高三理科数学第一次练兵考试卷

里湖中学2016-2017学年度第一学期

学校 班级 考号 姓名_________________试场号______________ 装订线内不要答题 ·订········线······装········ ··············································· ·

高三理科数学第一次练兵考试卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）

（1）设全集U ={x ∈N |x ≥2}，集合A ={x ∈N |x 2≥5}，则C U A =（ ） A ．∅ B ．{2} C ．{5} D ．{2,5}

（2）已知a , b ∈R ，i 是虚数单位，若a -i 与2+b i 互为共轭复数，则(a +b i )=（ ）

（A ）3+4i （B ）5+4i （C ）3-4i （D ）5-4i （3）设命题p :∃n ∈N , n >2，则⌝p 为（ ）

2

n

2

之间的距离等于

π

，则2

⎛π⎫

f ⎪的值为（ ） ⎝4⎭

（A ）-

3434 （B ）- （C ） （D ） 5555

⎧2x -y -2≤0,

x ⎪

（9）若实数x , y 满足约束条件⎨2x +y -4≥0, 则的取值范围是（ ）

y ⎪y ≤2,

⎩

（A ）⎢, 2⎥ （B ）⎢, ⎥ （C ）⎢, 2⎥ （D ）[1,2]

3222（10） 函数y =x cos x +sin x 的图象大致为( )

⎡2⎣⎤⎦⎡13⎤⎣⎦⎡3

⎣⎤⎦

A. ∀n ∈N , n >2 B. ∃n ∈N , n ≤2 C, ∀n ∈N , n ≤2 D, ∃n ∈N , n =2

（4）已知f (x )在R 上是奇函数, 且满足f (x +4)=f (x ), 当x ∈(0,2)时,

2

n

2

n

2n 2n

f (x )=2x 2，则f (7)=（ ）

（A ） 2 （B ）-2 （C ）-98 （D ）98 （5）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）

（A ）(-2，2)

（B ）(-4，0)

（11）将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有（ ）

（A ） 150种 （B ） 180种 （C ） 240种 （D ）540种 （12）设函数f '(x ) 是奇函数f (x )(x ∈R ) 的导函数，f (-1) =0，当x>0时，xf '(x ) -f (x ) 0成立的取值范围是( )

（C ）(-4，-4)-8)（D ）(0，

（6）各项均为正数的等差数列{a n }中，a 4a 9=36，则前12项和S 12的最小值为（ ）

（A ）78 （B ）48 （C ）60 （D ）72

（7）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的

直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何 体的体积为（ ） （A

A . (-∞, -1)⋃(0,1) B . (-1,0)⋃(1, +∞) C . (-∞, -1)⋃(-1,0) D . (0,1)⋃(1, +∞)

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）

（13）已知向量a ，b 满足|b |=4，a 在b 方向上的投影是（14）已知cos (θ+π)=-

1

b = ． ，则a

2

（B

（C

（D

俯视图

1π⎫⎛

，则sin 2θ+⎪=．

32⎭⎝

（8）已知sin ϕ=

3⎛π⎫

，且ϕ∈ ，π⎪，函数f (x ) =sin(ωx +ϕ)(ω>0) 的图像的相邻两条对称轴5⎝2⎭

a ⎫（15

）2⎪展开式中的常数项为180，则a = ．

x ⎭（16）已知y =f (x )为R 上的连续可导函数，且xf '(x )+f (x )>0，则函数

10

（21. ）（本小题满分14分）设函数f (x ) =e

mx

+x 2-mx 。

（1）证明：f (x ) 在(-∞,0) 单调递减，在(0,+∞) 单调递增；

（2）若对于任意x 1, x 2∈[-1,1]，都有|f (x 1) -f (x 2) |≤e -1，求m 的取值范围。

选做题 （从以下三道题任选一道）

（22. ）（本小题满分10分）选修4-1 几何证明选讲

如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB=CE． （Ⅰ）证明：∠D=∠E ；

（Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB=MC，证明：△ADE 为等边三角形．

g (x )=xf (x )+1(x >0)的零点个数为__________．

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）

（17）（本小题满分12分）等差数列{a n }的前n 项和为S n . 已知a 1＝10，a 2为整数， 且 S n ≤S 4.

