热辐射的普朗克积分解

第33卷　第6期　　　　　　　　　　　　　　　激光与红外　2003年12月　　　　　　　　　　　　　　LASER　&　INFRARED

Vol.33,No.6December,2003

・红外技术・

　　文章编号:100125078(2003)0620440203

热辐射传感器相关的普朗克积分解

陈利霞1,卢文全2,1

(1.;

2.,摘　要:。给出了考虑到光纤传输函数和硅2,其结果与文献的实验较为一致。文末还。

;光纤传输函数;硅2光电检测器;simpson公式　　　文献标识码:A

PlankIntegralResolutionRelatedtoThermalRadiationSensor

CHENLi2xia1,LUWen2quan2,DINGXuan2hao1

(1.Dept.ofcomputingscienceandappliedphysics,Guilinuniversityofelectronic

)technology,Guilin541004,China;2.Guilininstituteofopticalcommunications,Guilin541004,China

Abstract:Theexpressionofplankintegralinuniversalcaseisproposed,andthenumericalsolutionofplankintegralispre2

sentedwhenthespectralresponsecharacteristicofSi2optoelectronicdetectorandtheopticalfibertransmissionfunctionareconsidered.Theresultisidenticalwiththeexperimentofliterature.Inaddition,attheendofthepaper,severalproblemsofplankintegralarediscussed.

Keywords:thermalradiationsensor;plankintegral;opticalfibertransmissionfunction;Si2optoelectronicdetector;simp2sonformula

1　引　言

普朗克定律是重要物理学定律之一,其具体的数学表达式为:

5-1

ε(λ,T)・(λ(exp(c2/λW(λ,T)=c1・・T)-1))λ

(1)

λ,T)是物体在开尔文温度T时单位体积内式中W(

λ是辐射光波的波长:c1=3.7415辐射出的光功率;

×10-16w・m2和c2=1.4388×10-2m・K分别称为第一和第二热辐射常数。

ε(λ,T)是物体的辐射系数,一般情况下它是T和λ的函数。对于黑体则ε(λ,T)=1,从而(1)式中的W(λ,T)变为W(λ,T):

5-1

T)-1](2)Wb(λ,T)=cλ[exp(c2/λ在实际应用(1)式或(2)式时,常常涉及这两个

函数对波长λ求积分。早年时,人们把Wb(λ,T)在λ[0,∞]域内积分得到E∞(λ,T)为[2]:

E∞(λ,T)=

[1]

曼常数。应该注意的是对于热辐射而言,辐射光波

μ长不可能为0或∞,通常认为[2]它是0.3m到

μm。50

近些年来,人们在利用遥感技术进行地震预测预报的理论研究时,已完成式(2)对λ在有界域[λa,λb]内积分Eb(T)的计算[3]。我们将其结果整理为:

Eb(T)=

∞

λ=∫λWb(λ,T)d

a

λb

Σ(33n=1λλcnab2

2-nc2/λT2-nc2/λTbλa2λ+2222λaλbc2n

-nc2/λT-nc2/λaTbλ3λ+33λλcnab2

3-λnc2/λTb

3-nc2/λTa

∫0

∞

4

λ=σWb(λ,T)dT

(3)

式(3)是物理学中有名的斯蒂芬-玻耳兹曼定律。

式中σ=5.6696×10-8w/m2・K4,称为斯蒂芬2玻耳兹

　　基金项目:广西科技攻关项目(02280804);广西自然科学基金项

目(0135007).　　作者简介:陈利霞(1979-),女,桂林电子工业学院计算科学与应用物理系硕士研究生,主要从事小波分析与信号处理等方面的研究。

收稿日期:2003207221

第6期　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　激光与红外441

c2n

(3)式和(4)式都未考虑非黑体时的ε(λ,T)。而且

　　+

4-4

nc2/λTb

-4

nc2/λTa

)(4)

μμ4m和λm之间的表达式为:b=1.1

)=1.0×R(λ10Rmax(1.7563λ-6.3586λ+8.

