矩形的判定专项练习30题(有答案)ok

矩形的判定专项练习30题（有答案）

1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F为AB上两点，且△DAF≌△CBE． 求证：（1）∠A=90°；

（2）四边形ABCD是矩形．

2．如图，已知平行四边形ABCD，∠ABC，∠BCD的平分线BE、CF分别交AD于E、F，BE、CF交于点G，点H为BC的中点，GH的延长线交GB的平行线CM于点M． （1）试说明：∠BGC=90°；

（2）连接BM，判断四边形GBMC的形状并说明理由．

3．如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E． （1）四边形OCDE是矩形吗？说说你的理由；

（2）请你将上述条件中的菱形改为另一种四边形，其它条件都不变，你能得出什么结论？根据改编后的题目画出图形，并说明理由．

4．△ABC中，AD⊥BC于D，点E、F分别是△ABC中AB、AC中点，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？说明理由．

5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O．

（1）用尺规作图的方法，作出△AOB平移后的△DEC，其中平移的方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）

（2）观察图形，判断四边形DOCE是什么特殊四边形，并证明．

6．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，ON=OB，再延长OC至M，使CM=AN，求证：四边形NDMB为矩形．

7．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作BD的平行线CE，过点D作AC的平行线DE，CE与DE相交于点E，试说明四边形OCED是矩形．

8．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E、F分别是边BC、CD的中点，直线EF交边AD的延长线于点M，连接BD．

（1）求证：四边形DBEM是平行四边形；

（2）若BD=DC，连接CM，求证：四边形ABCM为矩形．

9．如图，在△ABC中，点O是AC边上的中点，过点O的直线MN∥BC，且MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，点P是BC延长线上一点．求证：四边形AECF是矩形．

10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E是BC的中点，连接AC、DE相交于点O． （1）试说明：△AOD≌△COE；

（2）若∠B=∠AOE，试说明四边形AECD是矩形的理由．

11．如图，以△ABC的各边为一边向BC的同侧作正△ABD、正△BCF、正△ACE，若∠BAC=150°，求证：四边形AEFD为矩形．

12．（1）在等腰三角形ABC中AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F．若AE=4，FC=3，求EF长．

（2）如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F． ①求证：△ABF≌△ECF；

②若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．

13．如图，AD是△ABC的中线，过点A作AE∥BC，过点B作BE∥AD交AE于点E， （1）求证：AE=CD；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADBE是矩形？请说明理由．

14．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，点G在边BC上，且CG=（AD+BC）． （1）求证：四边形DEGF是平行四边形；

（2）连接DG，若∠ADG=2∠ADE，求证：四边形DEGF是矩形．

15．已知，如图在△ABC中，AB=AC，点D是AC的中点，直线AE∥BC，过D点作直线EF∥AB分别交AE、BC于点E、F，求证：四边形AECF是矩形．

16．已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，且CE=AB． 求证：四边形CFED是矩形．

17．如图，平行四边形ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F； （1）试说明四边形AECF是平行四边形．

（2）若EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形． （3）当EF与AC有怎样的关系时，四边形AECF是矩形．

18．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC上一点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F． （1）说明四边形AEDF是矩形．

（2）试问：当点D位于BC边的什么位置时，四边形AEDF是正方形？并说明你的理由．

19．如图，△ABC中，D为边AC的中点，过点D作MN∥BC，CE平分∠ACB交MN于E，CF平分∠ACG交MN于F，求证：（1）ED=DF；（2）四边形AECF为矩形．

20．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．

21．如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点，（不与点A，C重合），过点O作直线l∥BC，直线l与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA的平分线相交于点F． （1）OE与OF相等吗？为什么？

（2）探索：当点O在何处时，四边形AECF为矩形？为什么？

22．（2013•沙湾区模拟）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且 AF=BD，连接BF．

（1）求证：D是BC的中点．

（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

23．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∠OBC=∠OCB，求证：四边形ABCD是矩形．

24．如图M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB，AN，BM相交于P，DN，CM相交于Q．求证：PMQN为矩形．

25．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC，求证：四边形AFCE是矩

形．

26．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上的一点，过点A作AF∥BE，交ED的延长线于点F，连接AE，CF． （1）求证：AF=CE；

