中点四边形
中 点 四 边 形
一、概念：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形为中点四边形。
B
DEAHHCGDAD
图（1）
如图（1）都是三个不规则的凸四边形的各边中点连线所构成的中点四边形。 由三个图可以发现，所构成的中点四边形都与平行四边形极为相似，由此做出假设：凸四边形内部构成的中点四边形都是平行四边形。
下面我们可以用图（1）中的其中一个图进行论证
证明：连接四边形对角线AC、BD（如图） A∵在△ACB中，F、E分别为边BC、BA的中点 即FE为中位线 1H∴FE=AC、FE//AC 21同理，在△ACD中可得：GH=AC、GH//AC 2D11∵FE=AC、GH=AC 22
∴FE=GH（等量代换）
又∵FE//AC、GH//AC
∴FE//GH（平行于同一条直线的两条直线相互平行）
∴在四边形EFGH中，FE=GH、FE//GH
∴四边形EFGH为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形） 通过上述证明可得：任意凸四边形各边中点连线所得的中点四边形都是平行四边形。
二、分类讨论
结论得出任意凸四边形各边中点连线所得的中点四边形都是平行四边形，而平行四边行有几种特殊情况，如：1、菱形2、矩形3、正方形。如果想得到的中点四边形为菱形、矩形或正方形这三种图形时，那原先的四边形又应具有哪些特性呢？
1、菱形
菱形：一组邻边相等相等的平行四边形是菱形。
刚才我们已经证明到任意凸四边形各边中点连线所得的中点四边形都是平行四边形，也就意味着想得到菱形，就是在已知的平行四边形EFGH中不仅要FE=GH，同时
11要FE=GF，而由中位线定理得FE=CA、GF=BD，则： A22
令FE=GF H11B∵FE=CA、FE=BD D22FG
C
∴CA=BD
也就是说当原四边形的两条对角线相等时，新的中点四边形会变成菱形。 图（2） 结论：对角线相等的四边形各边中点连线而成的中点四边形为菱形。如图（2）
2、矩形
矩形：有一个是直角的平行四边形是矩形。（即：邻边垂直）
刚才我们已经证明到任意凸四边形各边中点连线所得的中点四边形都是平行四边形，也就意味着想得到矩形，就是在已知的平行四边形EFGH中 要FE⊥FG，而由中位线定理得FE//AC、FG//BD，则： 令FE⊥FG ∵FE//AC、FG//BD
∴AC⊥BD
也就是说当原四边形的两条对角线垂直时，新的中点四边形会变成矩形。 图（3） 结论：对角线相互垂直的四边形各边中点连线而成的中点四边形为矩形。如图（3）
3、正方形 正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 由概念可知：正方形是结合了菱形和矩形对于普通平行四边形新增的特点，结合（1）、（2）中的证明及论述得出当原四边形的两条对角线既相互垂直又相等时，新的中点四边形会变成正方形。
结论：对角线既相互垂直又相等的四边形各边中点连线而成的中点四边形为
正方形。如图（4） 图（4）
总结：任意凸四边形各边中点连线所得的中点四边形均为平行四边形，而其中
1、对角线相等的四边形各边中点连线而成的中点四边形为菱形
2、对角线相互垂直的四边形各边中点连线而成的中点四边形为矩形
3、对角线既相互垂直又相等的四边形各边中点连线而成的中点四边形为正方形。 DD