双曲线05

1

1(a>0，b>0)

1(m>b>0)的离心率之积大于1，

则以a，b，m为边长的三角形一定是( )

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】D

[1**********]

，即(a＋b)(m－b)>am，即－ab＋b(m－b)>0，即a＋b

2．已知F1、F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=600，则|PF|PF2| 1|

（A）2 （B）4 （C）6 （D）8

【答案】B

【解析】本试题主要考查双曲线的定义，考查余弦定理的应用．由双曲线的定义得

2

2

2

①,

又

,由余弦定

理

2-

B．

x2

y21(n1)的两焦点为F1,F2，P在双曲线上且满足

3．双曲线n

． |PF1||PF2|，则PF1F2的面积为（ ）A．1 B．【答案】A

1

C．2 D．4 2

|PF1||PF2|【解析】

由|PF1|PF2|



|PF1||PF2|1222

RtS|PF1||PF2|1． ∴|PF，为，∴PFF||PF||FF|PFF12121212

2

4．

为

A

B

C

D

【答案】C

【解析】略

5

）

2 【答案】C 【解析】

试题分析：

设akk0，

考点：双曲线的性质.

C. 1的两条渐近线围成的三角形的面积为( )

6．抛物线y＝8x

2

．

【答案】A

1的渐近线方程为y

【解析】y＝8x的准线为x＝－2

，所2

以S

2³2

7．若双曲线x2-y2=1的左支上一点P(a,b)到直线y=x

则a+b的值为（ ）

C.-2 D.2 【答案】A

【解析】P点在双曲线上,有a2-b2=1即(a+b)(a-b)=1,且与y=x

则

且a0,

所以

8

,

( )

C.

D.

【答案】A

5),

(0,±

y

.

9．已知F1,F

2a＞0,b＞0）的左、右焦点，O为原点，A为

右顶点，P

离心（ ）

率

取

12a，则双曲线值

范

围

e

的是

A．5 B．2,5 C． 1,5 D． 1,2 【答案】B 【解析】

试题分析： F1,F2是左、右焦点， P为双曲线左支上的任意一点，所

以

代

入

得:

≥

,

又点P是双曲线左只上任意一点，所以4aca,e5

，又当点P

12a0，

caae2， 因此:2

e5 . 即

考点：双曲线的几何定义及双曲线的性质和均值不等式.

10．已知PF1,F2为双曲线的左右焦点，

A

【答案】A 【解析】略

） D．3

B．5 C．

11．

F1作x轴的垂线交双曲线于A，B两点，

若双曲线右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围为 A．（2，+∞） B．（1，2） C．

D．（1

【答案】A 【解析】

试题分析：如图，令B(c,t)，由于双曲线右顶点在以AB为直径的圆内，而右顶点到

左焦点的距离为ac，则tac。由于点B

，又因为b2c2，所

以2

A。

a2，所

以

考点：双曲线的性质

点评：解决双曲线的问题，有时要用到双曲线的特点：双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值是为２ａ．

12

离

心率为（ ）

A

B

C

D

【答案】B 【解析】

13．已知双曲线xy2上任意一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为定值，则这个定值为（ ）

(A)2 (B)4 (C)8 (D)16

【答案】B 【解析】略

14．已知抛物线y

8x2

离心率为（ ） A

【答案】C 【解析】

试题分析：抛物线的焦点坐标为2,0，也是双曲线的一个焦点，所以a12，解

2

2

考点：1.抛物线的图像与性质；2.双曲线的图像与性质

a>0，b>0）的左、右焦点，P为双曲线右支上

15．设F1, F2

为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是

A．（1

．（1，3） C．（1，3] D．

3） 【答案】C

【解析】略

16．

A作斜率为2的直线l，若l与双曲线M的两条

渐近线分别相交于点B．C，且BC2AB，则双曲线M的离心率是（ ） A

B

C

D

【答案】C 【解析】

试题分析：由双曲线方程可知，顶点A（1,0）,所以直线l的方程为y2x2，分别与

渐近线ybx,ybx联立可得点B

C

BC2AB，根据向量的坐标运算，可得b

4考点：本小题主要考查双曲线的基本性质和向量的坐标运算.

点评：解决本小题的关键是根据已知条件求出B,C的坐标，其实只求出横坐标即可，解决此类问题，要注意恰当转化.

17．已知中心在原点，焦点在y

（ ）

A．y2x B

【答案】D 【解析】

试题分析：因为双曲线焦点在y轴上，由双曲线a,b,c,e

D。

考点：本题主要考查双曲线的几何性质。

点评：基础题，作为选择题，可以利用结合选项代人验证。

18

的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A、

B

则|BF2|+|AF2|的最小值为(

)

【答案】B

22

知

a=4,b=3,

∴c∴F1

2

2

又点A、B在双曲线左支上,

∴|AF2|-|AF1|=4,|BF2|-|BF1|=4, ∴|AF2|=4+|AF1|,|BF2|=4+|BF1|, ∴|AF2|+|BF2|=8+|AF1|+|BF1|.

