人教版 九下例题整理

第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程

P2 问题1 如图有一块矩形铁皮，长 100 cm ，宽 50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

P2 问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？ P3 思考：

观察方程，x 2+2x -4=0，x 2-75x +350=0，x 2-x -56=0它们有什么共同点？

P3 例 将方程3x (x -1) =5(x +2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项．

21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法

P5 问题1 一桶油漆可刷的面积为1500 dm²，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的

棱长吗？ P6 探究

2

对照上面解方程（Ⅰ）的过程，你认为应怎样解方程(x +3) =5？

P6 探究

2

怎样解方程x +6x +4=0？

P7 例1 解下列方程

2

(1) x -8x +1=0

(2) 2x 2+1=3x (3) 3x 2-6x +4=0

21.2.2 公式法

P9 探究 任意一个一元二次方程都可以转化为一般形式

ax ² + bx + c = 0 （a ≠0）

你能用配方法得出它的解吗？ P11 例2 用公式法解下列方程：

(1) x 2-4x -7=0(3) 5x 2-3x =x +1

(2) 2x 2-22x +1=0(4) x 2+17=8x

21.2.3 因式分解法

P12 问题2根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的高度（单位：m ）为

10x - 4.9x ²．

你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗（精确到 0.01 s ）？ P13 思考

除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程

10x - 4.9x ²=0．

P13 思考

解方程10x - 4.9x ²=0时，二次方程是如何将为一次的？ P14 例3 解下列方程

(1) x (x -2) +x -2=0

132

(2) 5x -2x -=x -2x +

44

2

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

P15 思考

从因式分解法可知，方程(x -x 1)(x -x 2) =0(x 1，x 2为已知数) 的两根为

x 1和x 2，将方程化为x 2+px +q =0的形式，你能看出x 1，x 2与p ，q 之间的

关系吗？ P15 思考

一般的一元二次方程ax 2+bx +c =0中，二次项系数a 未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？

P16 例4 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根

x 1，x 2的和与积：

(1) x 2-6x -15=0(3) 5x -1=4x 2

(2) 3x 2+7x -9=0

21.3 实际问题与一元二次方程

P19探究1 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121个人患了

流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

P19 思考：如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少个人患流

感？

P19探究2 两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000元，生产 1 t 乙

种药品的成本是 6 000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？

P20 思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，

它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况?

P20 探究3：要设计一本书的封面，封面长 27 cm ，宽 21 cm ，正

中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形。如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下、左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？（结果保留小数点后一位）？

27

P21 思考：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上

面的问题？请你试一试。

第二十四章 圆 24.1.1圆

P80 例1 矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相较于点O 。求证：A 、B

、

C 、D 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上

24.1.2垂直于弦的直径

P81 探究

剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？ P82 例2、如图，，赵州桥我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400 年历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m ，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）．

24.1.3 弧、弦、圆心角

P83 探究

剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？ P84 思考、如图， O 中，当圆心角∠AOB =∠AOB

＇时，它们所对

⌒和⌒的AB A 'B '

、弦AB 和A 'B '相等吗? 为什么？

B A

⌒=⌒ ，∠ACB =60°． P84 例3 如图，在⊙O 中，AB AC 求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC ．

24.1.4 圆周角

P85 探究

⌒所对的圆周角∠ACB 和圆心角∠AOB 的度数， 分别测量图中AB 它们之间有什么关系？

在⊙O 中任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？由此你能发现什么规律？

P87 例4如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm， ACB 的平分线交⊙O 于点 D ，求 BC ，AD ，BD 的长．

P87思考：圆内接四边形的四个角之间有什么关系？

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系

P92问题：我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉．如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同、半径不等的圆）构成的。你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？

P93 探究

已知圆心和半径，可以作一个圆，经过一个已知点A 能不能作圆，这样的圆你能做出多少个？经过两个已知点A ，B 能不能作圆？如果

能，圆心分布有什么特点？ P93 思考

经过不在同一条直线上的三个点A ，B ，C 能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ P94 思考

经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？

24.2.2 直线和圆的位置关系

P95 思考

（1）如图1，如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线。太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？由此你能得出直线和圆的位置关系吗？

（2）如图2，在纸上画一条直线l ，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现在移动钥匙环的过程中，它与直线l 的公共点个数的变化情况吗？ P96 思考

