实数的相关概念
专题1 实数的有关概念
一、考纲要求
1.了解有理数、无理数以及实数的有关概念;
2.理解数轴、相反数、绝对值、倒数等概念,了解数的绝对值的几何意义; 3.会求一个数的相反数、绝对值和倒数;
4.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会求一个数的平方根、立方根;
5.画数轴,了解实数与数轴上的点一一对应,能用数轴上的点表示实数,会利用数轴比较大小;
6.了解科学记数法、近似数与有效数字的概念,能按要求用四舍五入法求一个数的近似值,能正确识别一个数的有效数字的个数.在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并按问题的要求对结果取近似值. 7.了解常见的非负数及性质.
二、知识梳理 1.实数的分类 (1)按定义分类
(2)按正负分类
2.实数的有关概念
(1)数轴:数轴的三要素为 原点 、 正方向 和 单位长度 .数轴上的点与 实数 一一对应. (2)相反数:实数a 的相反数为-a .若a ,b 互为相反数,则a +b = 0 . (3)倒数:非零实数a 的倒数为
1
.若a ,b 互为倒数,则ab = 1 . ⎧a (a >0) ⎪
(4)绝对值:a =⎨0(a =0)
⎪-a (a
(5)科学记数法:把一个数表示成 a³10的形式,其中1≤a <10的数,n 是整数.
n
(6)近似数的精确度:一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位
(7)有效数字:四舍五入后的近似数,从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位止,所有的数字,都叫做这个数的有效数字.
3.平方根、算术平方根、立方根
(1)任何正数a 都有__两_个平方根, 它们互为__相反数__.其中正的平方根a 叫做_a的算术平方根__. 负数 没有平方根,0的算术平方根为_0__.
(2) 任何一个实数a 都有立方根,记为a .
(a ≥0) (3
a =
(a
(1
(2)非负数的性质: ①非负数有最小值是零;
②任意几个非负数的和仍为非负数;
③n 个非负数的和为0,则这n 个非负数同时为0. 例如:若a +b 2+c =0,则
三、要点精析
(1)区分有理数和无理数的关键有两点:一是正确理解无限循环小数与无限不循环小数的意义;二是能写成分数形式的都是有理数,但
π,等不是分数. 25
(2)近似数、有效数字:
①取一个数精确到某一位的近似数时,应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入,而之后的数不予考虑;
②用科学记数法表示的近似数,乘号前面的数(即a) 的有效数字即为该近似数的有效数字;而这个近似数精确到哪一位,应将用科学记数法表示的数还原成原来的数,再看最后一个有效数字处于哪一个数位上.
5
如0.030是2个有效数字(3和0)精确到千分位;3.14³10是3个有效数字;精确到千位.3.14万是3个有效数字(3,1,4)精确到百位.
(3)绝对值 x =2的解为x =±2;而-2=2,但少部分同学写成 -2=±2.
(4)在已知中,以非负数a 、|a|a (a≥0) 之和为零作为条件,解决有关问题.
四、中考真题和试题精粹 1.(2015湖南益阳)下列实数中,是无理数的为( )
1
A
. C.0 D.-3
3
【答案】A 【解析】
试题分析:无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项. 试题解析:A
1
B .是分数,是有理数,选项错误;
3
C .0是整数,是有理数,选项错误; D .-3是整数,是有理数,选项错误. 故选A .
考点:无理数.
点评:此题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:π,2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001„,等有这样规律的数.
2.a ,b 在数轴上的位置如图所示,那么化简a -b -a 的结果是 ( )
2
2
A .2a -b B.b C.-b D.-2a +b 【答案】C 【解析】
试题分析:先由数轴判断实数a ,b 的正负,再判断a -b 的正负,最后化简、合并.由数轴知a >0,b <0,a >b ,所以a -b >0,所以a -b -a =a -b -a =-b .故选C . 3.在-2,0,2,1,
2
3
,-0.
