初中数学中的转化思想
初中数学中的转化思想
北京214中 王永俊
转化思想是常用的数学思想之一.它是指在研究新问题或复杂问题时,常常把问题转化为已知的或比较简单的问题来解决,因此转化思想在初中的代数、几何中成为一个重要的数学思想.
初中的代数、几何中大量地渗透着转化思想,下面仅举几例加以说明.
一、代数中的转化思想
1.概念性的转化
有些问题,在学习时我们并没有意识到它含有转化思想,然而掌握
巧妙转化,使应用得心应手.又如:
例1 解关于x ,y 的方程组
分析 本题若解方程组,解法较繁.但若用方程根的定义则可更漂亮地解决.
解 若a=b时,则方程组有无数组解.因为此时方程组就等价于 x+ay=a2这个二元一次方程,对于任意一个实数x ,都可求得相应的实数y ,因此它有无数组解.若a ≠b ,则由已知方程组的定义,得a 、b 是方程x+yt=t2(即t 2-yt-x=0)的根.
由韦达定理,得a+b=y,ab=-x.
2.方法上的转化
方法上的转化常是通过一定的数学方法使复杂问题降低难度.
例2 把(ab-1)2+(a+b-2)(a+b-2ab)分解因式.
分析 一般地说本题难度很大.但若用换元法就可转化为较易解的问题. 解 注意本题特点,a+b与ab 重复出现,于是设ab =x ,a+b=y,则 原式=(x-1)2+(y-2)(y-2x)
=x2-2(y-1)x+(y-1)2(注意用公式)
=[x-(y-1)]2=[ab-(a+b)+1]2(代回)
=[(a-1)(b-1)]2=(a-1)2(b-1)2.
例3 已知:x 2+x-1=0,求x 3+2x2+5的值.
分析 这是条件求值问题,若由x 2+x-1=0求出x 的值再代入求值,太繁了.但通过变形,用降次的方法进行转化,便迎刃而解了.
解 ∵ x 2+x-1=0,
∴ x 2=1-x.
原式=x(1-x)+2(1-x)+5
=x-x2+2-2x+5
=x-(1-x)+7-2x=6.
转化的方法常不是唯一的.灵活思考会得到不同的转化途径.若把待求式拆拼出已知形式可得下列解法.
解法二 ∵ x 2+x-1=0,
∴原式=(x3+x2-x)+(x2+x+5)
=x(x2+x-1)+(x2+x-1)+6=6.
这叫凑零法.还可以有多种方法,但用多项式除法原理则更简捷. 原式=(x+1)(x2+x-1)+6.
∵ x 2+x-1=0,
∴原式=6.
二、几何中的转化思想
在几何的证明中大量存在转化思想.
1.利用合同变换转化
对称、平移、旋转称为合同变换,在几何中经常出现.
例4 已知梯形ABCD 中,CD ∥AB ,∠BAD+∠ABC=90°,M 、
分析 本题求证中线段的关系较分散.从题目特点考虑,注意到∠BAD+∠ABC=90°,则将AD 、BC 向内平移会出现基本图形Rt △NEF .问题转化为证明MN 为Rt △NEF 斜边上的中线,又转化为AB-CD=EF=2MN即可(证明略) .
2.利用相似变换转化
一些等积式常要用相似变换转化.
例5 如图,△ABC 中,AD=DB,DF 交AC 于E ,交BC 延长线于F .求证:AE ·CF=EC·BF .
不出相似三角形,于是考虑做辅助线转化为相似三角形(或平行线分线
AE ·CF=EC·BF(证明略) .
3.用化归方法转化
“化归”,即把不熟悉的问题转化为与已熟练掌握的题目或定理联系起来思考.
例6 如图,圆内接四边形ABCD 的对角线相交于P 点.求证:AB ·AD ∶CB ·CD=AP∶PC .
分析 这个题难度很大,很难下手,但方法对头就由难转易,如果我们采取化归的办法清理思路就不难了.从求证中看出比例式两边方次不同,可能是右边约去了因式,然而又很难寻找约去的因式,怎么办呢?可考虑“化归”.
我们从求证中看到AB ·AD 与 CB ·CD 都是相邻两边乘积,于是可联想到很容易的一道题,即
已知:△ABC 内接于⊙O ,AD 为△ABC 中BC 边上的高,AE 为△ABC 外接圆的直径.求证:
AB ·AC=AD·AE .
这个题目是很容易证的,只要连结BE ,证明△ABE ∽△ADC ,或连结EC ,证明△ABD ∽△AEC 即可.这个题用语言叙述就是“三角形两边之积等于其外接圆直径与第三边上的高之积”.用这个题的结论去证例6可以发挥绝妙的作用.对例6不必再做分析就可证明.
可见化归方法在转化中作用的奇妙,它的特点是简捷、明了、集约化思考.
4.形数间的转化
有时形中隐含数量关系,可转化为数量关系解决.
例7 如图,矩形 ABCD 中AE=ED,若 EF 把矩形ABCD 的面积分
分析 同学中对这样的问题总觉得不好下手.其实设一些参数用方程
根据梯形面积公式易得方程
由面积转化为线段关系经常需要形数间的转化.
以上这些转化思想在解综合题时将更加精彩.经常地有意识训练转化思想对提高逻辑思维能力大有益处.