新编高中数学竞赛用三角函数公式大全
三角函数公式汇总
一、任意角的三角函数
在角α的终边上任取一点P (x , y ) ，记：r =．．
正弦：sin α=x 2+y 2， y x y 余弦：cos α= 正切：tan α= r r x
二、同角三角函数的基本关系式 商数关系：tan α=
2sin α cos α22222平方关系：sin α+cos α=1，1+tan α=sec α，1+cot α=csc α。
三、诱导公式
⑴α+2k π(k ∈Z ) 、-α、π+α、π-α、2π-α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ．．
⑵π
2+α、π
2-α、3π3π+α、-α的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把22
锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限） α看成．．
四、和角公式和差角公式
sin(α+β) =sin α⋅cos β+cos α⋅sin β sin(α-β) =sin α⋅cos β-cos α⋅sin β cos(α+β) =cos α⋅cos β-sin α⋅sin β c o s α(-β) =c o αs ⋅c o s β+s i n α⋅s i n β tan(α+β) =
五、二倍角公式 tan α+tan βtan α-tan β tan( α-β) =1-tan α⋅tan β1+tan α⋅tan β
sin 2α=2sin αcos α
cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α…(*)
tan 2α=2tan α 21-tan α
二倍角的余弦公式(*) 有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）
1+cos 2α=2cos 2α 1-cos 2α=2sin 2α
1+sin 2α=(sinα+cos α) 2
1-sin 2α=(sinα-cos α) 2
六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）
2tan α2tan α1-tan 2αsin 2α=tan 2α=cos 2α=，，。 1+tan 2α1-tan 2α1+tan 2α
万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切来表示。 ．．
七、和差化积公式
sin α+sin β=2sin α+β
2
2cos α-β22 sin α-sin β=2cos α+β22sin α-β22 cos α+cos β=2cos
八、积化和差公式 α+βcos α-β cos α-cos β=-2sin α+βsin α-β
sin α⋅cos β=
cos α⋅cos β=11[sin(α+β) +sin(α-β) ] c o s α⋅s i n β=[s i n α(+β) -s i n α(-β) ] 2211[cos(α+β) +cos(α-β) ] s i n α⋅s i n β=-[c o s α(+β) -c o s α(-β) ] 22
我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。
九、辅助角公式
a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +ϕ)
其中：角ϕ的终边所在的象限与点(a , b ) 所在的象限相同，
sin ϕ=
十、正弦定理 b a 2+b 2，cos ϕ=a a 2+b 2，tan ϕ=b 。 a
a b c ===2R （R 为∆ABC 外接圆半径） sin A sin B sin C
十一、余弦定理
a =b +c -2bc ⋅cos A b =a +c -2ac ⋅cos B c =a +b -2ab ⋅cos C 十二、三角形的面积公式
S ∆ABC =
S ∆ABC =2222222221⨯底⨯高 2 S ∆ABC =111ab sin C =bc sin A =ca sin B （两边一夹角） 222abc （R 为∆ABC 外接圆半径） 4R
a +b +c ⋅r （r 为∆ABC 内切圆半径） 2S ∆ABC =
S ∆ABC =
p (p -a )(p -b )(p -c ) …海仑公式（其中p =a +b +c ） 2