有引力与重力：

1． 地球表面上的物体：

（1）万有引力的一个分力用来提供物体随

地球做圆周运动的向心力，另一个分力是地面支持力的平衡力—重力。 （2）在两极，F向=0，mg=G

Mm

，物体2R

所受重力最大，大小等于万有引力，方向指向地球球心。 （3）在赤道上，mg=G

Mm2

-mωR，重力大小最小，方向指向地球球心。 2R

（4）在其他地方，重力大小介于最大值和最小值之间，方向并不指向地心。

（5）总结：由于向心力远小于万有引力（赤道上的物体的向心力只有万有引力的1/290），

mg=G故通常忽略地球的自转，认为在地球表面的物体，万有引力等于重力，即：

Mm

R2

2． 地球卫星：

（1）对于围绕地球飞行的卫星，传统意义上的重力完全消失，我们习惯上把卫星所受

到的万有引力称为重力，即：mg'=G加速度）。 （2）由mg'=G

Mm

（g'为卫星所在位置处的重力2

(R+h)

MmM

'可得：，离地越高，g'减小。 g=G22

(R+h)(R+h)

（3）这一结论对其他星球同样适用。

例3：地球半径R=6400km，地面上的重力加速度g=9.8m/s2，地核的体积约为整个地球体积

的16％，地核的质量约为地球质量的34％，试估算地核的平均密度。

例4：地球表面重力加速度g0=9.80m/s2，忽略地球自转的影响，在距地面高度h=1.0×103m

的空中重力加速度g与g0的差值多大？

6.4万有引力理论的成就

教学目标

1． 了解应用万有引力定律解决问题的基本思路 2． 掌握两种算天体质量的方法 3． 会根据条件计算天体的密度 4． 会比较两个行星的物理量的大小 5． 了解发现未知天体的基本思路 重难点

1． 万有引力定律解决天体运动问题的思路和方法 2． 天体运动向心力来源的理解和分析 教学过程 一、基本思路

1． 将行星（或卫星）的运动看成是匀速圆周运动，万有引力充当向心力F引=F向

Mmv2⎛2π⎫G2=m=mω2r=m ⎪r

rr⎝T⎭

2． 在球体表面附近F引=G重

2

G

Mm

=mg 2R

二、明确各个物理量

三、应用

1． 天体质量的计算

方法一：已知天体的球体半径R和球体表面重力加速度g，求天体的质量

MmgR2G2=mg⇒M=

GR

方法二：已知行星（或卫星）的周期公转周期T、轨道半径r，可求出中心天体的质量

M（但不能求出行星或卫星的质量m）

Mmv2v2rω2r34π2r3⎛2π⎫2

G2=m=mωr=m ⎪r⇒M=== 2

rGGrGT⎝T⎭

例1：太阳光经500s到达地球，地球的半径是6.4× 106m，地球表面重力加速度为g=10m/s2,

地球公转周期T=365天，试估算太阳与地球的质量之比。

2

2． 天体密度的计算

gR2⎫M=⎪

G⎪43⎪3gV=πR⇒ρ=⎬（1）

34πRGM⎪

⎪ρ=

⎪V⎭

4π2r3⎫

M=⎪

GT2⎪43⎪3πr33π

r≈Rρ=（2）V=πR⎬⇒ρ=，当时， 232

3GTRGT⎪M

⎪ρ=

⎪V⎭

例2：宇航员在某星球的表面上，将一小球从离地面h高处以初速度v0水平抛出，测出小球

落地点与抛出点间的水平位移为s，若该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的密度。

例3：只要知道下列哪个物理量，就可以计算出地球的密度（ ）

A. 近地卫星的线速度 B. 近地卫星的角速度 C. 近地卫星的周期

D. 近地卫星的向心加速度

例4：太空中有一颗绕恒星做匀速圆周运动的行星，此行星上一昼夜的时间是6 h.在行星的

赤道处用弹簧测力计测量物体的重力的读数比在两极时测量的读数小10%，已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2，求此行星的平均密度.

练习：地球自转速度提高时会导致地球上的物体“飘”起来，试求：要使地球稳定不瓦解，

则地球自转周期不得小于多少？（设地球表面重力加速度为g=9.8m/s2，R地=6400km）

3． 发现未知天体

当一个已知行星的实际轨道和理论计算的轨道之间有较大的误差时，说明还有未知的天体给这个行星施加引力。

例5：宇宙中相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周

运动，而不致因万有引力的作用吸引到一起，

（1）试证它们轨道半径之比、线速度之比都等于质量之反比

（2）设两者质量分别为m1、m2，两者相距为L，试写出它们角速度的表达式。

练习：宇宙间存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星体组成的四星系统，通常可

忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到的四星系统存在着一种基本的构成形式：三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，第四颗星体位于圆形轨道的圆心处，已知圆形轨道的半径为R，每颗星体的质量均为m，求： （1）中心星体受到其余三颗星体的引力大小； （2）三颗星体沿圆形轨道运动的线速度和周期