要求|AF2|+|BF2|的最小值,只要求|AF1

|+|BF1|的最小值,而|AF1|+|BF1|最小为2∴(|AF2

|+|BF2|)min=8+3=11.故选B.

F1、

F2分别为双曲线的左右焦点，19．若P则

（ ）

A . 2或6 B .6 C.2 D. 7 【答案】B

【解析】略

20．己知抛物线y2px(p0)的焦点F

2

焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为（ ） A

．2 C

1 【答案】A 【解析】 试题分析：

(c,2c)在双曲线上，因0e1，所

考点：抛物线通径的应用

21．它到右焦点及左准线的距离相等，

则双曲线离心率的取值范围是 ( )

A．

【答案】A

【解析】设右支上存在一点P，使P到右焦点F2的距离等于它到左准线的距离.根据双曲线的第二定义，则

2

22． 抛物线y＝8x1的渐近线的距离为( )

2

A．1 【答案】A

【解析】

试题分析：抛物线焦点F

(2,0)

F

考点：抛物线焦点坐标，双曲线的渐近线方程，点到线的距离公式

y2

1的实轴长为 ( ) 23．双曲线x9

2

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】

y2

x129试题分析：由双曲线

a1.所以

2

a1.又因为双曲线的长轴为2a2，故选C.本小题关键是考查双曲线的标准方程，

以及双曲线实轴长为2a，这也是易错点，值得注意. 考点：1.双曲线的标准方程.2.实轴的概念.

24．

右焦点分别为F1，F2，点A在双曲

线上，且AF1

x

【答案】A 【解析】略

25．双曲线xy2,若抛物线yax的焦点恰好为该双曲线的右焦点，则a的值为 ( )

【答案】D

【解析】解：因为双曲线xy2,若抛物线yax的焦点（a/4,0）,恰好为该双曲线的右焦点(2,0),因此a=2,a=8,选D

2

2

2

2

2

2

B.2 C.4 D.8

26

F，P是右支上任意一点，

以P为圆心，PF

则的值为（ ）

【解析】本题考查双曲线的定义和几何性质及平面几何知识.

因为以P为圆心，PF长为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于|PF|，所以点P

到右准线的距离

是d

|PF|,根据双曲线定义

：方

程

|PF|edacos,c1(

又由双曲线标准

x2y2

212

cossin

于

知



2

),

则

e

c1;acos

是



1c



2

s



3

故选,,C 2

5

2

.

6

27

点F1,F2，P

） A、ma B

【答案】C

【解析】

，设P是两曲线在第一象限的交点，则有曲线定义，可得st2m,st2a、m2a2 D

C正确。 考点：1椭圆的定义；2双曲线的定义。

28渐近线方程为

B

A C．y2x D【答案】B

【解析】本题考查双曲线的标准方程,几何性质.

x2222

因为双曲线2y1的一个焦点坐标为(所以c又ca13,所

ax2y21，则其渐近线方程为y以a2,则双曲线标准方程为x.故选B 22

3x2y0，29．则实数a的值为（ ）．

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

所以双曲

渐近线方程为试题分析

3x2y0，所以

30．设动点M到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)的距离之差等于6,则P点的轨迹方程是( )

x2y2y2x2

=1 A.=1 B.916916x2y2x2y2

C. =1(x≤-3) D.=1(x≥3) 916916

【答案】D

【解析】双曲线的定义是动点到两定点的距离之差的绝对值,没有绝对值,只能代表双曲线的一支

.

P在双曲线上且F1PF2900， 31．设F1,F2则F

1PF2的面积是（ ）

【答案】A

a2,b1,c设|PF1|=s,|PF2|=t；根据

22

双曲线定义得：|st|4；st2st16

22

又F1PF2900，所以s2t2|FF|4c20，所以st

2,SF1PF212

故选A

1

st1. 2

O为坐标原点，32．

F，





P在x轴上方且在双曲线上，则OPFP的最小值为（ ）

【答案】B

x28y的焦点为F(0,2).

所以a21

32

2

2

设P(x,y)，因为点P在x



OP(x,y)，FP(x,y2)



OPFPx2y(y2)x2y22y



所以OPFP故选B.

【命题意图】本题主要考查抛物线与双曲线的方程及其几何性质以及最值问题.

