勾股定理知识点及典型例题

八下第18章 《勾股定理》勾股定理知识点导航

一、勾股定理：

1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么

a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a ＋b ＝c ，那么这个三角形是直角三

角形。

2. 勾股数：满足a ＋b ＝c 的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样

也是勾股数组。）

*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13

3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a +b=c，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角

三角形：勾三、股四、弦五）

其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

（1）确定最大边（不妨设为c ）；

（2）若c ＝a ＋b ，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；

若a ＋b ＜c ，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a ＋b ＞c ，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）

4. 注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于

斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边。

A

E

b c

D

C

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b a

c

a

b

b

B

c

c b

a

a

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为6、2、勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

B

b A

a

D b

n 的线段

E

a C

7、错误的描述方法：“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 勾股定理：

（一）结合三角形：

1. 已知∆ABC 的三边a 、b 、c 满足(a -b )

2

+(b -c ) 2=0，则∆ABC 为三角形

2. 在∆ABC 中，若a =（b +c ）（b -c ），则∆ABC 是三角形，且∠90︒ 3. 在∆ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为 4、已知形状。

5、. 已知：在∆ABC 中，三条边长分别为a 、b 、c ，a =n 试说明：∠C=90︒。

6. 若∆ABC 的三边a 、b 、c 满足条件a 状。 7. 已知

2

2

x -+x +y - 与z 2-10z +25互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的

2

-1，b =2n ，c =n 2+1（n >1）

+b 2+c 2+338=10a +24b +26c ，试判断∆ABC

的形

a -6+2b -8+(c -10) 2=0, 则以a 、b 、c 为边的三角形是

（二）、实际应用： 1. 梯子滑动问题：

（1）一架长2.5m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m （如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯子底端将向左滑动 米

（2）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）

（3）如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC ⊥BC ，AC=BC，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（ ）

A. X+y B. x>y C. x

（4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米

第1题图 第2题图 第3题图

2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：

直角三角形两直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列式子总能成立的是（ ） A. ab =b B. a 变：

如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，设AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。

2

2

+b 2=2h 2 C.

111111

+= D. 2+2=2a b h a b h

C

111

求证：（1）2+2=2

a b h （2）a +b

（3）以a +b ，h ，c +h

为三边的三角形是直角三角形

试一试：（1）只需证明h （2）

（3）

2

A

D

B

(

11

+) =1，从左边推到到右边 a 2b 2

(a +b )2

(a +h )2+h 2=(c +h )2，注意面积关系ab =ch 的应用

3. 爬行距离最短问题：

1. 如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm ，得到C 1处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙（盒壁的 忽略不计）

（1）假设昆虫甲在顶点C 1处静止不动，如图a ，在盒子的内部我们先取棱BB 1的中点E ，再连结AE 、EC 1，昆虫乙如果沿途径

A →E →C 1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，

并在图b 中画一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。 （2）如图b ，假设昆虫甲从点C 1以1 厘米/秒的速度在盒子的内部沿C 1C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？ 试一试：对于（2）

，当昆虫甲从顶点

沿棱C 1C 向顶点C 爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行，

利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间

2. 如图，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，CD 上的点F 距地面的高FD=8㎝，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，要爬行的最短路线是 cm

3. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两相对的端点，A 点有一只昆虫想到B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是 分米？

4. 如图，一只蚂蚁沿边长为a 的正方体表面从点A 爬到点B ，则它走过的路程最短为（ ） A.

3a B. 1+2a C. 3a D.5

a

()

Q

A

B

P

N

5、如图，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫? （π取3）

6、如图为一棱长为3cm 的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花几秒钟？

7葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常饶着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿着短路线—盘旋前进的。难道植物也懂得数学吗？ 如果阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？

如果树的周长为3 cm，绕一圈升高4cm ，则它爬行路程是多少厘米？

如果树的周长为8 cm，绕一圈爬行10cm ，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？

8、如图，A 、B 是笔直公路l 同侧的两个村庄， 且两个村庄到直路的距离分别是300m 和500m ， 两村庄之间的距离为d(已知d =400000m) ，现要在 公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最 小。问最小是多少？

2

2

B

A

4、实际问题

1. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面

的高度是 米。

2. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4平距离是 米。

3. 如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。

4. 如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B 、C 两点，在江对岸取一点A ，使AC 垂直江岸，测得BC ＝50米，∠B ＝60°，则江面的宽度为 。

3米，则这两株树之间的垂直距离是____________米，水

5、如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

5、求边长：

1. 如图所示，在四边形ABCD 中，∠BAD=90，∠DBC=90，AD=3，AB=4，BC=12，求CD 。

6、方向问题：

1. 有一次，小明坐着轮船由A 点出发沿正东方向AN 航行，在A 点望湖中小岛M ，测得∠MAN ＝30°，当他到B 点时，测得∠MBN ＝45°，AB ＝100米，你能算出AM 的长吗？

2. 一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米． ⑴ 此时轮船离开出发点多少km?

⑵ 若轮船每航行1km ，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?

M

A B N

7、折叠问题：

1. 如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长是多少？

2. 如图，在长方形ABCD 中，将△ABC 沿AC 对折至 △AEC 位置，CE 与AD 交于点F 。

（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF 的长

3. 如图，在长方形ABCD 中，DC=5，在DC 边上存在一点E ，沿直线AE 把△ABC 折叠，使点D 恰好在BC 边上，设此点为F ，若△ABF 的面积为30，求折叠的△AED 的面积

4. 如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝， 现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合， 你能求出CD 的长吗？

A

D E

B

F C

5. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8，将△ABC 折叠，使点B 与点 A 重合，折痕为DE ，则CD 等于（ ） A.

254

B.

223

C.

74

D.

5

3

6、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm，BC=6cm，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.

8、利用勾股定理测量长度

如图，水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长 着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇 拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池 的深度AC.

9、旋转问题

1、如图，P 是等边三角形ABC 内一点，

PA=2,PB=求△ABC 的边长。

2、如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为8cm ，宽为4cm ，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P 落在AD 边上（不与A 、D 重合），在AD 上适当移动三角板顶点P ：

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C ？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由. ②再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在AD 上移动，直角边PH 始终通过点B ，另一直角边PF 与DC 的延长线交于点Q ，与BC 交于点E ，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由.

3、如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且FB 吗？为什么？

1

AB ，那么△DEF 是直角三角形4