高中数学导数知识点归纳总结
§14. 导 数 知识要点
1. 导数(导函数的简称)的定义:设x 0是函数y =f (x ) 定义域的一点,如果自变量x 在x 0处有增量∆x ,则函数值y 也引起相应的增量∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) ;比值∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0)
称为函数y =f (x ) 在点x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率;如果极限=
∆x ∆x
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y
存在,则称函数y =f (x ) 在点x 0处可导,并把这个极限叫做=lim
∆x →0∆x ∆x →0∆x lim
y =f (x ) 在x 0处的导数,记作f ' (x 0) 或y ' |x =x 0,即f ' (x 0) =lim
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y
. =lim
∆x →0∆x ∆x →0∆x
注:①∆x 是增量,我们也称为“改变量”,因为∆x 可正,可负,但不为零.
②以知函数y =f (x ) 定义域为A ,y =f ' (x ) 的定义域为B ,则A 与B 关系为A ⊇B . 2. 函数y =f (x ) 在点x 0处连续与点x 0处可导的关系:
⑴函数y =f (x ) 在点x 0处连续是y =f (x ) 在点x 0处可导的必要不充分条件. 可以证明,如果y =f (x ) 在点x 0处可导,那么y =f (x ) 点x 0处连续. 事实上,令x =x 0+∆x ,则x →x 0相当于∆x →0.
于是lim f (x ) =lim f (x 0+∆x ) =lim [f (x +x 0) -f (x 0) +f (x 0)]
x →x 0
∆x →0
∆x →0
f (x 0+∆x ) -f (x 0) f (x 0+∆x ) -f (x 0)
⋅∆x +f (x 0)]=lim ⋅lim +lim f (x 0) =f ' (x 0) ⋅0+f (x 0) =f (x 0).
∆x →0∆x →0∆x →0∆x →0∆x ∆x ⑵如果y =f (x ) 点x 0处连续,那么y =f (x ) 在点x 0处可导,是不成立的. =lim [
例:f (x ) =|x |在点x 0=0处连续,但在点x 0=0处不可导,因为∆y ∆y ∆y
不存在. =1;当∆x <0时,=-1,故lim
∆x →0∆x ∆x ∆x
∆y |∆x |
,当∆x >0时,=
∆x ∆x
注:①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3. 导数的几何意义:
函数y =f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x )) 处的切线的斜率,也就是说,曲线y =f (x ) 在点P (x 0, f (x )) 处的切线的斜率是f ' (x 0) ,切线方程为y -y 0=f ' (x )(x -x 0).
4. 求导数的四则运算法则:
(u ±v ) ' =u ' ±v ' ⇒y =f 1(x ) +f 2(x ) +... +f n (x ) ⇒y ' =f 1' (x ) +f 2' (x ) +... +f n ' (x )
(uv ) ' =vu ' +v ' u ⇒(cv ) ' =c ' v +cv ' =cv ' (c 为常数)
vu ' -v ' u ⎛u ⎫
(v ≠0) ⎪=2v v ⎝⎭
'
注:①u , v 必须是可导函数.
②若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、
积、商不一定不可导.
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例如:设f (x ) =2sin x +,g (x ) =cos x -,则f (x ), g (x ) 在x =0处均不可导,但它们和
x x
f (x ) +g (x ) =
sin x +cos x 在x =0处均可导.
5. 复合函数的求导法则:f x ' (ϕ(x )) =f ' (u ) ϕ' (x ) 或y ' x =y ' u ⋅u ' x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性:
⑴函数单调性的判定方法:设函数y =f (x ) 在某个区间内可导,如果f ' (x ) >0,则y =f (x ) 为增函数;如果f ' (x ) <0,则y =f (x ) 为减函数. ⑵常数的判定方法;
如果函数y =f (x ) 在区间I 内恒有f ' (x ) =0,则y =f (x ) 为常数.