FAA331，顶点为1，2，P

点，则分别以线段

是双曲线上任意一

PF1,A1A2为直径的两圆一定（ ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．以上情况都有可能

【答案】B

【解析】考点：双曲线的简单性质；圆与圆的位置关系及其判定．

分析：由圆与圆的位置关系，判断两圆的位置关系需判断圆心距与半径和或差的关系，本题中圆心距即为焦点三角形的中位线，利用双曲线的定义即可证明圆心距等于半径之差，故为内切

解答：解：如图，

设以线段PF1，A1A2为直径的两圆

的圆心坐标分别为B，O，半径分别为R，r

在三角形PF1F2中，圆心距|OB|=|PF2|/2=(|PF1|-2a)/2=|PF1|/2-a= R-r ∴分别以线段PF1，A1A2为直径的两圆一定是内切

点评：本题考查了双曲线的定义，圆与圆的位置关系及其判断，恰当的将双曲线定义与半径和、差联系起来，是解决本题的关键

34

，则当m2,1时，该曲线的离心率e的取值范围是 （ ） A

C

【答案】C 【解析】

试题分析：由题意可知：二次曲线为双曲线，且a24,b2m，所以c24m，

因为m

2,1考点：双曲线性质的应用．

C． 35．双曲线xy的实轴长是

（A）

【答案】C

x2y2

1,则实轴在x轴上，实轴长是【解析】双曲线xy化为标准方程得

48





4.故选C

( ) 36．抛物线x

8yA．1 B．2

2

C

．

【答案】A 【解析】

试题分析：抛物线x8y的焦点为F（0，2）.

2

所以抛物线x8y

2

A.

考点：1、抛物线与双曲线；2、点到直线的距离.

y2

37．已知曲线xy10与双曲线x21(b0)的渐近线相切，则此双曲线的

b

2

2

焦距等于（ ）

A.

B. C. 4

D. 【答案】D. 【解析】

y2

由已知，曲线xy10为关于y轴对称的抛物线，若双曲线x21(b0)的

b

2

2

渐近线与抛物线相切，则抛物线与渐近线ybx有且仅有一个交点，联立方程

yx21

，得x2bx10，所以b240，解得b2，又双曲线中a1，

ybx

所以c

5，故焦距2c2.

38．双曲线的焦点为0,6,06,且经过点A5,6,则其标准方程为（ ）

A

【答案】B

【解析】

因此，该双

考点：双曲线的标准方程．

474

39．已知双曲线过点(4，3，渐近线方程为y＝±3，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是 ( ) 47163 3 C．4

D.3 【答案】D 【解析】略

40．则p的值为（ ） y2=2px的准线上，

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

【答案】C 【解析】

试题分析：

考点：双曲线抛物线的几何性质

点评：圆锥曲线的几何性质是常考的知识点，需熟练掌握。双曲线中有c2a2b2，区别椭圆中a2c2b2

41．设F1、

F2(a0,b0)的两个焦点，P

在双曲线上，若

）

A

B. C. 2

D. 【答案】B 【解析】略

【答案】D

【解析】a2=25,b2=9,则c

2=16,c=4,椭圆焦点坐标为(4

，0)、(－4，0). 双曲线的焦点仍为(4，0)、(－4，0)，由于

e=2,c=4, ∴a=2,b2=c2－a2

43．已知抛物线y＝2px(p＞0)

1(a＞

0，b＞0)的一条渐近线交于

2

一点M(1，m)，点到抛物线焦点的距离为3，则双曲线的离心率等于( ) A．3 B．

【答案】

A

【解析】点M1＝3，∴p＝

4， 2

∴抛物线方程为y＝8x，∴m＝8.双曲线的渐近线方程y

，两边平方得y

2

2

x，把(1，m)代入上式得8

b2＝8a2.

2

∴双曲线的离心率e3. 44．已知动点M(x,y)则M的

轨迹方程是（ ）

【答案】C 【解析】

试题分析：这个方程相信读者一定可以化简出最终结论（无非就是移项平方去根号），但如果考虑到方程中各式子的几何意义的话，可能解法更好，此方程表示点M与到点而这正好符合双曲线的定义，点M的轨迹(5,0)的距离比到点(5,0)的距离之差为8，是双曲线，只不过是右支。

考点：方程的化简与双曲线的定义。

45．已知双曲线x1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则

2



PA1²PF2的最小值为( )

A．－2 B

【答案】A 【解析】 试

题

分

析

：

设

C．1 D．0 Px,yx1

，

A11,0,F22,0



PA1PF21x,y2x,y

x2x2y2x2x23x

234x2x5当x1时取得最小值-2

考点：双曲线性质及函数求最值 点评：函数求最值注意定义域的范围

46Fl分别与C

的两



渐近线交于点P与Q，若FPPQ，则C的渐近线的斜率为（ ）

（A

（B）2 （C）1 （D

【答案】A 【解析】

试题分析：如图:

双曲线左焦点Fc,0 ,直线

l 的方程为两条渐近又FPPQ所以P 线方程为

是

FQ

中点,所

以

.

考点：双曲线性质,双曲线的渐进线,求两直线交点坐标,平面向量的几何意义.

