大学物理课后答案第八章 电流与磁场
习题8
6-3 μdI 1dB =0=μ0σωdr
2r 2 大小:
方向:垂直纸面向外。
环心O 处的磁感应强度
B =
方向:垂直纸面向外。
μ0Q ω11
μσωdr =μσω(b -a ) =0⎰a 20
22π(a +b )
b
8-7闭合载流导线弯成如图例8-7所示的形状,载有电流I ,试求:半圆圆心O 处的磁感应强度。
【解】 闭合导线是由直导线和圆弧线组成,根据载流直导线和圆弧导线产生的磁场公2μ0I π
=
416π⋅R
20I =
8π⋅R
μ0I 4R
2
8-8解:① Φ=B ⋅S =(6i +3j +1. 5k ) ⋅(0. 15) i =0. 135Wb
② Φ=B ⋅d S =0
-2
8-9 已知磁感应强度B =2. 0Wb ·m 的均匀磁场,方向沿x 轴正方向,如题8-9图所示.试求:(1)通过图中abcd 面的磁通量;(2)通过图中befc 面的磁通量;(3)通过图中aefd 面的
磁通量.
解: 如题8-9图所示
题8-9图
(1)通过abcd 面积S 1的磁通是
Φ1=B ⋅S 1=2. 0⨯0. 3⨯0. 4=0. 24Wb
(2)通过befc 面积S 2的磁通量
Φ2=B ⋅S 2=0
(3)通过aefd 面积S 3的磁通量
4
Φ3=B ⋅S 3=2⨯0. 3⨯0. 5⨯cos θ=2⨯0. 3⨯0. 5⨯=0. 24Wb (或曰-0. 24Wb )
5
8-10解: B 1p =B 2p =
u 0I 1
2πa
2u 0I 1
=5. 66⨯10-6T 2πa
⇒
2
B p =B 12p +B 22B 1p =p =
θ=arctan
B 2p B 1p
=arctan 1=45o
8-11 在真空中,有两根互相平行的无限长直导线L 1和L 2,相距0.1m ,通有方向相反的电流,I 1=20A,I 2=10A,如题8-11图所示.A ,B 两点与导线在同一平面内.这两点与导线L 2的距离均为5.0cm .试求A ,B 两点处的磁感应强度,以及磁感应强度为零的点的位置.
题8-11图
解:如题8-11图所示, B A 方向垂直纸面向里
B A =
μ0I 1
2π(0. 1-0. 05)
+
μ0I 2
=1. 2⨯10-4T
2π⨯0. 05
(2)设B =0在L 2外侧距离L 2为r 处 则
μ0I
2π(r +0. 1)
-
μI 2
=0 2πr
解得 r =0. 1 m
题8-12图
8-12 如题8-12图所示,两根导线沿半径方向引向铁环上的A ,B 两点,并在很远处与电源相连.已知圆环的粗细均匀,求环中心O 的磁感应强度.
解: 如题8-12图所示,圆心O 点磁场由直电流A ∞和B ∞及两段圆弧上电流I 1与I 2所产生,但A ∞和B ∞在O 点产生的磁场为零。且
I 1电阻R 2θ==. I 2电阻R 12π-θ
I 1产生B 1方向⊥纸面向外
B 1=
I 2产生B 2方向⊥纸面向里
μ0I 1(2π-θ)
,
2R 2π
B 2=
μ0I 2θ
2R 2π
∴
B 1I 1(2π-θ) ==1 B 2I 2θ
有 B 0=B 1+B 2=0
8-13 在一半径R =1.0cm 的无限长半圆柱形金属薄片中,自上而下地有电流I =5.0 A通
过,电流分布均匀. 如题8-13图所示.试求圆柱轴线任一点P 处的磁感应强度.
