实际生活中的抛物线
实际生活中的抛物线
河北 刘兴宝
根据新课标的要求，以考查学生数学应用意识和应用能力为目的，与现实生活息息相关的问题越来越多地受到关注，已成为中考出题的热点之一。本文拟探讨一类与抛物线有关的具有现实背景的试题的解法，
例1（07年，佛山市）隧道的截面由抛物线AED 和巨型ABCD 构成，矩形的长BC 为8m ，宽AB 是2m ，以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6m 。
求：（1）抛物线的解析式；
（2）一辆货运卡车高4.5m ，宽2.4m, 它能通过该隧道吗？
（3）如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m 的隔离带，则该辆货车还能通过该隧道吗？
且过点A （﹣4，2），D （4，2）抛物线。通过确定抛物线上点F 答案。汽车可以从隧道的正中间走，则F
为（1.2即可。 2解：（1）设抛物线解析式为y=ax+bx+c 由题意得：
16a+4b+c=2 a=﹣ 16a －4b+c=2 解得： b=0 c=6 c=6 所以，y=﹣
x
1 4
12x +6 4
14
（2）货运卡车从隧道正中间走，如图，则点F 的横坐标为1.2，因此，当x=1.2时，y= ﹣
×1.22+6=﹣0.38+6=5.62＞4.5
因此，这辆货运卡车能通过该隧道。 （3）隧道正中间如果设有0.4m 的隔离带，那么该货运卡车紧贴着隔离带靠右边形式时则点P 的横坐标为0.2+2.4=2.561
y= ﹣×2.62+6=﹣1.69+6=4.314
x
例2（07年，甘肃省市白银市）“中山桥”是位于兰州市中心、横跨黄河之上的一座百年老桥．如图1，桥上有五个拱形桥架紧密相联，每个桥架的内部有一水平横梁和八个垂直于横梁的立柱，气势雄伟，素有“天下黄河第一桥”之称．
如图2，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形AB D 8D 1 和其上方的抛物线D 1OD 8组成，建立如图所示的平面直角坐标系，已知AB ＝44m ，∠A ＝45°，AC 1=4 m，C 1 C 2=5 m ，立柱C 2 D 2=5.55 m，
（1）求立柱C 1 D 1=________m，横梁D 1D 8=________m； （2）求抛物线D 1OD 8的解析式和桥架的拱高OH ．
图1 图2
11AB=×44=22m，22
1111
AC 1=C8B=4m，则，C 1H=C 1C 8=（AB －AC 1－C 8B ）=（44－4－4）=×36=18
2222
分析：立柱C 1D 1易求是4m ，由图形对称性可知，AH=HB=
所以，D 1点横坐标为﹣18，D 2点横坐标为﹣（18－5）=﹣13，这时可设D 1、D 2点纵坐
标为y 1和y 2，由图形可知，∣y 1－y 2∣=∣5.55－4∣=1.55，这样把D 1、D 2点代入抛物线y=ax2，便可建立方程，求出待定系数a 的值，从而求出抛物线D 1OD 8的解析式，进而求出桥架的拱高OH ．
解：(1)由题意可知：∠A ＝45°，AC 1=4 m ，则C 1D 1=4，因为ABD 8D 1为等腰梯形，由
1111
AB=×44=22m，AC 1=C8B=4m，C 1H=C 1C 8=（AB －AC 12222
11
－C 8B ）=（44－4－4）=×36=18，所以，D 8D 1= C8C 1=36（m ），
22
对称性可以知道：AH=HB=
所以，D 1点横坐标为﹣18，D 2点横坐标为﹣（18－5）=﹣13，这时可设D 1、D 2点纵坐
标为y 1和y 2，由图形可知，∣y 1－y 2∣=∣5.55－4∣=1.55，
设抛物线的解析式为y=ax2，
当x=﹣18时，y 1=a（﹣18）2=324 a；当x=﹣13时，y 2=a（﹣13）2=169 a 所以，∣y 1－y 2∣=324 a－169 a=1.55，
所以，a=
1 100
12
x ， 100
所以，抛物线的解析式为y=因此，当x=﹣18时，y=
11（﹣18）2=324 ×=3.24 100100
所以，桥架的拱高OH =3.24+4=7.24（m ）
例3、（07年，柳城市）明珠大剧场座落在聊城东昌湖西岸，其上部为能够旋转的拱形
钢结构，并且具有开启、闭合功能，全国独一无二，如图1．舞台顶部横剖面拱形可近似看作抛物线的一部分，其中舞台高度1.15米，台口高度13.5米，台口宽度29米，如图2．以
ED 所在直线为x 轴，过拱顶A 点且垂直于ED 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．
（1）求拱形抛物线的函数关系式；
（2）舞台大幕悬挂在长度为20米的横梁MN 上，其下沿恰与舞台面接触，求大幕的高度（精确到0.01米）．
图2
图1 29
分析：由题意得：OA=13.5+1.15=14.65，OD=，则可得顶点A 的坐标为（0，14.65），
2
C 点坐标为（
29
，1.15），这样抛物线的解析式便可以求出。（2）中的问题是满足条件的抛2
29． 2
物线的横坐标为10时，求它的纵坐标，其结果再减去1.15就是大幕的高度。 解：（1）由题设可知，OA =13.5+1.15=14.65，OD =
⎛29⎫∴A (0，14.65) ，C ，1.15⎪．
⎝2⎭
设拱形抛物线的关系式为y =ax +c ，则
2
⎧14.65=a ·02+c ，
54⎪2
解得a =-，c =14.65． ⎨⎛29⎫841· ⎪+c ．⎪1.15=a
⎝2⎭⎩
542
所以，所求函数的关系式为y =-x +14.65．