47．F1，F2

F1的直线l与双

曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|:|BF2|:|AF2|3:4:5，则双曲线的离心率是（ ）

A

．2 D

【答案】A 【解析】

试题分析：设|AF1|=m，|AB|=3n，则|BF2|=4n，|AF2|=5 n， 根据双曲线的定义，得|AF2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|=2a 即5n–m=（3n+m）-4n=2a，解之得m=3n，a=n

∵|AB|:|BF2|:|AF2|3:4:5，得△ABF2是以B为直角的直角三角形，

∴

2

2

2

在△F2AF1中，|FF12||AF1||AF2|2|AF1||AF

2|cosF2AF2

因此，该双曲线的离心率考点：双曲线的简单性质．

A. x2y21的离心率e2,则该双曲线两条准线间的距离为

48． 已知是双曲线m3

( )

A. 2 B. 【答案】C 【解析】m0,

31 C. 1 D. 22

m3m

2

x2-y2=8的右焦点且斜率为2

( )

【答案】C

【解析】双曲线x2-y2

=8,右焦点F2(4,0),过F2斜率为2的直线方程为y=2(x-4),代入x2-y2=8中,消去y得3x2-32x+72=0,据弦长公式1-x2

【答案】B

【解析】数形结合法.动点P(x,y

)到定点(－1,－1)和定直线x+y－2=0

51

）

A

【答案】A

【解析】

．y2x Dcab,

2

2

2

双曲线的方程可知为焦点在x轴上，因此为

故选A. 考点：本试题主要考查了双曲线的离心率的性质的运用，和渐近线方程的求解问题。 点评：解决该试题的关键是先确定焦点的位置是在那个轴上，然后根据渐近线方程的求

解，主要得到a，b的比值即可。

52

a>0，b>0）的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲

线的离心率为（ ） 【答案】B

【解析】依题意可得2a,2b,2c成等比数列，所以4b24ac，则b2acc2a2，

解得c

cB 。因为ca

0，所以c

，从而e

a53．已知直线2x－y＋6＝0过双曲线C

离心率为( )

A

B、2 C、3 D、4

【答案】C 【解析】

2

试题分析：由题意得双曲线的一个焦点为(－3，0)，则m＝3－8＝1，则C的离心率等于3.

考点：1.双曲线的标准方程；2.双曲线的离心率.

b＞0）的焦点，则b=（ ） 54

【答案】C

【解析】略

55．已知F

1,F2p为双曲线左支上一

8a，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）

A．(1,3) 【答案】C 【解析】

B．(1,2) C．(1,3]

(1,2]

56

）

A.

2

【答案】B 【解析】

B. 考点：双曲线的性质.

57．直线x

t交于A，B ( )

A．(1,) B

C

【答案】C

【解析】设yA

yBF2(c,0)两个向量OAOB若在以

AB为直径的圆外，所以

故选C.

58

为（ ）

A．y2x B

【答案】C

【解析】

考点：双曲线的渐近线方程．

2

x2y21

59相切，则双曲线的

离心率为（ ）．

A．2 B

【答案】C 【解析】

bxay0，圆的圆心为2,0，半径为1。依

c2b。因为c2a2b2

C正确。 考点：1双曲线的简单几何性质；2点到线的距离；3直线和圆的位置关系。

22

60．

1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c,0)(c＞0)作圆x＋y



线，交双曲线右支于点P，切点为E，若OEOF＋OP)，则双曲线的离心率为

( )

【答案】C

【解析】如图所示，



设F′为双曲线的右焦点，连接PF′，由题意，知OE⊥PF，|OE|

又因为OE

(OF＋OP)，所以E为PF中点，

所以|OP|＝|OF|＝c，|EF|

所以|PF|＝

又因为|OF|＝|OF′|，|EF|＝|PE|，所以PF′∥OE，|PF′|＝2|OE|＝a.

因为|PF|－|PF′|＝2a，所以

a＝2a，即c

，故e

61

m= （A

（B）3 （C

（D）

【答案】B

【解析】

试题分析：因

，所以。因为

a24,b2m考点：双曲线的简单几何性质。

, F1 、F2分别为左、右焦点,则PF1F2内62．.P切圆圆心的横坐标为________. 【答案】3 【解析】略

1的右焦点为圆心，且被其中一条渐近线截得的弦长为6的圆63

的标准方程为________． 【答案】(x－

＋y＝25

2

2

1的右焦点为

0)，渐近线方程为：y＝2x，

【解析】

2

＋3＝r，解得r＝25，故所求圆的标准方程为(x－

＋y＝25.

2

2

2

2

2

，4,点P是双曲线右支上的动点，

则A164．已知F

【答案】9 【解析】

试题分析：根据双曲线的方程可求得c=4 ，所以左焦点F(-4,0), 右焦点F' (4,0) ， 由双曲线定义:|PF|-|PF'|=2a=4，

所以，|PF|+|PA|=|PF'| +4+|PA|=4+|PA|+|PF'|  4+|AF

'此时P在线段AF'上

9。

考点：双曲线的几何性质

点评：简单题，利用数形结合思想，分析A,F,P的相对位置，得到4+|AF'|的长度即为所求。 65．

A到右焦点的距离等于2x0，则

点A(x0,y

0)【答案】2 【解析】

66．双曲线9xy1的渐近线方程为

【答案】3xy0

2

2

y

轴上可知，渐近线方程为

3xy0

67

【解析】略

68．

设x,yR，若向量a(x,y2)，b(x,y2)，且|a||b|2，则点M(x,y)的轨迹C的方程为

【解析】

试题分析：由|a||b|2得即有动点（x,y）

到定点（0，-2），（0,2）的距离等于2（4>2）.所以动点所形成的轨迹是以a1,c2，

.跟根据题意列出等式后上升到我们

学过的双曲线方程，不需要去解方程.用椭圆的定义. 考点：1.向量坐标形式的模.2.双曲线的定义.

