内部收益率的线性插值修正策略

文章编号：

内部收益率的线性插值修正算法

杨旭岩

（河南机电高等专科学校基础部，河南新乡453002）

摘 要：为了准确、快捷地求得内部收益率，本文对线性插值给出一种修正策略。该

方法对初始折现率的条件适当放宽，并通过实例加以验证。

关键词：内部收益率；线性插值；修正策略

中图分类号：F275 文献标识码：A

1问题的提出

常规投资项目是指建设期与生产经营期可以明显区分的投资项目，在其建设期只有投资发生，净现金流量表现为负值；生产经营期各年都有净收益，净现金流量表现为正值。因此，从整个项目生命周期来看，常规投资项目的净现金流量序列的符号仅改变一次，项目的内部收益率方程有唯一的正实根，此根即为项目的内部收益率。

既要比较准确、又要快捷地得到内部收益率，这是一对矛盾，同时做到比较困难。通常的作法：第一步通过试算找到符合条件的两个不同的折现率，并计算对应的净现值；第二步再代入线性插值

[1]、[2]法的计算公式，求得内部收益率的近似值。这样做，计算比较简单，便于教学上使用，但是误

差比较大。[3]、[4]中提供的算法能比较准确地得到内部收益率，但不是计算量大，就是收敛速度慢。本文通过一种线性插值的修正算法，能既比较准确、又快捷地求得内部收益率，且对初始折现率的条件可适当放宽。

2 方法原理

内部收益率的定义：NPV (i ') =-t ' ) (CI -CO ) (1+i ) =0 (2. 1∑t

t =0n

其中，NPV (i ') 表示利率为i '时的净现值；(CI -CO ) t 表示第t 年净现金流量。这样的方程没有求解公式, 只能利用逼近的方式求其近似解。线性插值的计算公式[1]

i '=i 1+NPV 1(i 2-i 1) (2.2) NPV 1+NPV 2

其中，i 1——试算用的较低折现率；i 2——试算用的较高折现率。

NPV 1——折现率为i 1时的净现值（应为正）；NPV 2——折现率为i 2

时的净现值（应为负）。这样算出的内部收益率误差相当大，因为

NPV (i ') 不是i '的线性函数。由于项目的内部收益率方程有唯一的正

实根，则函数NPV (i ') 是凸的或是凹的，由(2.2)得出的i '所对应的

NPV (i ') 大于零或小于零。如图1所示，OP 为折现率为i '的净现值

NPV 0。取CD =-OP ，由于 OAB OCD ，则CO =

即CO =CD AO ，AB CD (i 2-i 1) ，修正后的内部收益率 NPV 1+NPV 2

NPV 1+NPV 0i =i '+OC =i 1+(i 2-i 1) (2.3) NPV 1+NPV 2

收稿日期：2008-08-04

作者简介：杨旭岩(1966-), 男, 河南西峡人, 河南机电高等专科学校基础部, 副教授, 理学硕士, 从事技术经济的研究．

3 内部收益率线性插值修正算法的步骤

第一步，通过试算得到(i 1, NPV 1) ，(i 2, NPV 2) ，其中i 10，NPV 2

第三步，依据式(2.3)得到内部收益率i

一般情况下，由式(2.3)得到内部收益率i 的精度已相当满意。如需进一步提高精度，对于i ，由(2.1)得到NPV (i ) ，与NPV 1、NPV 2、NPV 0作比较，得到新的(i 1, NPV 1) ，(i 2, NPV 2) ，进入下一轮计算。

4 应用实例

某项目初期（第1年年初）固定资产

投资为100万元, 投产时需流动资金投资

20万元。该项目从第3年初投产并达产运

行, 每年需经营费40万元。若项目每年可

获销售收入65万元, 项目服务年限为10年, 届时残值为20万元, 试计算项目的内部收益率。

解 根据项目情况可画图2，其中第12年末的两个20万元分别为残值和流动资金的回收。根据项目现金流量图, 由(2.1)得项目净现值计算公式为 [5]

NPV (i ) =-100-20(P /F , i ,2) +(65-40)(P /A , i ,10)(P /F , i ,2) +40(P /F , i ,12) (4.1) 以i 1=10%代入(4.1)试算，NPV (i 1) =23.15（万元）

以i 2=15%代入(4.1)试算，NPV (i 2) =-8.705（万元）

由(2.2)得，i '=13.63%，并由(4.1)算得NPV (i ') =-4.387（万元）

由(2.3)得，i =12.95%

由(4.1)，得NPV (i ) =0.1463（万元）已足够小，说明内部收益率i =12.95%相当准确。 5 总结

相对于普通的线性插值算法，本修正算法，只是多算一次折现率为i '的净现值NPV 0和内部收益率的修正值，增加的计算量很小，但提高了精度，且对初始折现率的条件可适当放宽。

参考文献

[1]李振球. 技术经济学[M]. 沈阳：东北财经大学出版社,1999.

[2]赵钎. 投资项目内部收益率的估计方法[J].统计与决策,2005(7)(下):30-31.

[3]唐凯, 王玉坤. 黄金分割法在求解内部收益率中的应用[J]．技术经济,2002(7):57-58.

[4]傅毓维, 赵镇. 计算内部收益率的斐波那契法[J]. 技术经济, 2002(12):58-60.

[5]陈阳. 项目内部收益率计算方法之改良[J]. 基建优化, 2001(2):18-19.

Optimizing Internal Rate of Return by Amendment Strategy of Linear Interpolation

YANG Xu-yan

(Basic Course Dept.,Henan Mechanic and Electric Engineering College ,Xinxiang ,Henan,453002,China) Abstract :To be accurate and fast to solve internal rate of return ,in the paper , a kind of amendment strategy by using linear interpolation is put forward , the conditions of initial discount rate can be relaxed，and verify it by a example.

Key Words: internal rate of return； linear interpolation； amendment strategy