32

(9)7295λ-5.7039λ+1.7969λ-0.2176)

(9)式中的Rmax是R(λ)光谱响应的最大值,以A/w或μA/μw为单位。由(7)-(9),S和R均与

4

5

4

文献[4]指出,在热辐射应用理论分析时,还应考虑

辐射体到光检测器之间光的损耗谱特性和光检测器响应度的光谱响应特性。遗憾的是该文并未给出其处理这些光谱特性的方法。我们在本文中不仅提出了普朗克积分的普遍表达形式,而且针对光纤和硅-光电检测器的光谱响应特性,给出了普朗克积分的数值解。2　普朗克积分的普遍形式

()光谱特性后,(T)的普遍表达形式为:

E(T)=

=0(8)式和(9)式10-。simpson公式

,较为常见的是采用simpson公式,它的推广形式为函数f(x)在区间[xa,

[6]

xb]上的积分I是:温度无关,I=

b

λaWb(λ,

ε(λ,T)・T)・S(λ,T)・

∫xf(x)dx=

a

xb

3

[f0+4(f1+f3+…+f2n-1)

λ(5)　　　R(λ,T)d

(5)式中的S(λ,T)是从辐射源到光纤检测器之间的传输函数;R(λ,T)是光检测器响应度的波长关系函数。显然,要完成积分E(T),必须给出ε(λ,T)、S(λ,T)以及R(λ,T)这三个函数的表达式。到目前为止,人们尚未找到一个ε(λ,T)的解析式,不防暂令其为常数ε0。　　对于光纤或大气传输而言,S(λ,T)的函数关系也较为复杂。下面我们结合热辐射型光纤传感器的特性研究,给出了积分(5)式的计算方法,也就是我们将详细讲述以下(6)式表达的这一普朗克积分ESR(T)的解法。

ε・c・S(λ,T)・R(λ,T)λbλ(6)ESR(T)=∫d5λaλ[exp(c2/λT)-1]

3　曲线拟合与积分的数值计算方法

(6)式中的S(λ,T)和R(λ,T)一般都是以实验曲线方式给出,这里将用多项式逼近方法来拟合出它们的近似解析表达式。

3.1　S(λ,T)和R(λ,T)的表达式

从辐射源发出的光经过一定的传输耦合后进入光纤,再由光纤输出到硅-光电检测器上。光的传输函数S(λ,T)可以表达成[4]:

)・-A(λl

(7)S(λ,T)=S0e

式中S0是进入光纤前传输系数,它可以认为与波长λ和温度T无关。A(λ)(dB/km)是光纤的损耗系数,在λ1和λ2之间,由实验给出的曲线经拟合成以下表达式[5]:

32

)=Amax(13.0719λA(λ-23.0818λ+0.7759λ

(8)+10.5681)

(7)式中l是光纤的长度。(8)式中的Amax=7kB/km是在λa和λb之间光纤损耗的最大值。对于硅-光

)在λ电检测器,文献[5]已给出其响应度R(λa=0.

(10)+2(f2+f4+…+f2n-2)+f2n]+En

积分(10)式的几何解释是:把[xa,xb]这一积分区间,用2n+1个点,分成2n个等间隔且长度为h的子区间,并按照以下关系来安排这2n+1个点及其

对应的被积函数值fi

xa=x0

=xi+1-xi(i=0,1,…2n)2nfi=f(xi)h=

(11)(12)(13)

(10)式中的En是积分近似计算引入的误差值。它

的具体表达是:

()54

EnΦ4max|f(x)|(2n)180・3.3　积分ESR(T)的数值解

把(7)到(9)式代入(6)式得到:

λbλESR(T)=εd0c1∫λa5

λ[exp()-1]

λ

T

(14)

ε≡0c1S0Rmax∫

λb

λaF(λ,

λT)d(15)

式中被积函数F(λ,T)定义为:32

(λ)(F,T=+5

λ

)5

λ543

×(

c[exp()-1]

λ

T

)(16)

[exp()-1]

λT

由于ESR(T)的被积函数F(λ,T)是λ和T的函数,在应用(9)到(14)式时,除令λ=λi之外,还应以温

+

2

度Tj为参数计算出被积函数Fi,j(λj,Tj)的值(j=

μ0,1,2…m),这样,取n=5和λm和λa=0.4b=1.