C的方69．若双曲线C程为______________.

【解析】略

70x2(y2)21没有公共点，则双曲线离心率的

取值范围是 【答案】(1,2) 【解析】

考点：圆与圆锥曲线的综合．

22

分析：bx±ay=0，圆x+（y-2）=1的圆心O（0，2），

22

半径r=1，x+（y-2）=1没有公共点，知＞1，由此能求出双曲线离心率的取值范围．

b

y=±x，

a即bx±ay=0，

22

圆x+（y-2）=1的圆心O（0，2），半径r=1，

22

x+（y-2）=1没有公共点，

∴圆心O（0，2）到渐近线bx±ay=0的距离：

＞1，

2a

＞1， cc

∴e=＜2，

a

∴

∵e＞1，

∴双曲线离心率的取值范围是（1，2）． 故答案为：（1，2）．

x2y2

1的一条渐近线方程为yx，则实数m等于 ▲ ． 71．已知双曲线m4

【答案】4

【解析】略

72．过点P（3，4

只有一个公共点的直线共有______________

条.

【答案】2

【解析】如图所示，l1与l2是双曲线的两条渐近线，则P正好在渐近线l1上.

∴过P与x轴垂直的直线和过P与l2平行的直线与双曲线均只有一个公共点，故共有2条.填2.

73．已知F

A、B分别在其两条渐近线上，且满



足BF2FA，OAAB0（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为____________.

【解析】

试题分析：

假设点A



BFc,0x2,y2cx2,y2，

A的坐标为x1,y1，点Bx2,y2，则点B



FAx1,y1c,0x1c,y1，BF2FA，于是有y22y1y22y1，

由于点A



由于BF2

F，A则cx22x1c，

则，即

，

，所以

考点：1.向量的坐标运算；2.双曲线的渐近线；3.双曲线的离心率

F1,F2，P点是双曲线右支上一点，且74|PF2||F1F2|，则三角形PF1F2的面积等于

【答案】48 【解析】略

75．在平面直角坐标平面内，不难得到“对于双曲线xyk(k0)上任意一点P，若

点P在x轴、y轴上的射影分别为M

,Nk”。类比于此，对

P，类似的命题为

【答案】若点P在两渐近线上的射影分别为M,N【解析】略

76

P到点(5,0)的距离为8.5，则点P到点(5,0)的距离

为______.

【答案】16.5 【解析】略

p的值为 77．设抛物线x

py2

【答案】8 【解析】

2

试题分析：因为抛物线x

py(2,0)，

考点：抛物线及双曲线的焦点

78．已知实数a>0，b>0，点A、B

|AB|最小值为 .

【解析】

=，=

，（

，

所以，|AB|

考点：双曲线的几何性质

点评：中档题，本题以函数的形式出现，利用转化与化归思想及双曲线的几何性质，确



定得到|AB|

最小值。

79．双曲线C1和C2

的离心率分别是

e1和e2(a＞0,b＞0),则e1+e

2

的最小值是_____________. 【答案】

【解析】e1+e2

2

当且仅当a=b时取等号. ∴e1+e2的最小值是

_______ 80．

2

【答案】x5y16

2

【解析】略

81

___________________.

【解析】略

82．若双曲线x2my21的渐近线过点(-1,2)，则该双曲线的虚轴的长是______________。

【答案】4

y212

1虚【解析】由点(-1,2)代入渐近线方程xmy0，得m，双曲线x

44

2

2

轴长为4。

83．设F

1,F2.若在双曲线上存

在点P.使PF1PF2，且PF1F230,则双曲线的离心率为___________.

【解析】

试题分析：存在这样的点在双曲线的左支上，由题意可分析出在Rt

PF1F2中

，由双曲线的定义可

得

，因此离线

率

考点：双曲线的定义.

84．在平面直角坐标系xOy中,

则m的值

为 . 【答案】2

2

【解析】由c=m+m+4,e得m-4m+4=0,解得m=2,经检验符合题意.

2

2

2

k的取值范围是 .

85

【解析】

考点：双曲线的定义．

分析：根据双曲线的性质知，（4+k）（1-k）＜0，进而求得k的范围． 解：要使方程为双曲线方程需（4+k）（1-k）＜0， 即（k-1）（k+4）＞0， 解得k＞1或k＜-4

故答案为（-∞，-4）∪（1，+∞）

y2

86．双曲线x1的渐近线方程为 .