4中,正数有 ( ) 4
A .2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】B 【解析】
试题分析:正数包括正有理数和正无理数,本题中2,1,
3
三个数为正数.故选B . 4
点评:0既不是正数,也不是负数.无理数也有正、负之分. 考点:实数的分类. 4
=1-2a ,则-a -a =( )
A .1-2a B.1 C.-1 D.以上选项都不对 【答案】B 【解析】
试题分析:
=1-2a 左边为非负数,所以
1-2a ≥0,
1
解得a ≤
2
∴1-a >0.
=1-a +a =1-2a ,
∴a =-a . ∴a ≤0. 又1-a >0,
故-a -a =1-a -(-a )=1.
故选B
5.下列说法中,正确的是 ( )
A .近似数3.20和近似数3.2的精确度一样 B .近似数3.20和近似数3.2的有效数字一样 C .近似数2千万和近似数2000万的精确度一样 D .近似数32.0和近似数3.2的精确度一样 【答案】D 【解析】
试题分析:近似数精确到哪一位,应当看末位数字实际在哪一位.
试题解析:A 、近似数3.20精确到百分位,而近似数3.2精确到十分位,故本选项错误; B 、近似数3.20有3个有效数字,而近似数3.2有2个有效数字,故本选项错误; C 、近似数2千万精确到千万位,而近似数2000万精确到万位,故本选项错误; D 、近似数32.0和近似数3.2都是精确到了0.1,故本选项正确. 故选D .
点评:考查了近似数和有效数字,对于用科学记数法表示的数,有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容,经常会出错.
6.如果a 与3互为相反数,那么|a+2|等于( ) A .5 B.1 C.-1 D.-5 【答案】B 【解析】
试题分析:a与3互为相反数,则a =-3,所以|a+2|=|-3+2|=|-1|=1. 故选B
2 015
7.(-1)的相反数是( )
A .1 B.-1 C.2 015 D.-2 015 【答案】A 【解析】
2 015
试题分析:由于指数2 015为奇数,所以(-1)=-1,其相反数为1. 故选A .
8.m-n 的相反数是( )
A .-(m+n) B.m+ n C.m-n D.-(m-n) 【答案】D
【解析】
试题分析:可设m =2,n =1,则m - n=1.又-( m + n)=-3,m+ n=3,m- n=1,-( m- n)=-1.故选D . 故选D
点评:赋值时取值要符合题意,但又不能特殊,本题中m ,n 不能取0,得出结论后再用其他值试一试,如:m =3,n =-2等.
﹣3
9.(2014•广西玉林市)将6.18³10化为小数的是( )
A .0.000618 B.0.00618 C.0.0618 D.0.618 【答案】B 【解析】
n ﹣3
试题分析:科学记数法的标准形式为a ³10(1≤|a|<10,n 为整数).本题把数据“6.18³10中6.18的小数点向左移动3位就可以得到.
﹣3
试题解析:把数据“6.18³10中6.18的小数点向左移动3位就可以得到为0.00618. 故选B .
﹣n
点评:将科学记数法a ³10表示的数,“还原”成通常表示的数,就是把a 的小数点向左移动n 位所得到的数. 把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程,这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法. 考点:科学记数法—原数. 10.(2012湖北荆门3分)下列实数中,无理数是( ) A .﹣
5
B.π C
.|﹣2| 2
【答案】B 【解析】
试题分析:根据初中无理数的三种形式:①开方开不尽的数,②无限不循环小数,③含有π的数,结合选项即可得
出答案:
5
是有理数,故本选项错误; B
、π是无理数,故本选项正确; C ,是有理数,故本选项错误; D
、|﹣2|=2,是有理数,故本选项错误.
A 、﹣
故选B .
考点:无理数.