(1) 求{a n }的通项公式；

(2) 设b n =

1

，求数列{b n }的前n 项和T n . a n a n +1

（18. ）（本题12分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下： 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级． (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；

(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期

望E (X )

（19．）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C ． （Ⅰ）证明：AC=AB1；

（Ⅱ）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60°，AB=BC，求二面角A ﹣A 1B 1﹣C 1的余弦值．

（23）.(本小题满分10分) 选修4-4 坐标系与参数方程

⎧x =t cos αC :在直角坐标系xOy 中，曲线1⎨（t 为参数，t ≠0），其中0≤α

y =t sin α⎩

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2:ρ=

2sin θ，曲线C 3:ρ=θ （1）求C 2与C 1的交点的直角坐标系中的坐标

（2）若C 2与C 1相交于点A ，C 1与C 3交于点B ，求|AB |的最大值.

（24. ） （本小题满分10分）选修4-5 不等式

（20）(本小题满分12分) 设f (x ) ＝a (x －5) 2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x ) 在点(1，f (1))处的

已知函数f (x ) =|2x -1|+|2x +a |, g (x ) =x +3. (Ⅰ) 当a =2时, 求不等式f (x )

切线与y 轴相交于点(0,6)．

(1)确定a 的值；

(Ⅱ) 设a >-1,且当x ∈[-

(2)求函数f (x ) 的单调区间与极值．

a 1

, ) 时, f (x ) ≤g (x ) , 求a 的取值范围. 22

·

············ ·里湖中学2016-2017第一学期

_·__·_·_·_·高三级理科数学答卷

_·__·_·_·_·_·_号··场··试·_·_·_·_·_·__· 一．选择题（60分）

_·_·_·_·__·_·_·_·_·名 姓题··答· 要·· 不·· 内· 线·· 订·· 二．填空题（20分）

装· · 线 13．______________ 14．______________ · · ·

· · 15．______________ 16．______________ ·号·考·· 三、解答题：（70分）

· · · ·

· ·

· · 订 · · ·级·班·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · 装 · 校··学··

19. （12分）

20. （12分）

选做题，选第（ ）题（10分）

（参考答案）

一、选择题

二、填空题 13、(2-

2, 2+2) 14、[

1

416

, 1) 15、3 16、5 三、解答题

17解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数，

又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0.

解得-

103≤d ≤-5

2

. 因此d ＝－3. 数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n =

1(13-3n )(10-3n )＝1⎛3 1⎝10-3n -1⎫

13-3n ⎪⎭

.

于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n

＝

1⎡⎛11⎫⎛11⎫3⎢ ⎝7-10⎪⎭+ ⎝4-7⎪⎭+…+⎛ 1

⎝10-3n -1⎫13-3n ⎪⎤⎭⎥ ⎣⎦

＝1⎛1n 3 ⎝10-3n -1⎫

10⎪⎭＝10(10-3n )

.

18. 解：设A i 表示摸到i 个红球，B j 表示摸到j 个蓝球， 则A i (i ＝0,1,2,3) 与B j (j ＝0,1) 独立． 2(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A C 11) ＝3C 4

18

C 3

=. 735

(2)X 的所有可能值为0,10,50,200，且 P (X ＝200) ＝P (A C 33B 1) ＝P (A 3) P (B 1) ＝

311

C 3⋅7

3=

105

， P (X ＝50) ＝P (A B C 330) ＝P (A 3) P (B 0) ＝322C 3⋅=105

， 732P (X ＝10) ＝P (A C C 12B 1) ＝

P (A 2) P (B 1) ＝34

C 3

⋅1=12=4

， 7310535

P (X ＝0) ＝1-1246105-105-35=7

.

综上知X 的分布列为

从而有E (X ) ＝0×67＋

35＋50×105＋105

＝4(元)

19. 解：（1）连结BC 1，交B 1C 于点O ，连结AO ，

∵侧面BB 1C 1C 为菱形，∴BC 1⊥B 1C ，且O 为BC 1和B 1C 的中点， 又∵AB ⊥B 1C ，∴B 1C ⊥平面ABO ，∵AO ⊂平面ABO ，∴B 1C ⊥AO ， 又B 10=CO，∴AC=AB1，

（2）∵AC ⊥AB 1，且O 为B 1C 的中点，∴AO=CO， 又∵AB=BC，∴△BOA ≌△BOC ，∴OA ⊥OB ， ∴OA ，OB ，OB 1两两垂直， 以O 为坐标原点，