4

2

【答案】y2x

【解析】

试题分析：由双曲线的方程可知，其焦点在

x轴上，且a1，b2，所以渐近线的方

考点：本题考查的知识点是双曲线的渐近线方程的求解方法，做题的关键是判断其焦点

在哪个坐标轴． 87．

双曲线—点，PF2与圆__________ 【答案】 【解析】略

的左、右焦点分别为

切于点G,且G

为

为双曲线右支上

的中点，则该双曲线的离心率e＝

88

则此双曲线的准线方程为．

【解析】

x轴上，且

有a=1,b=4那么可知

那么其准线方程为考点：双曲线的性质

点评：本题主要考查了利用双曲线的性质求解双曲线的方程，解题的关键是根据双曲线的渐近线方程设双曲线方程，此种设法避免讨论焦点的位置．

89

【解析】

a2b2

考点：双曲线的性质．

90．过双曲线M

A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条

渐近线相交于B、C,

则双曲线M的离心率为_____________.

【解析】先由双曲线线方程可得A的坐标和直线l的方程与双曲线的渐近线联立求得B和C的横坐标，进而根据|AB|=|BC|求得b的值，进而根据

c，最后根据离心率公式答案可得．

解：由题可知A（-1，0）所以直线L的方程为y=x+1 两条渐近线方程为y=-bx或y=bx 联立y=x+1和y=-bx得B的横坐标为xB=-同理得C的横坐标为yC=

1 b1

1 b1

∵|AB|=|BC|，∴B为AC中点， 有2xB=xA+xC， 即有-

11•2=-1+ b1b1c

a

解得b=3或0（舍去0） 所以e=

91．已知双曲线C

双曲线C的方程是 ．

【解析】 试

题

分

析

：

由

椭

圆

的

标

准

方

程

知：

a225b2,9c2,a2b2

25916

所以椭圆的焦点坐标为F10,4,F20,4,

设双曲线的标准方程为则c12a12b1216，离心率

为

， ，c124a1216,a124

b12c12a1216412 ，且焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为

：

考点：1、椭圆的标准方程；2、双曲线的标准方程；3、椭圆和双曲线的离心率.

x2y2

92．双曲线1上的点P到点(5,0)的距离为8.5，则点P到点(5,0)的距离

169

_______.

【答案】16.5

【解析】解 设双曲线的两个焦点分别为F1(5,0),F2(5,0), 由双曲线定义知||PF1||PF2||8 所以|PF1|16.5或|PF1|0.5

又双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1,

所以|PF1|0.5不合题意，事实上，在求解此类问题时，应灵活运用双曲线定义，分析出点P的存在情况，然后再求解。如本题中，因左顶点到右焦点的距离为9>8.5，故 点P只能在右支上，所求|PF1|16.5

93．已知双曲线C1

与双曲线C2

有相同的渐近线,且C1

的右焦点为

则a= ,b= . 【答案】1 2

λ,

由题意知

则4λ+16λ=5⇒λ

则a=1,b=4,又a>0,b>0. 故a=1,b=2.

2

2

x2y2

94．．一条斜率为1的直线l

221(a0,b0)交于

ab



P,Q两点，直线l与y轴交于R点，且OPOQ3,PQ4RQ,求直线与双曲线的方程

【答案】由ec3ab2a双曲线方程为2x2y22a2 设直线l:yxm,R(0,m),P(x1,y1),Q(x2,y2)

2

2

2

2

x1x22myxm222

则2x2mxm2a0........(1) 2222

2xy2ax1x2m2a

又因为OPOQ3,PQ4RQ,

则有：x1x2y1y232x1x2m(x1x2)m230.........(3)

x2x14x2x13x2

.......(2) 

yy4(ym)3yy4m21221

由（1），（2）得x2m,x13m,m2a2代入（3）得m1,a1

2

2

m1,a21,b22

y2

1 所以，所求的直线与双曲线方程分别是yx1,x2

2

【解析】同答案

95． 已知双曲线的右准线为x4，右焦点F(10,0),离心率e2,求双曲线方程。

【解析】设P(x,y)为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为x4，右焦点

F(10,0)，离心率e2，由双曲线的定义知

整理得

)，96． 已知双曲线W

右焦点分别为F1、F2，点N(0,b



右顶点是M，且MNMF21，NMF2120．

（Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）过点Q(0,2)的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q

之间），若点H(7,0)在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．

【答案】（1

2）(1,7).