（2）如果AC=EF，则四边形AFCE是矩形．

27．如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，

（1）求证：BC=DE；

（2）连接AD、BE，探究：当△ABC满足什么条件时，四边形DBEA是矩形？并说明理由．

28．如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E，四边形OCED是矩形吗？说说你的理由．

29．已知：如图，BC是等腰△BED底边ED上的高，四边形ABEC是平行四边形． 求证：四边形ABCD是矩形．

30．如图，已知AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE． 求证：四边形BCED为矩形．

参考答案：

1．（1）∵AD∥BC， ∴∠A+∠B=180°， ∵△DAF≌△CBE， ∴∠A=∠B， ∴2∠A=180°， ∴∠A=90°；

（2）∵AD∥BC，AD=BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， 又∵∠A=90°，

∴四边形ABCD是矩形 2．（1）∵∠ABC+∠BCD=180°，BE、CF平分∠ABC，∠BCD，

∴∠GBC+∠GCB=90°，∴∠BGC=90°；

（2）∵点H为BC的中点，∴BH=CH=GH， ∵GB∥CM，∴∠BGH=∠CMH，

∵∠HBG=∠HGB，∴∠HCM=∠HMC， ∴MH=BH=CH=GH， ∴四边形GBMC为矩形 3．（1）四边形OCDE是矩形． 证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴∠DOC=90°，

∴四边形OCED是矩形．

（2）任意改变四边形ABCD的形状，四边形OCED都是平行四边形（答案不唯一）． 理由如下：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形．

4．满足△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°． ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，

∴BD=CD，

∵点E、F分别是△ABC中AB、AC中点， ∴DF∥AB，ED∥AC，

∴四边形AEDF是平行四边形， ∵∠BAC=90° ∴AEDF是矩形． 5．（1）所作图形如图所示： （2）四边形DOCE是矩形．

∵△DCE是由△AOB平移后的图形， ∴DE∥AC，CE∥BD．

∴四边形DOCE是平行四边形． 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD．即∠DOC=90° ∴四边形DOCE为矩形．

6．∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO=OC，OD=OB， ∵AN=CM ON=OB， ∴ON=OM=OD=OB，

∴四边形NDMB为平行四边形， ∵MN=BD，

∴平行四边形NDMB为矩形 7．∵DE∥AC，CE∥BD， ∴DE∥OC，CE∥OD

∴四边形OCED是平行四边形， 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠COD=90°，

∴四边形OCED是矩形 8．（1）证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，即DM∥BE， ∵E、F分别是边BC、CD的中点 ∴EF∥BD，

∴四边形DBEM是平行四边形． （2）证明：连接DE，

∵DB=DC，且E是BC中点，∴DE⊥BC， ∴DE∥AB． 又∵AB⊥BC， ∴AB∥DE

∵由（1）知四边形DBEM是平行四边形， ∴DM∥BE且DM=BE， ∴DM∥EC且DM=EC，

∴四边形DMCE是平行四边形， ∴CM∥DE， ∴AB∥CM．

又AM∥BC∴四边形ABCM是平行四边形， ∵AB⊥BC，∴四边形ABCM是矩形．

9．∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE=∠BCE， ∵MN∥BC，

∴∠OEC=∠ECB， ∴∠OEC=∠OCE， ∴OE=OC， 同理，OC=OF，

∴OE=OF．

∵AO=CO，EO=FO，

∴四边形AECF为平行四边形， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE=∠ACB， 同理，∠

ACF=∠ACP，

∴∠ECF=∠ACE+∠

ACF=（∠ACB+∠ACP）=×180°=90°，

∴四边形AECF是矩形． 10．（1）∵BC=2AD，点E是BC的中点， ∴EC=AD． ∵AD∥BC，

∴∠ADO=∠CEO，∠DAO=∠ECO． 在△AOD和△COE中

，

∴△AOD≌△COE（ASA）；

（2）∵AD=BE，AD∥BE， ∴四边形ABED是平行四边形；

同理可得：四边形AECD是平行四边形． ∴∠ADO=∠B． ∵∠B=∠AOE，

∴∠AOE=2∠B． ∴∠AOE=2∠ADO．

∵∠AOE=∠ADO+∠DAO， ∴∠OAD=∠ODA． ∴OA=OD． ∴AC=DE．

∴四边形AECD是矩形．

11．：∵△ABD和△FBC都是等边三角形， ∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°， ∴∠DBF=∠ABC． 又∵BD=BA，BF=BC， ∴△ABC≌△DBF， ∴AC=DF=AE，

