基于反正切函数的人均居民用水量S型模型拟合方法研究
摘要 通过对张家口市居民人均用水量数据进行S型曲线拟合以及对原利用反正切函数拟合S型曲线的数学理论分析证明原方法存在不尽合理的隐含假设,根据该数学理论分析对原来的拟合方法进行改进,提出新的利用反正切函数拟合S型曲线的方法并在张家口市人均居民用水量的拟合中应用,证明了新方法拟合的合理性和有效性。
关键词 S型曲线;反正切函数;人均居民用水量;遗传算法;拟合函数
中图分类号 TU991.31 文献标识码 A 文章编号 1007-5739(2015)13-0251-02
在环境、区域一致的地区,影响人均居民生活用水量的主要因素是经济发展水平,当国民收入还非常低时,人们生活上用水只是维持基本的生活,用水量比较少且随着生活水平提高而缓慢增加。当国民收入增加到一定水平,人们生活用水不仅仅是满足基本的生活用水,还伴随着生活水平的提高对水的需求在快速增加。当增加到一定程度后,开始缓慢增加,最终使用水量达到稳定的范围,以保证人们过着舒适的生活[1-2]。此过程可以用一个S型曲线来描述。左其亭[3]提出利用反正切函数拟合S型曲线,即应用原始数据通过N1=aarctan(gdp-b)+c拟合得到预测方程。该模型既能给出人均生活用水量变化区间,又能预测其大小,并给出了郑州市人均居民生活用水量的拟合和预测过程[3]。
1 基本S型模型对张家口市人均居民用水量的拟合结果
在以相同方式对张家口相关数据(表1)进行拟合后,得到公式:
N1=9.987 7arctan(gdp-2.894 4)+71.843
其中:N1为人均居民生活用水量,L/(人・d);GDP为人均GDP,万元/人。
拟合结果平均绝对百分比误差MAPE 5.10%,拟合效果如图1所示。显然,从拟合结果来看并不尽如人意。为此,需要重新讨论拟合函数及其参数设定。
2 基本S型模型拟合分析
对于S型曲线的拟合函数反正切函数f(x)=arctan(x),由于导数值,即反正切函数为单调递增函数,二阶导数,当x>0时,因此反正切函数的拐点只有x=0点。因此,反正切函数是一个只有1个拐点的单调递增函数[3]。
结合生活用水分析中在某国民收入阶段伴随着生活水平的提高对水的需求在快速增加,在之前和之后会变化相对较小的定性分析,拟合函数应该存在2个关键点x1、x2,在2个关键点之间(x1,x2)区间内函数增长速度较快,而在(-∞,x1)和(x2,+∞)区间内函数增长速度缓慢。
在拟合函数反正切函数N1=aarctan(gdp-b)+c中,参数包括a、b、c等3个参数,其中拟合函数b、c代表了函数在x和y方向的平移,x=b、y=c点代表了S型曲线的中心点,取值b=50、c=100,a分别取值2、10、50得到三曲线(图2),三曲线在x=50、y=100中心点处相交。从图形中可以直观感觉出在x处于某(x1,x2)区间时图形处于快速增长区间,而之后增长速度降低。
计算反正切函数N1=aarctan(gdp-b)+c曲率:
对该函数求导得到:
对该函数求解得到数值解±0.831 6,显然由图2可以看出,在区间(-0.831 6,0.831 6)之间由于曲率变化较大因而函数增长速度较快。由于该值不会随着a、b、c等个参数的变化而变化,因此结合生活用水分析,则该拟合函数意味着默认人均国民收入在区间(-0.831 6,0.831 6)区间内人均生活用水量变化最快,事实上在不同的地区随着经济发展程度不同和国民节水意识的不同该区间必然有较大的变化,显然该假设不尽合理。
3 基本S型模型拟合分析
利用反正切函数N1=aarctan(gdp-b)+c拟合人均GDP-人均居民生活用水量函数意味着默认人均国民收入在区间(b-0.831 6,b+0.831 6)区间内人均居民生活用水量变化最快,该假设与事实不符。因此,在公式中增加参数d,将公式变为N1=aarctand(gdp-b)+c,则人均居民生活用水量变化最快区间变为(b-0.831 6/d,b+0.831 6/d),拟合结果平均绝对百分比误差MAPE 2.11%,拟合效果如图3所示。显然,从拟合结果来看,该参数能够更好地拟合人均GDP-人均居民生活用水量函数。
利用遗传算法拟合得到结果如图4所示。其计算公式如下:
N1=5.145 3arctan49.719(gdp-2.604 8)+69.393
4 结语
不同的拟合函数对拟合结果的影响显而易见,只有合理的拟合函数和拟合参数设置,才能产生更为合理的拟合结果为将来的预测和分析服务,利用新S 型模型对张家口市人均居民生活用水量进行预测产生了更为有效和合理的拟合函数,对其他地区的类似计算有一定的参考作用[4-6]。
5 参考文献
[1] 崔慧珊,邓逸群.居民用水量的影响因素研究评述[J].水资源保护,2009,25(1):83-85.
[2] 张雅君,刘全胜.需水量预测方法的评析与择优[J].中国给水排水,2000(17):27-29.
[3] 左其亭.人均生活用水量预测的区间S型模型[J].水利学报,2008,39(3):351-354.
[4] 刘治学,张鑫,王颖华.包头市市区居民生活用水量预测分析[J].水资源与水工程学报,2012(5):67-70.
[5] 李晓峰,刘光中.基于自组织方法的成都市居民生活用水量的预测和分析[J].西南民族学院学报(自然科学版),2002,28(4):534-537.
[6] 李晓峰,刘光中,贺昌政.成都市居民未来生活用水量预测模型的选择[J].四川大学学报(工程科学版),2001,33(6):104-107.