注:①f (x ) 0是f (x )递增的充分条件,但不是必要条件,如y =2x 3在(-∞, +∞) 上并不是都有f (x ) 0,有一个点例外即x =0时f (x ) = 0,同样f (x ) 0是f (x )递减的充分非必要条件. ②一般地,如果f (x )在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负),那么f (x )在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的. 7. 极值的判别方法:(极值是在x 0附近所有的点,都有f (x ) <f (x 0) ,则f (x 0) 是函数f (x ) 的极大值,极小值同理)
当函数f (x ) 在点x 0处连续时,
①如果在x 0附近的左侧f ' (x ) >0,右侧f ' (x ) <0,那么f (x 0) 是极大值; ②如果在x 0附近的左侧f ' (x ) <0,右侧f ' (x ) >0,那么f (x 0) 是极小值.
也就是说x 0是极值点的充分条件是x 0点两侧导数异号,而不是f ' (x ) =0. 此外,函数不
①
可导的点也可能是函数的极值点. 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同).
②
注①: 若点x 0是可导函数f (x ) 的极值点,则f ' (x ) =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数,其一点x 0是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零. 例如:函数y =f (x ) =x 3,x =0使f ' (x ) =0,但x =0不是极值点.
②例如:函数y =f (x ) =|x |,在点x =0处不可导,但点x =0是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较.
注:函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数:
'
I. C ' =0(C 为常数) (sinx ) =cos x (arcsinx ) =
'
1-x
2
(x n ) ' =nx n -1(n ∈R ) (cosx ) ' =-sin x (arccosx ) ' =-
1-x
2
II. (lnx ) ' =
1' 11
(loga x ) ' =log a e (arctanx ) =2 x x x +1
1x +1
2
(e x ) ' =e x (a x ) ' =a x ln a (arc cot x ) ' =-
III. 求导的常见方法: ①常用结论:(ln|x |)' =
1
. x
②形如y =(x -a 1)(x -a 2)...(x -a n ) 或y =求代数和形式.
(x -a 1)(x -a 2)...(x -a n )
两边同取自然对数,可转化
(x -b 1)(x -b 2)...(x -b n )
③无理函数或形如y =x x 这类函数,如y =x x 取自然对数之后可变形为ln y =x ln x ,对两边
y ' 1
求导可得=ln x +x ⋅⇒y ' =y ln x +y ⇒y ' =x x ln x +x x .
y x
导数知识点总结复习
经典例题剖析
考点一:求导公式。 例1. f '(x ) 是f (x ) =
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x +2x +1的导函数,则f '(-1) 的值是。 3
考点二:导数的几何意义。
,f (1))处的切线方程是y =例2. 已知函数y =f (x ) 的图象在点M (1f (1)+f '(1)=。
例3. 曲线y =x 3-2x 2-4x +2在点(1,-3) 处的切线方程是。 点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。
考点三:导数的几何意义的应用。
1
x +2,则2
例4. 已知曲线C :y =x 3-3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且直线l 与曲线C 相切于点
(x 0, y 0)x 0≠0,求直线l 的方程及切点坐标。
点评:本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件。
考点四:函数的单调性。
例5. 已知f (x )=ax 3+3x 2-x +1在R 上是减函数,求a 的取值范
点评:本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题,要有求导意识。
考点五:函数的极值。
例6. 设函数f (x ) =2x 3+3ax 2+3bx +8c 在x =1及x =2时取得极值。 (1)求a 、b 的值;
3],都有f (x )
点评:本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数f (x )的极值步骤: ①求导数f ' (x );
②求f ' (x )=0的根;③将f ' (x )=0的根在数轴上标出,得出单调区间,由f ' (x )在各区间上取值的正负可确定并求出函数f (x )的极值。 考点六:函数的最值。
例7. 已知a 为实数,f (x )=x -4(x -a )。求导数f ' (x );(2)若f ' (-1)=0,求f (x )
2
2
()
在区间[-2, 2]上的最大值和最小值。
点评:本题考查可导函数最值的求法。求可导函数f (x )在区间[a , b ]上的最值,要先求出函数f (x )在区间(a , b )上的极值,然后与f (a )和f (b )进行比较,从而得出函数的最大最小值。 考点七:导数的综合性问题。
例8. 设函数f (x ) =ax 3+bx +c (a ≠0) 为奇函数,其图象在点(1,f (1))处的切线与直线
x -6y -7=0垂直,导函数f '(x ) 的最小值为-12。(1)求a ,b ,c 的值;
(2)求函数f (x ) 的单调递增区间,并求函数f (x ) 在[-1,3]上的最大值和最小值 点评:本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识,以及推理能力和运算能力。