如图，设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线 l 的距离为d 。在直线和圆的不同位置关系中，d 与r 具有怎样的大小关系？反过来，你能根据d 与r 的大小关系确定直线和圆的位置关系吗？

P97 思考

如图，在⊙O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线l ⊥OA ，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和⊙O 有什么位置关系？

P97思考

将上面思考中的问题反过来，如图，在⊙O 中，如果直线 l 是⊙O 的切线，切点为 A ，那么半径 OA 与直线 l 是不是一定垂直呢？

l

l

P98 例1 如图△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D . 求证： AC 是⊙O 的切线．

P99 探究

如图，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B 。在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO 将图形对折，图中的PA 与PB ，∠APO 与∠BPO 有什么关系？

P99 思考

如图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？

P100 例2 △ABC 的内切圆 ⊙O 与 BC ，CA ，AB 分别相切于点

D ，E ，F ，且 AB=9，BC=14，CA=13．求 AF ，BD ，CE 的长．

24.3 正多边形和圆

P106 例 如图有一个亭子，它的地基是半径为 4 m 的正六边形，求

地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．

24.4 弧长和扇形面积

P111 思考

我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分．想一想，

如何计算圆周长？圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧

长？由此出发， 1°的圆心角所对的弧长是多少？n °的圆心角呢？

P111 例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，

再下料，试计算图中所示的管道的展直长度 L （结果取整数）．

70

m

m A B

R =900 mm 700 m

m

C O D

P112 思考

由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分。想一想，如

何计算圆的面积？圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的

面积？由此出发， 1°的圆心角所对的扇形的面积是多少？n °的圆

心角呢？

P112 例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m ，

其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两

位）．

P113 思考

圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计

算圆锥的全面积？

P114 例3，蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想, 用毛

毡搭建 20 个底面积为 12 m2，高为 3.2 m ，外围高1.8 m 的蒙古

包，至少需要多少平方米的毛毡（π取3.142，结果取整数）？

第二十五章 概率初步

25.1 随机事件与概率

25.1.1 随机事件

P127 问题1

五名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序，盒中有

五个形状、大小相同的纸团，每个纸团里面分别写着表示出场顺序的

数字 1，2，3，4，5．把纸团充分搅拌后，小军先抽，他任意（随机）

从盒中抽取一个纸团．请思考下列问题：

（1）抽到的数字有几种可能的结果？

（2）抽到的数字小于 6 吗？

（3）抽到的数字会是 0 吗？

（4）抽到的数字会是 1 吗？

P127 问题2

小伟掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的

点数．请思考以下问题：掷一次骰子，在骰子向上的一面上，

（1）可能出现哪些点数？

（2）出现的点数大于 0 吗？

（3）出现的点数会是 7 吗？

（4）出现的点数会是 4 吗？

P128 问题3

袋子中装有 4 个黑球、2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完

全相同．即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋子

中摸出 1 个球．

（1）这个球是白球还是黑球？

（2）如果两种球都有可能被摸出，那么摸出黑球和摸出白球的

可能性一样大吗？

P129 思考

能否通过改变袋子中某种颜色的球的数量，使“摸出黑球”和“摸出

白球”的可能性大小相同？

25.1.2 概率

P131 例1掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，求下列事

件的概率（1）点数为2 （2）点数为奇数 （3）点数大于2且小

于5

P132 例2 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成 7个大小相

同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动的

转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向

两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．求下列事件的概率：

（1）指针指向红色；

（2）指针指向红色或黄色；

（3）指针不指向红色．

P133 例3 如图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个有 9×9 个

方格的正方形雷区中，随机埋藏着 10颗地雷，每个方格内最多只能

埋藏 1 颗地雷．小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出

现了如图所示的情况．我们把与标号 3 的方格相邻的方格记为 A 区

域（画线部分），A 区域外的部分记为 B 区域．数字 3 表示在 A 区

域埋藏有 3 颗地雷． 下一步应该点击 A 区域还是 B 区域？

25．2 用列举法求概率

P136 例1 同时向空中抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的

概率：