同理可证△ABC≌△EFC， ∴AB=EF=AD，

∴四边形DAFEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ∵∠BAC=150°，

∴∠DAE=150°﹣∠DAB﹣∠EAC=90°， ∴四边形AEFD为矩形．

12．1）解：∵ABC中AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC， ∴∠A=∠C=45°，CD=AD，

∴BD=CD=AD，BD平分∠ABC， ∴∠EBD=45°=∠C， ∵BD⊥AC，DE⊥DF， ∴∠BDC=∠EDF=90°，

∴∠BDC﹣∠BDF=∠EDF﹣∠BDF， ∴∠EDB=∠FDC， ∵在△EDB和△FDC中

∴△EDB≌△FDC（ASA）， ∴FC=DE=3，

同理△AED≌△BFD， ∴DF=AE=4，

在Rt△EDF中，由勾股定理得：EF=

=5；

（2）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵CD=CE，

∴AB∥CE，AB=CE，

∴四边形ABEC是平行四边形， ∴AF=FE，BF=FC， ∵在△ABF和△ECF中

∴△ABF≌△ECF（SSS）；

②证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠D， ∵∠AFC=2∠D， ∴∠AFC=2∠ABC，

∵∠AFC=∠ABC+∠FAB， ∵∠ABC=∠FAB， ∴AF=FB，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE=2AF，BC=2BF， ∴AE=BC，

∵四边形ABEC是平行四边形， ∴四边形ABEC是矩形．

13．（1）∵AE∥BC，BE∥AD， ∴四边形ADBE是平行四边形， ∴AE=BD，

∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， ∴AE=CD．

（2）当AB=AC时，四边形ADBE是矩形，理由是：∵AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，

又∵四边形ADBE是平行四边形， ∴四边形ADBE是矩形

14．1）证明：如图，连接EF．

∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点， ∴，EF∥AD∥BC． ∵

，

∴EF=CG．

∴四边形EGCF是平行四边形． ∴EG=FC且EG∥FC． ∵F是CD的中点， ∴FC=DF．

∴EG=DF且EG∥DF．

∴四边形DEGF是平行四边形．

（2）证明：连接EF，将EF与DG的交点记为点O．∵∠ADG=2∠ADE， ∴∠ADE=∠EDG． ∵EF∥AD，

∴∠ADE=∠DEO． ∴∠EDG=∠DEO． ∴EO=DO．

∵四边形DEGF是平行四边形， ∴

，

．

∴EF=DG，

∴平行四边形DEGF是矩形．即四边形DEGF是矩形．

15．∵点D是AC的中点， ∴DA=DC， ∵AE∥BC，

∴∠AED=∠CFD，

在△ADE和△CDF中，，

∴△ADE≌△CDF（AAS）， ∴AE=CF， 又∵AE∥BC，

∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE∥BC，EF∥AB，

∴四边形ABFE是平行四边形， ∴AB=EF， ∵AB=AC， ∴AC=EF，

∴四边形AECF是矩形．

16．∵D、E、F分别是AC、AB、BC的中点， ∴DE∥BC，且DE=BC，DF=AB，CF=BC， ∴DE=CF，

∴四边形CFED平行四边形， 又∵CE=AB，

∴CE=DF，

∴平行四边形CFED是矩形， 故四边形CFED是矩形． 17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，

∴△AEO∽△CFO， ∴

=

，

∵OA=CO，

∴OE=OF，

∴四边形AECF是平行四边形；

（2）证明：∵四边形AECF是平行四边形， 又∵EF⊥AC，

∴平行四边形AECF是菱形；

（3）解：当EF=AC时，四边形AECF是矩形， 理由是：由（1）知：四边形AECF是平行四边形，∵AC=EF，

∴平行四边形AECF是矩形 18．（1）∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠AFD=∠AED=∠A=90°，

∴四边形AEDF是矩形；

（2）当D时BC的中点时，四边形AEDF是正方形；JU

理由：∵D是BC的中点， ∴BD=DC ∵AB=AC ∴∠B=∠C

又∵DF⊥AB，DE⊥AC， ∴∠BDF=∠DEC

∴△BFD≌△DCE， ∴DF=DE，

∴矩形AEDF是正方形． 19．（1）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACG， ∴∠ACE=∠ECB，∠ACF=∠FCG， 又∵MN∥BG，