【解析】（1）利用双曲线的基本量的运算和向量的数量积可得a12）设出直线l的方程，要注意斜率存在且不为0，直线方程与双曲线方程联立利用判别式和



韦达定理，

点H(7,0)在以线段AB为直径的圆的外部，就是

HAHB0，

可得QAQ，B再转化为横坐标运算，整理得

17。 



M(a,0)N(0,b)解：（Ⅰ）由已知，， F2(c,0)，MNMF2(a,b)(ca,0)a2ac1，

∵NMF2120

，则NMF160

解得a1 4分

（Ⅱ）直线l的斜率存在且不为0，设直线l:y

kx2，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，

(3k2)x24kx70 ① 6分



∵点H(7,0)在以线段AB为直径的圆的外部，则HAHB0，



HAHB(x17,y1)(x27,y2)(x17)(x27)y1y2(1k2)x1x2(72k)(x1x2)53

k

2． ② 由①、②得实数k 8分 B在A、Q之间，则QAQB，且1， ∴(x1

,y12)(x2,y22)，则x1x2

10分

1，∴1

7．

故λ

97．已知曲线C:xy1,过C上一点An(xn,yn)

线C于另一点An1(xn1,yn1)，点列A

n的横坐标构成数列xn（I）求xn与xn1的关系式； （IIbn是等比数列； （

III）若cn3nbn（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*,都有cn+1＞cn成立。 【答案】（1（2）b12 ，q=-2; （III）见解析

【解析】第一问中，利用数列的首项和直线的方程可以得到xn与xn1的关系得到。 第二问中，利用第一问中的关系式，表示bn，然后得到

xn与xn1分式函数，化简可得

解：过An(xn,yn)

y

∴xx

x2nn1n

（2

∴{b}是等比数列b2 ，q=-2;

n1（III）

由（II）知，b(n

n

2，)要使Cn1Cn恒成立由

Cn1Cn23n3(2)n0恒成立，

n

n－1

即（－1）λ＞-

恒成立．

n－1

ⅰ。当n为奇数时，即λ

恒成立．

n－1

的最小值为1．∴λ

n-1

n

－1ⅱ。当n为偶数时，即λ>－

恒成立，又－∴

λ>

11λ

98．（本小题满分10分）设动点P到点A(1，0)和B(1，0)的距离分别为d1和d2，

APB2，且存在常数(01)，使得d1d2sin2

（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的 方程；

（2）过点B作直线交双曲线C的右支于M，N两点，试确定的范围，使

OMON0，其中点O为坐标原点

【答案】

（

1（2

2

【解析】解：（1）在△

PAB22d12d22d1d2cos2，

4(d1d2)24d1d2sin2，

，

点P的轨迹C是以A，

B

（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)

①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x

1

0

1 ②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y

k(x1)

2222

(1)kx2(1)kx(1)(k)0， 

2(1)k由题意知：

0，

因为OMON0，且M，N在双曲线右支上，所以

99．（本小题满分12分）

已知A、B

、PA、B连线经过坐标原点，

若直线PA、PB

【解析】本试题主要是考查了双曲线的性质的运用。 根据已知条件得到

设Am,n,Px0,y0则Bm,n然后表

示

解：设

Am,n,Px0,y0则Bm,n

100．（本小题满分16

圆C：（1，(xa)(yb)r(a0,bR,r0)与双曲线M的一条渐近线相切于点2），且圆C被x轴截得的弦长为4.（Ⅰ）求双曲线M的方程；（Ⅱ）求圆C的方程；（Ⅲ）过圆C内一定点Q（s，t）（不同于点C）任作一条直线与圆C相交于点A、B，以A、B为切点分别作圆C的切线PA、PB，求证：点P在定直线l上，并求出直线l的方程.

2

2

2

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）(x3)(y1)5， （Ⅲ）(s3)x(t1)y3st50 【解析】略

101．(本小题满分12分)

22

l:xy1交于两个不同的点A,B，求双曲

线C的离心率e的取值范围.

【解析】

试题分析：由C与l相交于两个不同的点，

2222

消去y，并整理得1ax2ax2a0,



2

1a0

4

22

4a8a1a0

而双曲线C的离心率e

故双曲线C的离心率e

考点：本题考查双曲线的简单性质；直线与双曲线的综合应用。

点评：此题是易错题。出错的主要地方是：把直线与双曲线方程联立消去y，在限制a的范围是只利用判别式大于0而忽略了方程二次项系数不等于0。

102．已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（－3,0)

，一条渐近线的方程是

（1）求双曲线C的方程；

（2）若以k（k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M, N,且线段MA的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为

，求k的取值范围。

【答案】

；(2)

【解析】

试题分析：(1)因为中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（一3,0)，一条渐近线的方程是

，两个条件即可求出双曲线的方程.

(2)依题意可得通过假设直线l的方程，联立双曲线方程消去y，即可得到一个关于x的二次方程，运用韦达定理以及判别式要大于零，即可写出线段MN的中垂线的直线方程，从而求出直线与两坐标轴的交点，即可表示出所求的三角形的面积，从而得到一个等式结合判别式的关系式，即可得到结论.