（1）两枚硬币全部正面向上；

（2）两枚硬币全部反面向上；

（3）一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上．

P136 例2 同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：

（1）两枚骰子的点数相同；

（2）两枚骰子点数的和是 9；

（3）至少有一枚骰子的点数为 2

P137 思考

如果把例2中的“同时投掷两枚质地均匀的骰子”改为“把一枚质

地均匀的骰子投掷两次”，得到的结果有变化吗？为什么？

P138 例3 甲口袋中装有 2 个相同的小球，它们分别写有字母 A

和 B ；乙口袋中装有 3 个相同的小球，它们分别写有字母 C ，D 和

E ；丙口袋中装有 2 个相同的小球，它们分别写有字母 H 和 I ．从

三个口袋中各随机取出 1 个小球．

（1）取出的 3 个小球上恰好有 1 个、2 个和3 个元音字母的

概率分别是多少？

（2）取出的 3 个小球上全是辅音字母的概率是多少？

25．3 用频率估计概率

P142 试验

把全班同学分成10组，每组同学抛掷一枚硬币50次，整理同学们

获得的实验数据，并完成下表

P143 思考

随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势是什么？

P144 问题1：某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成

活率，应采用什么具体做法？

P145 问题2 某水果公司以 2 元/ kg 的成本价新进 10 000 kg

柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得利润 5 000 元，

那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定

价为多少元比较合适？

第二十七章 相似

27.1 图形的相似

P25思考 如图是一个女孩儿从平面镜和哈哈镜例看到的自己的

形象，这些镜中的形象相似吗

?

P26 例 如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角α, β的大小和

EH 的长度x

27.2相似三角形

27.2.1 相似三角形的判定

P29 探究 如图，任意画两条直线l 1，l 2，再画三条与l 1，l 2都相交

的平行线l 3，l 4，l 5，分别度量l 3，l 4，l 5在l 1上截得的两条线段AB ，

BC 和在l 2上截得的两条线段DE,EF 的长度，

任意平移l 5，AB BC AB BC 与DE EF 相等吗？与DE

EF 还相等吗？

P30 思考：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC

于点 D ，E ， △ADE 与△ABC 有什么关系？

P32探究

任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三

角形各边长的 k 倍．度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？

这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结

论。

P33 思考：对于△ABC 和△A 'B 'C '中，如果满足AB AC = A 'B 'A 'C '，

且∠B =∠B ＇，这两个三角形一定相似吗？试着画画看。 P33 例1 根据下列条件，判断△ABC 和△A 'B 'C '是否相似，

并说明理由：

（1）AB =4 cm， BC =6 cm， AC =8 cm，

A 'B '=12 cm ，B 'C '=18 cm ，A 'C '=24 cm．

（2）∠A =120°， AB =7 cm，AC =14 cm，

∠A ＇=120°，A 'B ' =3 cm ，A 'C ' =6 cm．

P35 例2 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB=10，AC=8．E 是 AC 上一点，AE ＝5，ED ⊥AB ，垂足为 D ．求 AD 的长．

C

E

A

D B

P36 思考： 我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL ”来判定，那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 27.2.2相似三角形的性质

P37 思考

三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等，如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？

P37 探究

如图，∆ABC ∽∆A 'B 'C '，相似比为k ，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？

P38思考

相似三角形面积的比与相似比有什么关系？

P38 例3 如图，在△ABC 和△DEF 中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D ，若△ABC 的边BC 上的高为6，面积为12，求△DEF 的边EF 上的高和面积

27.2.3相似三角形应用举例

P39例4 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．

P40例5

如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目

标点 P ，在近岸取点 Q 和 S ，使点 P ，Q ，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T ，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R ．已测得 QS = 45 m ，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ ．

P40例6 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB =8 m 和 CD =12 m，两树底部的距离 BD =5 m，一个人估计自己的眼睛距地面

1.6 m ．她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶点 C 了？

27.3 位似

P47 思考，如图，中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么特

征？

P48 探究：如果在四边形ABCD 外任取一点 O ．分别在线段 OA ，OB ，OC ，OD 的反向延长线上取点 A ＇，B ＇，C ＇，D ＇，使得O A 'O B 'O C 'O D '1====，四边形A 'B 'C 'D '与四边形ABCD 有什么关OA OB OC OD 2