11.(2012湖北黄冈3分)下列实数中是无理数的是( ) A
.π0 D【答案】D 【解析】
试题分析:根据初中无理数的三种形式:①开方开不尽的数,②无限不循环小数,③含有π的数,结合选项即可得出答案:
A ,是有理数,故本选项错误;B ,是有理数,故本选项错误; C 、π0=1,是有理数,故本选项错误;D D . 考点:无理数. 12.-
1
的相反数是( ) 2015
11
D.- 20152015
A .2015 B.-2015 C.
【答案】C
【解析】
试题分析:只有符号不同的两个数,我们称这两个数互为相反数.故选C . 考点:相反数的定义. 13.-
1
的倒数是( ) 2015
11
D. 20152015
A .2015 B.-2015 C.-
【答案】A
【解析】
试题分析:负数的绝对值等于它的相反数,当两数的乘积为1时,则两数互为倒数.
因为-
111
所以-的倒数是2015.故选A . =
[1**********]5
考点:绝对值和倒数的计算.
1
的绝对值是( ) 3
11
A . B.3 C.- D.-3
33
14.(2015年浙江宁波4分)-【答案】A 【解析】
试题分析:方法一,根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义,在数轴上,点-是
1
到原点的距离3
111,所以,-的绝对值是. 333
11
的绝对值是33
方法二,根据绝对值的性质:正数和0的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数.可得-
故选A .
考点:绝对值 15.(2015浙江宁波)2015年中国高端装备制造业收入将超过6万亿元,其中6万亿元用科学计数法可表示为( )
13111213
A .0.6³10元 B.60³10元 C.6³10元 D.6³10元 【答案】C 【解析】
n
试题分析:根据科学记数法的定义,科学记数法的表示形式为a ³10,其中1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值.在确定n 的值时,看该数是大于或等于1还是小于1.当该数大于或等于1时,n 为它的整数位数减1;当该数小于1时,n 为它第一个有效数字前0的个数(含小数点前的1个0). 试题解析:∵6万亿=6 000 000 000 000一共13位,
12
∴16万亿=6 000 000 000 000=6³10. 故选C .
考点:科学记数法. 16.(2015四川自贡)将2.05⨯10-3用小数表示为( )
A .0.000205 B.0.0205 C.0.00205 D.-0.00205 【答案】C 【解析】
﹣3
试题分析:10就是0.001,把2.05的小数点向左移动3位即可.
﹣3
试题解析:2.05³10=0.00205, 故选C .
考点:科学记数法—原数.
点评:本题考查了科学记数法,用科学记数法表示的数还原成原数时,n >0时,n 是几,小数点就向右移几位;n <0时,n 是几,小数点就向左移几位. 17.(2013•内江)下列四个实数中,绝对值最小的数是( ) A .﹣5 B
. C.1 D.4 【答案】C 【解析】
试题分析: 计算出各选项的绝对值,然后再比较大小即可. 试题解析:|﹣5|=5
,=
,|1|=1,|4|=4,所以绝对值最小的是1.故选C .
点评:本题考查了实数的大小比较,属于基础题,注意先运算出各项的绝对值. 18.(2013•东营)的算术平方根是( ) A .±4 B .4 C .±2 【答案】D 【解析】
D .2
试题分析:先计算出的值,然后再求其算术平方根即可.
试题解析:因为=4,4的算术平方根是2,所以的算术平方根是2.故选D . 考点:算术平方根的定义
∙
π22
19.下列各数:,0
0.23,cos 60°,,0.300
03„,中无理数个数为( )
72
A .2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】B 【解析】
∙
ππ
试题分析:中π是无理数,所以是无理数;0
3是有理数;0.23是无限循环小数,属于有理
22
122
数;cos 60°=,是有理数;是有理数;0.300
03„是无理数;
是
27
无理数.
故选B
点评:有理数都可以化成分数的形式.常见的无理数有四种形式:(1)含有π的式子;(2)根号内含开方开不尽的式子;(3)无限且不循环的小数;(4)某些三角函数式.