442激光与红外　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第33卷

μ1m,按照(12)式即可得出:

h=0.07,λ0=0.40,λ1=0.47,λ2=0.54,λ3=0.61,λ4=0.68,

λ5=0.75,λ6=0.82,λ7=0.89,λ8=0.96,λ9=1.03,λ10=1.1,再取

T1=1070,T2=1140,T3=1210T4=1280,T5=1350,T6=1420,

T7=1490,T8=1560,结合前面给出的C2值,便

可以按照(15)式计算出被积函数F(λ,T)素Fi,j(λ将这些Fi,j(j,Tj)的值。

成的(17)式中,并注意到h=0.=04,=0.2,Rmax=0.85温度TjTj

。

ESR(Tj)=F4,j+…+F2n-3

[,

j+(F1,j+F3,j+…+F2n-1,j)+2(F2,j+

(17)

2,j)+F2n,j]

实际计算结果如图1所示。它表明随着温度增加辐射功率增加是很快的。

T/k　　　　

　图1　积分ESR(T)与温度T的关系曲线

T/k　　　　

差是不同的。

5　讨　论

图1所示的积分结果与实验较为一致[5]。只是由图2可见,温度越高误差才越小。这里我们将着重讨论以下几个问题。

首先,,当引入ε(λ,)、S(,T)T),被积函数F(,),这时应()|,T)|完成积分才可以得。

,在拟合R(λ,T)和S(λ,T)时确定的误差,将以何种形式转移到积分误差EnSR(T)中去,这是一个更深入的理论问题,有待作进一步的探讨。

再次,文献[3]给出的Wb(λ,T)的解析解(4)式是一个无穷级数,其收敛性如何尚需要研究。文中

λ=3cm和λ=3.5cm来验证其计算结用T=300K,

果的正确性似有质疑。因为按照(2)式导出的维恩位移公式[1]

λμ(19)・T=2897.9m・K

可以算出T=300K时的峰值波长λmax=μμ9.66m。这时由计算可知λ=3cm=30000m点的辐射功率已经是完全可以忽略不计的了。6　结束语

由文中(2)式或(1)式描述的普朗克定律,已经提出一百多年了。由于光电子技术的兴起与迅速发展,这一定律已在更广泛的领域获得应用,并引起了普朗克积分的更多研究。因此,本文提出的普朗克积分普遍表达式形式具有重要意义。文中把一元函数积分近似计算的simpson公式演变成(17)式来完成普朗克积分的近似计算,不失为一种简单、直观而适用的优良方法。计算科学已经发展到相当高的水平,一定要求出普朗克积分这一本来较为复杂问题的解析解,不一定是值得和必要的。只是在进行普朗克积分的近似计算时,应该特别注意误差评估与所针对的物理问题的仔细分析工作,才能获得更为符合实际的计算结果。参考文献:

[1]　李景镇,等.光学手册[M].山西科学出版社,西安,

1996.

[2]　E.M.斯帕罗,顾传保,等.辐射传热[M],高教出版社,

1982.[3]　邓明德,等.黑体辐射公式的积分解及应用[J],遥感信

息,2002.1.[4]　MGottlieb,GBBrandt,Appliedoptics[J],(1981)20(19):3408.[5]　陈利霞,等.热辐射型光纤高温传感器的理论与实验研

　图2　积分误差与温度的关系

4　误差分析

　　按照(14)式,上一节ESR(T)的近似计算引入的

误差EnSR(Tj)应该是:

5(4)

(λ,Tj)|(18)EnSR(Tj)=max|Fλ4

180・10

(4)

(λ,T),再计由(16)式给出的F(λ,T)计算出Fλ

(4)

(λ,Tj)|代入(18)式,即得出算出max|Fλ

()

ESR(T)

与Tj的关系如图2所示。它表明不同温度下其误

究[J].光通信技术,2003.[6]　PhilipJ.DavesPhilipRabinowitz.数值积分法[M].高等教

育出版社,1985.