系？如果点O 取在四边形ABCD 内部呢？分别画出得到的四边形A 'B 'C 'D '。

P48 探究：如图1，在平面直角坐标系中，有两点 A （6，3），B （6，0）．以原点 O 为位似中心，相似比为，把线段 AB 缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？

13

如图2，△ABC 三个顶点坐标分别为 A （4，4），O （0，0），C （5，0），以点 O 为位似中心，相似比为 2，将△AOC 放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？

P49 例 如图，△ABO 的三个顶点的坐标分别为 A （-2，4），B （-2，0）， O （0，0）．以原点 O 为位似中心，画出一个三角形，使它与

3△ABO 的相似比为 ．

2

第二十八章 锐角三角函数

28.1 锐角三角函数

P61 问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30°，为使出水口的高度为 35 m ，需要准备多长的水管？

P61 思考：在上面的问题中，如果出水口的高度为 50 m ，那么需要准备多长的水管？

P61 思考：如图，任意画一个 Rt △ABC ，使∠C =90°，∠A =45

°，

计算∠A 的对边与斜边的比BC ．由此你能得出什么结论？

AB

P62 探究：任意画 Rt △ABC 和 Rt △A 'B 'C '(如图) ，使得∠C =∠C ＇=90°．∠A =∠A ＇，那么BC B 'C ' 与 有什么关系．你能解释一下吗？

AB A 'B '

P63 例1 如图，在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求 sin A 和 sin B 的值．

P64 探究：在 Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A 确定时，∠A 的对边与斜边比随之确定．此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？为什么？

P65 例2 如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求 sin A ，cos A，tan A 的值

.

P65 探究：两块三角尺（如图）中有几个不同的锐角？这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值各是什么？

P66 例3 求下列各式的值

(1) cos 260︒+sin 260︒ cos 45︒(2) -tan 45︒sin 45︒

P66 例4 （1）如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=，BC=，求∠A 的度数

（2）如图2，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO=OB ，求a 的度数

28.2 解直角三角形及其应用

28.2.1 解直角三角形

P72 问题1设塔顶中心点为 B ，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A ，过点 B 向垂直中心线引垂线，垂足为点 C （如图）．在 Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =5.2 m， AB = 54.5 m，求∠A 的度数．

P72 探究 （1

）在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些

关系？

（2）知道五个元素中的几个，就可以求其他元素？

P73 例1 如图，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =2，BC =6，解这个直角三角形．

例2 如图，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =35°，b =20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）．

28.2.2 应用举例

P74 例3 2012 年 6 月 18 日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面 343 km 的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少（地球半径约为 6 400 km，π 取 3.142，结果取整数）？

P75 例4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°，看这栋楼底部的俯角为 60°，热气球与楼的水平距离为 120 m ，这栋楼有多高（结果取整数）？

P76 例5 一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65°方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向上的 B 处，这时， B 处距距离灯塔 P 有多远（结果取整数）？

第二十九章 投影与视图

29.1 投影

P88 思考

如图表示一块三角尺在管线照射下形成投影，其中图1与图2、3的投影线有什么区别？图2、3的投影线与投影面的位置关系有什么区别？

P89 探究 如图，把一根直的细铁丝（记为线段 AB ）放在三个不同位置： （1）铁丝平行于投影面；

（2）铁丝倾斜于投影面；

（3）铁丝垂直于投影面．

三种情况下铁丝的正投影各是什么形状？

P89 探究 如图，把一块正方形硬纸板 P （例如正方形ABCD ）放在三个不同位置: （1）纸板平行于投影面；

（2）纸板倾斜于投影面；

（3）纸板垂直于投影面.

三种情况下铁丝的正投影各是什么形状？

P90 例 画出如下图摆放的正方体在投影面上的正投影．

（1）正方体的一个面 ABCD 平行于投影面，图（1）；

（2）正方体的一个面 ABCD 倾斜于投影面，底面ADEF 垂直于投影面，并且对角线 AE 垂直于投影面，图（2）．

29.2 三视图

P96 例1 画出图中基本几何体的三视图

P97 例2、 画出图中所示的支架（一种小零件）的三视图，其中支架的两个台阶的高度和宽度相等

P98 例3、如图，分别根据三视图（1）（2）说出立体图形的名称

P98 例4 根据物体的三视图，描述物体的形状

P99 例5 某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图（如图），请按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积（图中尺寸单位：mm ）