∴∠DEC=∠ECB，∠DFC=∠FCG， ∴∠DEC=∠DCE，∠DFC=∠DCF， ∴DE=DC，DF=DC， ∴DE=DF．

（2）∵D为AC的中点， ∴AD=DC， 又DE=DF，

∴四边形AECF为平行四边形， ∵∠ACE=∠ECB，∠ACF=∠FCG， ∴∠ECF=90°，

∴平行四边形AECF为矩形 20．∵BE∥AC，CE∥DB， ∴四边形OBEC是平行四边形， 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOB=90°，

∴平行四边形OBEC是矩形 21．（1）解：OE=OE， 理由是：∵直线l∥BC， ∴∠OEC=∠ECB， ∵CE平分∠ACB， ∴∠OCE=∠BCE， ∴∠OEC=∠OCE， ∴OE=OC， 同理OF=OC， ∴OE=OF．

（2）解：O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形， 理由是：∵OA=OC，OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵OE=OF=OC=OA， ∴AC=EF，

∴平行四边形AECF是矩形

矩形的判定30题----

11

22．（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DCE（1分） ∵E是AD的中点， ∴AE=DE．（2分） ∵∠AEF=∠DEC， ∴△AEF≌△DEC．（3分） ∴AF=DC， ∵AF=BD ∴BD=CD，

∴D是BC的中点；（4分） （2）四边形AFBD是矩形，（5分） 证明：∵AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°，（6分） ∵AF=BD，AF∥BC，

∴四边形AFBD是平行四边形，（7分） ∴四边形AFBD是矩形． 23．∵∠OBC=∠OCB， ∴OB=OC，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC=OA=AC，OB=OD=BD， ∴AC=BD，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形， 即四边形ABCD是矩形

24．∵ABCD为平行四边形， ∴AD平行且等于BC，

又∵M为AD的中点，N为BC的中点， ∴MD平行且等于BN， ∴BNDM为平行四边形， ∴BM∥ND， 同理AN∥MC，

∴四边形PMQN为平行四边形，（5分） 连接MN，

∵AM平行且等于BN，

∴四边形ABNM为平行四边形， 又∵AD=2AB，M为AD中点， ∴BN=AB，

∴四边形ABNM为菱形， ∴AN⊥BM，

∴平行四边形PMQN为矩形．（10分）

25．∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA=OC，AE∥FC， ∴∠EAO=∠FCO，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF， ∴AE=CF，

∴四边形AECF为平行四边形， 又∵AF⊥BC， ∴∠AFC=90°，

则四边形AECF为矩形． 26．（1）证明：∵AF∥BE，

∴∠AFD=∠CED，∠FAD=∠DCE， ∵D是AC的中点， ∴AD=DC，

在△FAD和△ECD中

，

∴△FAD≌△ECD（AAS）， ∴AF=CE；

（2）证明：∵△FAD≌△ECD， ∴FD=DE， ∵AD=DC，

∴四边形AFCE是平行四边形， ∵AC=EF，

∴平行四边形AFCE是矩形 27．（1）证明：∵E是AC的中点， ∴EC=AC， ∵DB=AC，

∴DB=EC， 又∵DB∥AC，

∴四边形BCED是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴BC=DE；

（2）解：△ABC满足AB=BC时，四边形DBEA是矩形．

理由如下：∵E是AC的中点， ∴AE=AC，

∵DB=AC，

∴DB=AE， 又∵DB∥AC，

∴四边形DBEA是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∵AB=BC，E为AC中点， ∴∠AEB=90°，

∴平行四边形DBEA是矩形，

即△ABC满足AB=BC时，四边形DBEA是矩形．

28．是矩形．（1分）

理由：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴DE⊥CE， ∴∠E=90°，

∴平行四边形OCED是矩形

29．∵BC是等腰△BED底边ED上的高， ∴EC=CD，

∵四边形ABEC是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CE=CD，AC=BE， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵AC=BE，BE=BD， ∴AC=BD，

∴四边形ABCD是矩形

30．在△ABD和△ACE中，

∵AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴BD=CE又DE=BC．

∴四边形BCED为平行四边形．在△ACD和△ABE中， ∵AC=AB，AD=AE，

∠CAD=∠CAB+∠BAD=∠CAB+∠CAE=∠BAE， ∴△ADC≌△AEB（SAS），∴CD=BE． ∴四边形BCED为矩形．（对角线相等的平行四边形是矩形）

矩形的判定30题---- 12