20.已知四个命题:①如果一个数的相反数等于它本身,那么这个数是0;②若一个数的倒数等于它本身,则这个数是1;③若一个数的算术平方根等于它本身,则这个数是1或0;④如果一个数的绝对值等于它本身.那么这个数是正数.其中真命题有 ( )
A .1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】
试题分析:倒数等于它本身的数为±1,故②错;绝对值等于它本身的数除了正数还有0.故④错.①③是正确的.故选B . 21.(2014•广西贺州,第4题3分)未来三年,国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题.将8450亿元用科学记数法表示为( )
4342
A .0.845³10亿元 B.8.45³10亿元 C.8.45³10亿元 D.84.5³10亿元 【答案】B 【解析】
n
试题分析:科学记数法的表示形式为a ³10的形式,其中1≤|a|<10,n 为整数.确定n 的值时,要看把原数变成a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n 是正数;当原数的绝对值<1时,n 是负数.
3
试题解析:将8450亿元用科学记数法表示为8.45³10亿元.故选B . 考点:科学记数法—表示较大的数.
22.(2014年四川资阳,第4题3分) 餐桌边的一蔬一饭,舌尖上的一饮一酌,实属来之不易,舌尖上的浪费让人触目惊心.据统计,中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克,这个数据用科学记数法表示为( )
109911
A .5³10千克 B .50³10千克 C .5³10千克 D .0.5³10千克 【答案】A 【解析】
n
试题分析:科学记数法的表示形式为a ³10的形式,其中1≤|a|<10,n 为整数.确定n 的值是易错点,由于500亿有11位,所以可以确定n=11﹣1=10.
10
试题解析:500亿=50 000 000 000=5³10. 故选A .
考点:科学记数法—表示较大的数.
点评:此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定a 与n 值是关键. 23.(2014年云南省,第1题3分)-A .-
1
=( ) 7
11
B. C.﹣7 D.7 77
【答案】B 【解析】
试题分析:根据负数的绝对值是它的相反数,可得答案. 试题解析:-
11=. 77
故选:B .
考点:绝对值.
点评:本题考查了相反数,在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.
5
的倒数是( ) 3
5533A . B .- C . D .-
3355
24.(2014•襄阳,第1题3分)有理数-
【答案】D 【解析】
试题分析:根据倒数的定义:乘积是1的两数互为倒数,可得出答案. 试题解析:-
53
的倒数是-.故答案选D . 35
考点:倒数.
点评:本题考查了倒数的知识,属于基础题,解答本题的关键是掌握倒数的定义. 25.(2014•襄阳,第7题3分)下列命题错误的是( ) A .所有的实数都可用数轴上的点表示 B .等角的补角相等
C .无理数包括正无理数,0,负无理数 D .两点之间,线段最短 【答案】C 【解析】
试题分析:根据实数与数轴上的点一一对应对A 进行判断;根据补角的定义对B 进行判断; 根据无理数的分类对C 进行判断;根据线段公理对D 进行判断.
试题解析:A 、所有的实数都可用数轴上的点表示,所以A 选项的说法正确; B 、等角的补角相等,所以B 选项的说法正确;
C 、无理数包括正无理数和负无理,0是有理数,所以C 选项的说法错误; D 、两点之间,线段最短,所以D 选项的说法正确. 故选C .
点评:本题考查了命题与定理:判断事物的语句叫命题;正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题;经过推理论证的真命题称为定理.
18
26.(2014²台湾,第14题3分)小明在网络上搜寻到水资源的数据如下:地球上水的总储量为1.36³10立方公尺,其中可供人类使用的淡水只占全部的0.3%.根据他搜寻到的数据,判断可供人类使用的淡水有多少立方公尺?( )
14151617
A .4.08³10 B .4.08³10 C .4.08³10 D .4.08³10 【答案】B 【解析】
n
试题分析:科学记数法的表示形式为a ³10的形式,其中1≤|a|<10,n 为整数.确定n 的值时,要看把原数变成a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n 是正数;当原数的绝对值<1时,n 是负数.