6.5宇宙航行

教学目标

1． 知道人造地球卫星的运行速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系 2． 会推导第一宇宙速度，了解第二、第三宇宙速度

3． 会利用万用引力和圆周运动知识分析同步卫星和卫星的变轨问题 重难点

1． 卫星稳定运行时各物理量与轨道半径R的关系 2． 发射速度与运行速度的区别 3． 卫星的变轨问题 教学过程

一、人造卫星的运行速度、角速度、周期、向心加速度与半径的关系：

设卫星的质量为m，地球的质量为M，地球的球体半径为R，卫星的轨道半径为r，卫星所在位置处的重力加速度为g′，地球表面重力加速度为g。

⎧v2GMm⇒v=⎪

⎪r

⎪mω2r⇒ω=GM

3Mm⎪r1． 推导：G2=⎨ 23

r2π⎫r⎪m⎛r⇒T=2π ⎪⎪⎝T⎭GM

⎪GMma⇒a=⎪

r2⎩

2． 讨论：GM是定值。

（1） r越小，v越大，vmax=（2） r越大，ω越小。 （3） r越小，T越小，Tmin

GM

=7.9km/s R

R3

=2π=84.5min

GMG

Mm⎫

'=mg⎪r2（4） r越大，a越小，且由⎬⇒g'=a GM

⎪a=2

r⎭

3． 人造地球卫星绕地球做圆周运动的轨道圆圆心是地球的球心，轨道半径r大于或等

于地球的半径R，轨道平面可以和赤道平面共面，可以和赤道平面垂直，还可以和赤道平面成任意角度。

例1：A是地球的同步卫星，B是地球的近地卫星，C是地球赤道上的物体，则A、B、C

三物体的角速度、线速度、向心加速度之间的大小关系怎样？

例2：探测器探测到土星外层上有一个环．为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，

可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离r之间的关系来确定 ( ) A．若v∝r，则该环是土星的一部分 B．若v2∝r，则该环是土星的卫星群 C．若v∝1/r，则该环是土星的一部分 D．若v2∝1/r，则该环是土星的卫星群

二、特殊卫星：

1． 同步卫星：

（1） 概念：是相对地面静止不动和地球自转具有相同周期的卫星。 （2） 特点：

① 周期、角速度和地球自转周期、角速度相同 ② 所有地球同步卫星的轨道均在赤道平面内，且离地面的高度和环绕速度相

同。

（3） 同步卫星参数：

4π234

① h＝(km )-R=3.6⨯102

GMT

② v=3.08km/s ③ a=0.23m/s

例3：下列关于地球同步卫星的说法中正确的是：( )

A、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上 B、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h

C、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上 D、不同通讯卫星运行的线速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的。

2． 近地卫星：

（1） 概念：在地球表面附近圆轨道上运行的卫星叫近地卫星。 （2） 特点：可以认为轨道半径r等于地球半径R。

（3） 近地卫星线速度：v=三、宇宙速度

1． 第一宇宙速度：人造地球卫星在地面附近运行（近地卫星）的线速度。v1=7.9km/s （1） 第一宇宙速度是卫星绕地球的最大运行速度。 （2） 第一宇宙速度是卫星的最小发射速度。因为向更高的轨道上发射卫星更困难，

需要更大的发射速度。 （3） 它进入更高的轨道后的稳定运行速度比第一宇宙速度小。 2． 第二宇宙速度：当卫星的发射速度大于或等于11.2km/s时，卫星会脱离地球的引力，

2

1

GM

=7.9km/s或v=gR=7.9km/s R

成为一颗绕太阳飞行的行星，这个速度叫第二宇宙速度，也叫脱离速度

3． 第三宇宙速度：当卫星的发射速度大于或等于16.7km/s，则能脱离太阳的束缚，进

入太阳系以外的宇宙空间中去，这个速度叫做第三宇宙速度，也叫逃逸速度。

四、卫星的变轨问题

Mmv2

1． 若G2=m，则卫星做圆周运动，轨道半径不变。

rr

Mmv2

2． 若G2

rrMmv2

3． 若G2>m，则卫星做向心运动，轨道半径变小，在新轨道上运行速度变大。

rr

例4：发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆形道1运行，然后点火，使其沿椭圆轨

道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆形轨道3运行。设轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，

⑴比较卫星经过轨道1、2上的Q点的加速度的大小；以及卫星

经过轨道2、3上的P点的加速度的大小

⑵设卫星在轨道1、3上的速度大小为v1、v3 ，在椭圆轨道上Q、

/

P点的速度大小分别是v2、v2，比较四个速度的大小。

例5：如图所示，A是地球的同步卫星．另一卫星 B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高

度为

h．已知地球半径为 R，地球自转角速度为 ωo，地球表面的重力加速度为 g，O为地球中心．

⑴求卫星 B的运行周期；

⑵如卫星 B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？