题8-13图
解:因为金属片无限长,所以圆柱轴线上任一点P 的磁感应强度方向都在圆柱截面上,取
I
坐标如题8-13图所示,取宽为d l 的一无限长直电流d I =d l ,在轴上P 点产生d B 与R
πR
垂直,大小为
I
R d θ
μ0d I μI d θd B ===02 2πR 2πR 2πR
μI cos θd θ
d B x =d B cos θ=02
2πR
μI sin θd θπ
d B y =d B +θ) =-02
22πR
μ0
∴ B x =
⎰
π
2π-2
μ0I μI cos θd θμ0I ππ
=[sin-sin(-)]==6. 37⨯10-5 T 222
2πR 2πR 22πR
B y =⎰(-
π
2π-2
μ0I sin θd θ
) =0
2π2R
-5
∴ B =6. 37⨯10i T
8-14 解:球面取长dl =Rd θ,该微元弧上绕有dN 匝半径为y 的线圈
2NI N 2N
d θ,dI 在球心O 处的B dl =d θ,通过该圆环的电流:dI =IdN =
R ππ2
μ0dIy 2μ0NIy 2
大小为:dB ==d θ,将几何关系x =R sin θ, y =R cos θ代入33
dN =
2(x 2+y 2) 2π(x 2+y 2) 2
π
μNI μNI μ0NI 2
上式得:dB =cos θd θ,∴o 处的B =⎰dB =⎰20cos 2θ=0,方向沿x
0πR 4R πR
轴。
题8-15图
8-15两平行长直导线相距d =40cm,每根导线载有电流I 1=I 2=20A,如题8-15图所示.求: (1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点A 处的磁感应强度; (2)通过图中斜线所示面积的磁通量.(r 1=r 3=10cm, l =25cm). 解:(1) B A =
μ0I 1
d 2π()
2
+
μ0I 2
d 2π()
2
=4⨯10-5 T 方向⊥纸面向外
(2)取面元 d S =l d r
Φ=⎰
r 1+r 2
r 1
[
μ1I 1μ0I 1μI l μI l 1μI l +]ldr =01ln 3-02ln =1ln 3=2. 2⨯10-6Wb 2πr 2π(d -r ) 2π2π3π
8-16 一根很长的铜导线载有电流10A ,设电流均匀分布. 在导线内部作一平面S ,如题8-16
图所示.试计算通过S 平面的磁通量(沿导线长度方向取长为1m 的一段作计算) .铜的磁导率
μ=μ0.
解:由安培环路定律求距圆导线轴为r 处的磁感应强度
B ⋅d l =μ0∑I
l
Ir 2
B 2πr =μ02
R
∴ B =
μ0Ir
2πR 2
题 8-16 图
R μIr μ0I 0
磁通量 Φm =⎰B ⋅d S =⎰dr ==10-6 Wb 2(s ) 02πR 4π
8-17 解:dB =
μ0I
2π(b +r -x )
,B =
⎰
b
dB =
μ0I r +b
,垂直纸面向里 ln
2πb r
8-18 解 B =μ0i
题8-19图
8-19 题8-19图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面,内、外半径分别为a , b ,导体内载有沿轴线方向的电流I ,且I 均匀地分布在管的横截面上.设导体的磁导率μ≈μ0,试证明导体内部各点(a
r 2-a 2
B =
r 2π(b 2-a 2)
μ0I
解:取闭合回路l =2πr (a
则 B ⋅d l =B 2πr
l
∑I =(πr 2-πa )
2
I
22
πb -πa
μ0I (r 2-a 2)
∴ B =
2πr (b 2-a 2)
8-20一根很长的同轴电缆,由一导体圆柱(半径为a ) 和一同轴的导体圆管(内、外半径分别 为b , c ) 构成,如题8-20图所示.使用时,电流I 从一导体流去,从另一导体流回.设电流都是均匀地分布在导体的横截面上,求:(1)导体圆柱内(r <a ),(2)两导体之间(a <r <b ) ,(3)导体圆筒内(b <r <c ) 以及(4)电缆外(r >c ) 各点处磁感应强度的大小 解:
L
B ⋅d l =μ0∑I
Ir 2
(1)r
R
B =
(2) a
μ0I
μ0Ir
2
2πR
B =
μ0I
2πr
r 2-b 2
(3)b
c -b
μ0I (c 2-r 2) B =
2πr (c 2-b 2)
(4)r >c B 2πr =0
B =0
题8-20图
8-22如例8-22图所示,在半径为R 长直圆柱形导体内,开一个半径为r 圆柱形空洞,空洞的轴线与导体的轴线平行,相距为d ,在导体中沿轴线方向通有均匀分布的电流,其电流密度为j 。
(1)(1)求O 、O 处的磁感强度; (2)(2)证明空腔内磁场均匀。
【解】 将此导体等效地看作一个半径为R ,电流均匀分布的大圆柱体,与另一个半径
/
,方向:垂直于OO 轴向上。
/
故
B 0=
02d
O /轴上一点的磁感应强度为
/ /
B 10和B 20分别为大圆柱和小圆柱在O /轴上一点产生的磁感应强度。
/ / /B O =B 10+B 20
B 10
/
=
μ0I 1μ0μjd
=⋅j πd 2=0
2πd 2πd 2
B 20=0
/
故 B 0=B 10
//
=
μ0jd
2
,方向:垂直于OO 轴向上。
/
/
(2) (2) 设空腔内任一点P 距O 为r 1,距O 为r 2,明显r 1-r 2=d 。大圆柱
和小圆柱在P 点的磁场大小为
μμjr μμjr 22=0⋅j πr 1=01=0⋅j πr 2=02
2,B 22πr 22 B 12πr 1
方向垂直于r 1和r 2,可得
μ0 =μ0j ⨯r =(-j ) ⨯r 21
B B 122,2
P 点的合磁感强度为
μ0
=μ0j ⨯r (-j ) ⨯r 21B =B 1+B 22+2
μ0 μ j ⨯(r 1-r 2) =0j ⨯d ⇒B =22
jd /
2B =大小 ,方向垂直于OO 轴向上。
使粒子沿B 的方向作直线运动。
μ0