181815
试题解析:36³10³0.3%=0.00408³10=4.08³10. 故选:B . 27.(2014•浙江宁波,第1题4分)下列各数中,既不是正数也不是负数的是( ) A .0 B.-1 C
.2 【答案】A 【解析】
试题分析:根据实数的分类,可得答案.
试题解析:0既不是正数也不是负数,故选:A .
点评:本题考查了实数,大于0的数是正数,小于0的数是负数,0既不是正数也不是负数. 考点:实数的分类;正数和负数. 28.(2014•株洲,第1题,3分)下列各数中,绝对值最大的数是( ) A .﹣3 B.﹣2 C.0 D.1 【答案】A 【解析】
试题分析:根据绝对值是实数轴上的点到原点的距离,可得答案. 试题解析:|﹣3|>|﹣2|>|1|>|0|,故选:A . 考点:绝对值;有理数大小比较
点评:本题考查了绝对值,绝对值是实数轴上的点到原点的距离. 29.(2014年江苏南京,第5题,2分) 8的平方根是( )
A .4 B.±4 C
. D
.±【答案】D 【解析】
试题分析:直接根据平方根的定义进行解答即可解决问题.
试题解析:∵±(2
=8,∴8
的平方根是±.故选D .
考点:平方根的定义
点评:本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根. 30.(2015年浙江嘉兴4分) 2014年嘉兴市地区生产总值为335 280 000 000元,该数据用科学记数法表示为( )
7121011
A .33528³10 B.0.33528³10 C.3.3528³10 D.3.3528³10 【答案】D 【解析】
n
试题分析:根据科学记数法的定义,科学记数法的表示形式为a ³10,其中1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值.在确定n 的值时,看该数是大于或等于1还是小于1.当该数大于或等于1时,n 为它的整数位数减1;当该数小于1时,-n 为它第一个有效数字前0的个数(含小数点前的1个0).
11
∵335 280 000 000一共12位,∴335 280 000 000=3.3528³10,故选D . 考点:科学记数法.
31.下列说法正确的是( )
A .1的相反数是-1 B.1的倒数是-1 C .1的立方根是±1 D.-1是无理数 【答案】A 【解析】
试题分析:根据相反数、倒数、立方根、无理数的定义判断即可. A 、1的相反数为-1,故A 正确; B 、1的倒数是1,故B 错误; C 、1的立方根是1,故C 错误;
D 、-1是有理数,是整数,故D 错误. 故选:A
考点:相反数的定义
32.如图,数轴上有A ,B ,C ,D 四个点,其中到原点距离相等的两个点是( )
A .点B 与点D B.点A 与点C C .点A 与点D D.点B 与点C 【答案】C 【解析】
试题分析:到原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数.-2与2是互为相反数,故选C .
33 )
A .x >2 D.x ≥2 【解析】
试题分析:非正数的绝对值等于它的相反数,则x -2≤0,解得 x≤2.故选B . 考点:绝对值的性质.
34.下列各数中是负数的是( ) A .-(-3)
-1
⎛1⎫
B.-(-3) C. ⎪ D.|﹣2|
⎝3⎭
2
-1
【答案】B 【解析】
试题分析:根据幂的运算性质及二次根式的性质,绝对值可求结果.
⎛1⎫1
=
- -1⎪=>0,故选项A 不正确;
⎝3⎭32
B 、-(-3)=-9
A 、-(-3)
-1
⎛1⎫
C 、 ⎪=3>0,故选项C 不正确;
⎝3⎭
D 、|﹣2|=2>0,故选项D 不正确. 故选B .
考点:幂的运算性质及二次根式的性质,绝对值 35.(2015年江苏南通3分)如果水位升高6m 时水位变化记作+6m,那么水位下降6m 时水位变化记作( ) A .﹣3m B.3m C.6m D.﹣6m 【答案】D
【解析】在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示 因此, ∵“上升”和“下降”相对,
∴水位升高6m 时水位变化记作+6m,则水位下降6m 时水位变化记作﹣6m . 故选D .