的方向为x 轴的正方向，|

|为单位长度，

的方向为y 轴的正方向，的方向为z 轴的正方向建立空间直角坐标系，

∵∠CBB 1=60°，∴△CBB 1为正三角形，又AB=BC， ∴A （0，0，），B （1，0，0，），B 1（0，，0），C （0，

，0） ∴

=（0，

，

），

=

=（1，0，

），

==（﹣1，

，0），设向量=（x ，y ，z ）是平面AA 1B 1的法向量，

则，可取=（1，，），

同理可得平面A 1B 1C 1的一个法向量=（1，﹣，

），

∴cos ＜，＞=

=，

∴二面角A ﹣A 1B 1﹣C 1的余弦值为

20. 解：解：(1) 因f (x ) ＝a (x －5) 2＋6ln x ，故f ′(x ) ＝2a (x －5) ＋

6. x

当m ∈[-1,1]时，g (m ) ≤0, g (-m ) ≤0，即①式成立； 当m >1时，由g (t ) 的单调性，g (m ) >0，即e -m >e -1； 当m 0，即e 综上，m 的取值范围是[-1,1]

22. 证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠D=∠CBE ，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE ，∴∠D=∠E ；

（Ⅱ）设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB=MC知MN ⊥BC ， ∴O 在直线MN 上，∵AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ， ∴OM ⊥AD ，∴AD ∥BC ，∴∠A=∠CBE ，

∵∠CBE=∠E ，∴∠A=∠E ，由（Ⅰ）知，∠D=∠E ， ∴△ADE 为等边三角形．

22

23解：（Ⅰ）曲线C 2的直角坐标方程为x +y -2y =0，曲线C 3的直角坐标方程

为

-m

m

令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，

所以曲线y ＝f (x ) 在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1) ，由点(0,6)在切线上可得6－16a

1

. 21

(2)由(1)知，f (x ) ＝(x －5) 2＋6ln x (x ＞0) ，

2

6(x -2)(x -3)

f ′(x ) ＝x －5＋＝.

x x

＝8a －6，故a =

令f ′(x ) ＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.

当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x ) ＞0，故f (x ) 在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数； 当2＜x ＜3时，f ′(x ) ＜0，故f (x ) 在(2,3)上为减函数． 由此可知f (x ) 在x ＝2处取得极大值f (2)＝21. 解：（Ⅰ）f '(x ) =m (e

mx

+m >e -1

9

＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln3 2

-1) +2x

mx

若m ≥0，则当x ∈(-∞,0) 时，e 当x ∈(0,+∞) 时，e

mx

-1≤0, f '(x )

-1≥0，f '(x ) >0

mx

x 2+y 2-=0.

⎧x =⎪⎧⎧x =0, ⎪x +y -2y =0, ⎪

联立⎨ 解得⎨

或⎨22

y =0, ⎪⎩⎪y =⎩x +y -=0

⎪⎩

2

2

若m

mx

-1>0, f '(x )

-10

3. 2

所以，f (x ) 在(-∞,0) 单调递减，在(0,+∞) 单调递增

所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)

和（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m , f (x ) 在[-1，0]单调递减，在[0,1]单调递增，故f (x ) 在x =0处取得最小值，所以对于任意x 1, x 2∈[-1,1],|f (x 1) -f (x 2) |≤e -1的充要条件是

m ⎧⎧f (1)-f (0)≤e -1, ⎪e -m ≤e -1, 即⎨-m ① ⎨

f (-1) -f (0)≤e -1, ⎪⎩⎩e +m ≤e -1,

3

) 22

（Ⅱ）曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R , ρ≠0) ，其中0≤α

因此A 的极坐标为(2sinα, α) ，B

的极坐标为α, α)

所以|AB |=|2sin α-α|=4|sin(α-当α=

π

3

) |

设函数g (t ) =e -t -e +1，则g '(t ) =e -1 当t 0时，g '(t ) >0， 故g (t ) 在(-∞,0) 单调递减，在(0,+∞) 单调递增。

又g (1)=0, g (-1) =e +2-e

-1

t t

5π

时，|AB |取得最大值，最大值为4 6

解：当a =-2时, 不等式f (x )

⎧

⎪-5x , x

2设函数y =|2x -1|+|2x -2|-x -3, y =⎪

⎨-x -2, 1≤x ≤1,

⎪

2⎪⎪3x -6, x >1⎩

其图像如图所示

从图像可知, 当且仅当x ∈(0,2)时, y

(Ⅱ) 当x ∈[-

a 2, 1

2

) 时, f (x ) =1+a , 不等式f (x ) ≤g (x ) 化为1+a ≤x +3, ∴x ≥a -2对x ∈[-

a 2, 12) 都成立, 故-a

2

≥a -2, 即a ≤43,

∴a 的取值范围为(-1,4

3

].

24