841
（2）由MN =20米，设点N 的坐标为(10，y 0) ， 代入关系式，得
y 0=-
54
⨯102+14.65≈8.229． 841
∴y 0-1.15=8.229-1.15=7.079≈7.08．
即大幕的高度约为7.08米。
从以上三例我们可以得出，解答此类应用题一般具有以下三个关键的步骤： 第一，阅读理解，即读懂题意，理解实际背景，收集处理相关信息；
第二，数学建模，即将应用题中的信息语言翻译成数学语言，抽象、归纳其中的数量关系，转化成数学问题来解决；
第三，数学求解，即在得到的数学模型上进行推理或演算，求出所需要的解答，然后将解答返回到原来的实际问题中去，进行检验，从而得到实际问题的解答。
数学基础知识和基本方法是正确解决此类问题不可缺少的有力武器，如待定系数法、抛物线的对称性、顶点坐标等知识点都在解决实际问题时体现出来，因此，在教学过程中，教师应多向学生提供素材，让现实生活中的问题成为数学知识的载体，只有这样，才能既传授知识，又培养了学生的分析问题、解决问题的能力。
（2012湖北武汉，23，10分）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE ，ED ，DB 组成，已知河底ED 是水平的，ED ＝16米，AE ＝8米，抛物线的顶点C 到ED 距离是11米，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴y 轴建立平面直角坐标系， （1）求抛物线的解析式；
（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED 的距离ｈ（单位：米）随时间ｔ（单位：时）的变化满足函数关系 ｈ＝－
1
(t -19) 2+8 （０≤ｔ≤40） 128
且当水面到顶点C 的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
解析：1、根据题意可得A ，B ，C ，三点坐标分别为（-8，8）（０，11）（8，8），利用
⎧8=82a +c 待定系数法，设抛物线解析式为y=ax+c,有⎨, 解方程组即可
⎩11=c
2
2、水面到顶点C 的距离不大于5米，即函数值不小大于11－5＝６，解方程－
1
(t -19) 2+8＝６即可 128
解：1、依题有顶点Ｃ的坐标为（０，11），点Ｂ的坐标为（8，8），设抛物线解析式为y=ax2+c
3⎧
⎧8=82a +c a =-⎪有⎨, 解得⎨64
11=c ⎩⎪⎩c =11
∴抛物线解析式为y=－2、令－
32
x +11 64
1
(t -19) 2+8＝11－5，解得t １＝35，t 2=3 128
1
(t -19) 2+8 （０≤ｔ≤40）的图像， 画出 ｈ＝－128
由图像变化趋势可知，当3≤ｔ≤35时，
水面到顶点C 的距离不大于5米，需禁止船只通行，
禁止船只通行时间为35－3＝32（时） 答：禁止船只通行时间为32小时。 点评：难度中等
（2012浙江省绍兴，12，5分）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y (m ) 与水平距离x (m ) 之间的关系为
y =
1
+3，由此可知铅球推出的距离是(x －4 )2
12
【解析】要求铅球推出的距离实际是求当y ＝0时x 的值， 即
1
(x -4) 2+3=0，解得x =10． 12
【答案】10
【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
23. （2012安徽，23，14分）如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m 。
（1）当h=2.6时，求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围） （2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围。
第23题图
23. 解析：（1）根据函数图象上面的点的坐标应该满足函数解析式，把x=0,y=2,及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h中即可求函数解析式；（2）根据函数解析式确定函数图象上点的坐标，并解决时间问题；（3）先把x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h中求出a =x=9,x=18时，y 的值应满足的条件，解得即可. 解：（1）把x=0,y=2,及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h 即2=a(0－6) 2+2.6， ∴a =-∴y=-
2-h
；然后分别表示出36
1 60
1
(x-6)2+2.6 60
1
(x-6)2
+2.6 60
（2）当h=2.6时，y=-
x=9时，y=-
1
(9－6) 2+2.6=2.45＞2.43 60
1
(18－6) 2+2.6=0.2＞0 60
∴球能越过网 x=18时，y=-∴球会过界
（3）x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h得a =x=9时，y=
2-h
； 36
2-h 2+3h
(9－6) 2+h=＞2.43 ① 3642-h
x=18时，y= (18－6) 2+h8-3h ＞0 ②
368
由① ②得h ≥
3
点评：本题是二次函数问题，利用函数图象上点的坐标确定函数解析式，然后根据函数性质来结合实际问题求解.