考点:正数和负数.
∙
π136.已知下列各数:8,3.14,-2,,0,,0.31
-,则无理数有;分数
435
-1
有 .
∙
π
1【答案】,
-;3.14,,0.31.
435
【解析】
试题分析:无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念.有理数是整数与分数的统称,即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.
∙
π
1所以无理数有:
-3.14,,0.31.
435
考点:实数.
2
37.要到玻璃店配一块面积为1.21 m的正方形玻璃,那么该玻璃的边长为 m. 【答案】1.1 【解析】
试题分析:正方形的边长是其面积的算术平方根,故该玻璃的边长为. 21=1.1(m).故答案为1.1.
点评:解答此类问题主要注意以下几点:一是开平方和开立方的区别;二是看题目要求,弄清被开方数.解此题的关键是要弄清正方形的面积和边长的关系.
38.已知x 、y
为实数,且y =4,则x ﹣ 【答案】-1或-7 【解析】
2222
试题分析:因为x -9≥0,9-x ≥0,所以x -9=9-x=0,所以x=±3,y=4,所以x ﹣y=-1或-7 39.将近似数23460保留两个有效数字,并用科学记数法表示是__________________.
4
【答案】2.3³10 【解析】
n
试题分析:科学记数法的表示形式为a ³10的形式,其中1≤|a|<10,n 为整数.确定n 的值时,要看把原数变成a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n 是正数;当原数的绝对值小于1时,n 是负数.有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字.
4
23460≈2.3³10.
考点:本题考查的是科学记数法,近似数与有效数字
n
点评:解答本题的关键是注意用科学记数法表示的数a ³10的有效数字只与前面的a 有关,与n 无关.
2
40.若(a-1)+|b+2|=0,则a+ b= . 【答案】-1 【解析】
222
试题分析:由于(a-1)≥0,|b+2|≥0,又(a-1)+|b+2|=0,因此 (a-1)=0且|b+2|=0,则a =1,b =-2,所以a +b=-1.
点评:若几个非负数的和为0,则这几个数分别为0. 41.(2012四川达州3分)实数m 、n 在数轴上的位置如下图所示,化简:m -n
= .
【答案】n -m .
【解析】
试题分析:∵在数轴上实数m 位于n 的左侧,∴m<n . ∴m-n <0∴|m-n|=-(m -n )=n-m . 考点:实数与数轴,绝对值的概念.
42.(2013•巴中)若直角三角形的两直角边长为a 、b
b -4=0,则该直角三角形的斜边长为 . 【答案】 【解析】
试题分析:根据非负数的性质求得a 、b 的值,然后利用勾股定理即可求得该直角三角形的斜边长.
b -4=0, ∴a ﹣6a+9=0,b ﹣4=0. 解得a=3,b=4.
∵直角三角形的两直角边长为a 、b ,
∴该直角三角形的斜边长==5. 故答案是:5.
考点:勾股定理;非负数的性质;绝对值;非负数的性质;算术平方根.
43.(1)(-1.44) 的算术平方根为________
________
________;
2
2
(2)(-2) 的立方根是________;立方等于-216的数是________
;【答案】(1)1.44 ±3 0.2;(2)-【解析】
试题分析:(1)(-1.44) =0.2; (2)∵(-2) =
-3
-3
2
-3
=________.
3
1
-6 125 2
|-1.44|=1
.449
,91
(-2)
3
,
∴(-2) 3
1; 2∵(-6)
=-216
6;
=
=5=125.
3
3
3
点评:对于算术平方根,要注意:(1)一个正数只有一个算术平方根,它是一个正数;(2)0的算术平方根是0;
(3)负数没有算术平方根;(4)
①被开方数a 是非负数,
a ≥0;②算术平方
根
2
.
