八下 因式分解
因式分解
学法指导:
1. 注意因式分解与整式乘法的关系,两者是互逆运算。
2. 对于因式分解的概念,必须注意以下三点:
(1) 等式左边必须是一个多项式;
(2) 等式右边必须是整式的积的形式,且每个因式必须是整式;
(3) 等式右边的每个因式必须不能再因式分解。
3. 因式分解时,先观察有无公因式。若有公因式,应先提公因式,再看能否运用公式法分解,直至分解到每个因式都不能在分解为止。
4. 运用公式法因式分解时,要注意每个公式的特点及公式的变形。 本章考情:
因式分解的概念及方法是中考必考内容。难度不大,多以选择题、填空题的形式出现。某些化简求值、探索与创新题,也常常会用到因式分解。
知识要点:
(一) 知识网络图
(二) 课表要求
能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数)。
本章口诀:
1. 先整理变形,再因式分解.
2. 首先提取公因式,然后考虑用公式;
两项只用平方差,三项完全或十字;
四项以上想分组,分组分得要合适;
各种方法灵活用,结果须是连乘式;
因式分解要彻底,认真检查不粗心.
易错点剖析:
易错点一:提公因式后失项
例:分解因式:–4a3b3 + 6a2b–2ab
错解:原式=–2ab ( 2a2b2–3a)
剖析:在提取公因式时,如果一个多项式有n 项,那么提取公因式后,剩下的多项式仍为n 项。其实提出公因式–2ab 后,剩下的应是原来的多项式–4a3b3 + 6a2b –2ab 除以公因式–2ab 后的商式。在这里用到了多项式除以单项式的整式除法知识。
正解:原式=–2ab ( 2a2b 2–3a +1 )
易错点二:提公因式不彻底
例:分解因式:3a( a–b )2 + 6ab ( b–a )
错解:原式 = 3a( a–b )2–6ab( a–b ) = ( a–b ) [3a ( a–b )–6ab ] = ( a–b ) ( 3a2–3ab –6ab) = (a–b)( 3a2–9ab )
剖析:在运用提公因式法分解因式时,公因式的确定顺序应是:先确定公因式的因数(取各项系数的最大公约数),然后确定相同的字母因式(取各项相同字母的最低次幂),最后确定相同的多项式因式(取各项相同多项式的最低次幂),否则往往出现错解中分解不彻底的错误。
正解:原式 = 3a( a–b )2–6ab( a–b ) =3a ( a–b ) [ ( a–b )–2b ]
= 3a( a–b ) ( a–b –2b) = 3a(a–b)( a–3b )
易错点三:概念混乱
例:分解因式:( 2m + n )2–( m + 2n )2
错解:原式 = [( 2m + n ) + ( m + 2n )][( 2m + n )–( m + 2n )] = ( 2m + n + m + 2n ) ( 2m + n–m –2n ) = ( 3m + 3n )( m–n )
= 3( m + n )( m–n ) = 3 ( m2–n 2 )
剖析:主要是把分解因式与整式乘法的概念混乱。而忽视了分解因式是将多项式和(差)的形式变成几个整式的积的形式。
正解:原式 = [( 2m + n ) + ( m + 2n )][( 2m + n )–( m + 2n )] = ( 2m + n + m + 2n ) ( 2m + n–m –2n ) = ( 3m + 3n )( m–n )
= 3( m + n )( m–n )
易错点四:分而不尽(这是进行分解因式过程中的最常见错误之一) 例:分解因式:–a + 2a2–a 3
错解:原式 =–a ( 1–2a + a2 )
剖析:主要认为分解因式总是能一步就得到结果或者总是只能用一种分解因式的方法。其实,分解因式的结果应该是使每一个多项式因式都不能再分解为止。
正解:原式 = –a ( 1–2a + a2 ) = –a (1–a) 2
易错点五:分而不合
例:分解因式:16( a–b )2–9 ( a + b )2
错解:原式 = [ 4 ( a–b ) + 3( a + b )][ 4( a–b )–3( a + b )]
剖析:以为分解因式就只需要把多项式化为几个整式的积即可,忽视了分解因式的结果往往应不含有中括号,也就是说,分解因式的结果里每一个因式都必需进行化简。
正解:原式 = [ 4 ( a–b ) + 3( a + b )][ 4( a–b )–3( a + b )]
= ( 4a–4b + 3a + 3b ) (4a–4b –3a –3b ) = ( 7a–b)(a–7b )
易错点六:分解因式的步骤混乱
例:分解因式:4x 4–4
错解:原式 = ( 2x2 + 2)( 2x2–2 )
剖析:分解因式的步骤应是:当多项式的各项含有公因式时,通常先提出这个公因式,然后再运用公式法或其它方法进一步分解。错解中由于多项式4x 4–4 刚好符合平方差公式,因此往往受惯性思维影响而直接运用平方差公式分解因式,忽视了要先提公因式后再分解,导致了分解因式不彻底等错误。
正解:原式 = 4( x4–1 ) = 4( x2 + 1 ) ( x2–1 ) = 4( x2 + 1 ) ( x + 1 )( x–1 )
解题方法与技巧:
1. 首选提取公因式法:即首先观察多项式中各项有没有公因式,若 有,则先提取公因式,再考虑其他方法。
2. 当多项式各项无公因式或已提取公因式时,应考察各多项式的项数。
(1)当项数为两项或可看作两项时,考虑利用平方差公式[a 2-b 2=(a +b )(a -b )]。
(2)当项数为三项时,可考虑完全平方公式。
3. 对于特殊的因式分解,除了考虑提公因式法、公式法外,还应根据多项式的具体结构特征,灵活选用一些特殊的方法。
(一)巧拆项:在某些多项式的因式分解过程中,若将多项式的某一项(或几项)适当拆成几项的代数和,再用基本方法分解,会使问题化难为易。
例: 因式分解:。
解析:根据多项式的特点,把3拆成4+(-1),则
(二) 巧分组:分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一,分
组的目的是为提取公因式,应用乘法公式创造条件,以便顺利地达到分解因式的目的。 例:
分析:此题有四项,考虑将它们分组,其中第1、2项有公因式m ,第3、4项有公因式p ,可将它们分别分为一组。
解:
(三) 巧展开:若一个多项式直接分解比较困难,则可适当展开,然
后再用基本方法分解。
例:因式分解:(x-y)2-4(x-y-1)
将多项式适当展开= (x-y)2-4(x-y)+4,
再利用公式法分解=(x-y-2)2