3
2
44.若实数
x ,y (3-y) =0,则代数式xy -x 的值为__________. 【答案】
2 【解析】
(3-y)
≥0,
2
(3-y) =0,
所以x -2=0,3-y =0.解得x =2,y =3.
22
则xy -x =2³3-2=2. 答案:
2
2
点评:常见的非负数的形式有三种:|a|≥0) ,a ,若它们的和为零,则每一个式子都为0. 45.如果某个数的平方根是a +3和2a -15,那么这个数等于__________. 【答案】49 【解析】 试题分析:
根据任何正数a 都有两个平方根, 它们互为相反数,而互为相反数的两个数之和为零列方程求解即可求a 的值,再
2
求(a+3)即可.
试题解析:根据题意,得a +3+2a-15=0,解得a=4
2所以这个数等于(a+3)=49.
考点:平方根,互为相反数的两个数的性质
46.一个数的相反数的倒数是2,这个数是________. 【答案】-21 2
【解析】
试题分析:
此题考查相反数与倒数的概念
设一个数为x ,则这个数的相反数的倒数为-答案-111∴x =- ,所以-=2,x x 21
2
47.当x=_________时,代数式x -1与2x+10的值互为相反数
【答案】-3
【解析】根据相反数的定义先列出方程,然后求解.
试题解析:根据题意得:x-1=-(2x+10),
去括号,得 x-1=-2x-10,
移项,合并同类项得 3x=-9,
系数化为1得 x=-3.
即当x=-3时代数式x-1与2x+10的值互为相反数.
点评:本题的关键在于根据题意列出方程,注意读准题意.
48.3-22的相反数是 .
【答案】22-3
【解析】
试题分析:根据只有符号不同的数是相反数进行解答.
试题解析:∵-(3-22)=22-3,
∴3-22的相反数是:22-3.
故答案为:22-3.
点评:本题考查了实数的性质,主要利用了只有符号不同的数是相反数的定义,比较简单.
49
【解析】
试题分析:
-(
∵乘积为1
50.5的相反数的平方是______, -【答案】25 ,【解析】
试题分析:
5的相反数是-5,而(-5) 2=25
______.
51.如果零上2℃记作+2℃,那么零下3.
【答案】-3℃.
【解析】
试题分析:根据正数和负数是表示意义相反的量即可求得.
∵零上2℃记作+2℃,∴零下3℃记作﹣3℃.故答案为:-3℃.
考点:正数和负数.
52.在数轴与原点的距离为2个单位的点所表示的有理数是__________.
【答案】±2.
【解析】
试题分析:根据数轴上两点间距离的定义进行解答即可.
试题解析:设数轴上,到原点的距离等于2个单位长度的点所表示的有理数是x ,则|x|=2,
解得 x=±2.
考点:数轴.
∙∙7π22353.把下列各数分别填入相应的集合里:8,3,-3.14159,,,-2,-,0,-0.02,1.414,783
-,1.[1**********]12„(每两个相邻的2中间依次多1个1) . 3
(1)正有理数集合:{ „};
(2)有理数集合:{ „};
(3)无理数集合:{ „};
(4)实数集合:{ „}.
22,1.414,„}. 7
∙∙227(2)有理数集合:{,-3.14159,,-,0,-0.02,1.414,„}. 78【答案】(1)正有理数集合:{,3
π,-2,1.21121112l 1112„,-7,„}. 3
∙∙7π22(4)实数集合:{ 3,-3.14159,-2,-,0,-0.02,1.414,-7,42.[1**********]12„837(3)无理数集合:{3,
(每两个相邻的2中间依次多1个1) „}.
【解析】
试题分析:准确理解实数的概念,按要求分类,注意不要遗漏.
点评:(1)带根号的数不一定是无理数:(2)分数是有理数,但π这种形式的数是无理数;(3)只有无限不循环小数3
才是无理数.
54.(2015安徽省) -64的立方根是 .
【答案】-4
【解析】
试题分析:根据立方根的定义求解即可.
3试题解析:∵(﹣4)=﹣64,
∴﹣64的立方根是﹣4.
故答案为﹣4.
考点:立方根.
点评:此题主要考查了立方根的定义,求一个数的立方根,应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方.由开立方和立方是互逆运算,用立方的方法求这个数的立方根.注意一个数的立方根与原数的性质符号相同.
1234555.(2015年广东4分)观察下列一组数:,,,,,„,根据该组数的排列规律,可推出第10个数357911
是 . 【答案】12. 21
n ,所以,第102n +1【解析】 试题分析:观察得该组数的排列规律为:分母为连续奇数,分子为连续自然数,第n 个数为
个数是1012=. 2⨯10+121
考点:探索规律题(数字的变化类).
356.已知b =a +2c ,其中b 的算术平方根为19,c 的平方根是±3,求a 的值.
【答案】7
【解析】
试题分析:因为b 的算术平方根是19,所以b =19=361.又因为c 的平方根是±3,所以c =(±3) =9.代入已知条件即可求出a 的值.
2试题解析:因为b 的算术平方根是19,所以b =19=361.
2又c 的平方根是±3.所以c =(±3) =9.
3所以a =b -2c =361-18=343,即a =7.
57.已知a ,b 为数轴上的点,如图所示,求22a +b 的值. a +b
【答案】-1
【解析】
试题分析:解决此题的关键在于去掉分子的绝对值符号,也就是要确定a +b 的正负.
由图可知a >0,b <0,且b >a ,所以a +b <0,因此a +b =-(a+b) .
试题解析:由题意可知a >0,b <0,且b >a ,所以a +b <0,即a +b =-(a+b) . 所以a +b -(a +b ) ==-1. a +b a +b
222258.已知:a ,b ,c 都是实数,且满足(2-a) +a +b +c +c +8=0,且ax +bx +c =0,求代数式3x +6x +1
的值.
【答案】13
【解析】
试题分析:若几个非负数的和为0,则这几个数分别为0.先根据非负数的性质求出a ,b ,c 的值,再整体代入求值.
试题解析:依题意知(2-a) ≥0,a +b +c ≥0,c +8≥0, 22
⎧2-a =0, ⎧a =2, ⎪⎪所以⎨a 2+b +c =0, 解得⎨b =4,
⎪c =-8, ⎪c +8=0, ⎩⎩
所以ax +bx +c =0即为2x +4x -8=0,可化为x +2x =4,
22故3x +6x +1=3(x+2x) +1=3³4+1=13.
点评:本题在求代数式的值时充分采用了整体代入的方法.
59.已知实数x ,y 满足2x -3y -1+x -2y +2=0,求2x -
【答案】±23
【解析】 试题分析:要求2x -2224y 的平方根. 54y 的平方根,关键是知道x ,y 的值,由非负数的性质知,几个非负数之和等于零,则每个5
非负数都等于零,从而得到一个关于x ,y 的二元一次方程组.解出x ,y 的值. 试题解析:因为2x -3y -1+x -2y +2=0, 又2x -3y -1≥0,x -2y +2≥0,
所以⎨⎧2x -3y -1=0, ⎧x =8, 44解得⎨所以2x -y =2⨯8-⨯5=12. 55⎩x -2y +2=0, ⎩y =5.
所以±2x -4y =±=±23. 5
a 2-1+-a 2+a -360.若a ,b 为实数,且b =,求-a +b 的值. a +1
【答案】-3
【解析】
试题分析:
因为要使a 2-1与-a 2均有意义.所以a -1≥0,且1-a ≥0,可得出a -1=0.即a =±1.又a +1≠0.所以a =1.进而代入求值.
2222试题解析:因为a ,b 为实数,且a -1≥0,1-a ≥0,所以a -1=1-a =0. 222
a 2-1+-a 2+a 1所以a =±1.又因为a +1≠0,所以a =1.代入b =,得b =. 2a +1
所以-a +b -3=-3.