试题解析：（1）设双曲线C

2

a4，

解得所以双曲线C

2

b5.，

（2）设直线l的方程为ykxm(k0)，点M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐标满足方

① ②

整理得(54k2)x28kmx4m2200，此方程有两个不等实根，于是54k20， 且(8km)24(54k2)(4m220)0，

整理得m254k20.③ 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(x0，y0)满足：

从而线段MN的垂直平分线的方

程

此直线与x轴，y轴的交点坐标分别

为

k0，

k0，解

得

， 所以k的取值范围

是 考点：1.待定系数的应用.2.直线与圆锥曲线的位置关系.3.三角形的面积的表示方法.4.

韦达定理.5.代数的运算能力. 103．

（本小题12分）

已知双曲线的中心在原点，左、右焦点F1、F2

（1）求双曲线方程。

（2）若点M(3,m)在双曲线上，求证：F1MF2M0； 【

答

案

】

解

：

可

设

双

曲

线

方

程

为

x2y2(0).„„„„„„„„„„„„„„„„„2分

1610,即6。 

双

曲

线

方

程

为

x2y26.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

（2）证明：由（1

„6分

„„8分

„„„„„„„„„10分

„„„„

M点在双曲线上，9m26，即m230.

F1MF2M0.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

12分

【解析】略

4，104

求双曲线的方程。

【解析】椭圆的焦点为F10,3，F20,3，

32或0（舍去），所以所求的双曲线的方

105

共渐近线，且过点A（

-3）的双曲线方程.

【解析】 方法一

的渐近线方程为

y=

， 分两种情况讨论： (1)

，

①

∴

∵A（

-3

联立①②，得方程组无解， (2)

②

，

③

∵点A（

-3）在双曲线上，

④

由③④联立方程组，解得a2

b2=4.

（t≠0）， 方法二

∵点A（

-3

，

∴

106．双曲线的中心在坐标原点，离心率为4

程．

【解析】∵双曲线的中心在原点，准线和x轴垂直， ∴双曲线的方程是标准的且焦点在x轴上．

∴a2，c8． ∴b2822260．

∴

107．已知双曲线C: xy1及直线l:ykx1. (1) 若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；

(2) 若l与C交于A,B两点，O

k的值.

2

2

ykx1,22【答案】(1)由2消去y得(1k)x2kx20. 2

xy1.

1k20,

因为直线与双曲线有两个不同的交点，则2解

得2

4k8(1k)0.

k

(2) 结合(1)设A(x1,y1)、B(x2,y2),则

因为点O到直线l

【解析】略

108．已知双曲线x2y22

k的取值为0

（1）求以M(3,1)为中点的弦所在的直线的方程 （2

）求过M(3,1)的弦的中点的轨迹方程

【答案】（1）3xy80 （2）xy3xy0 【解析】略

109．某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的士只能沿道路AP,BP运送到P处，PA100m，PB150m，APB60，试说明怎样运才能最省工。

22

【答案】运士时，将此双曲线左侧的士沿AP运到P点，右侧的士沿BP运到P点最省

工。

【解析】以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设M是

分界线上的点，则

有

，于是

有

这说明这条分界线是以A,B为焦点的双曲线的右支，在

APB17500，从而a

25b2c2a23750，所以所求分界线

AP运到P点，右侧的士沿BP运到P点最省工。 110．.已知双曲线G的中心在原点,它的渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切.过点P(－1

4,0)作斜率为的直线l,使得l和G交于A,B两点,和y轴交于点C,并且点P在线段AB

4上,又满足|PA|²|PB|＝|PC|2. (1)求双曲线G的渐近线的方程； (2)求双曲线G的方程；

(3)椭圆S的中心在原点,它的短轴是G的实轴.如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分AB,若P（x,y）（y>0）为椭圆上一点,求当ABP的面积最大时点P的坐标. 【答案】

解：(1)设双曲线G的渐近线的方程为y＝kx, 则由渐近线与圆x＋y－10x＋20＝0

2

2

所以k

即双曲线G的渐近线的方程为y 3分 2

2

(2)由(1)可设双曲线G的方程为x－4y＝m, 把直线l的方程y＋4)代入双曲线方程, 整理得3x2－8x－16－4m＝0, 则xA＋xB ∵|PA|²|PB|＝|PC|2,P、A、B、C共线且P在线段AB上,

∴(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2,即(xB＋4)(－4－xA)＝16, 整理得4(xA＋xB)＋xAxB＋32＝0.将(*)代入上式得m＝28,

„„„„„„„ 7分 (3)由题可设椭圆S

设垂直于l的平行弦的两端点分别为M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为P(x0,y0),

y

易得切线m的方程为

1xxy2, 解得切点坐标

则P点的坐标为 „„„„„„„ 14分

【解析】略

111．(本题满分14

分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 我们

已经学习过如

下知识：平面内到两个定点F1、F2的距离和等于常数平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值2a(2aF1F2)的点的轨迹叫做椭圆；

等于常数2a(2aF1F2)的点的轨迹叫做双曲线．

（1）试求平面内到两个定点F1、F2的距离之商为定值a(a0且a1)的点的轨迹； 提示：取线段F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系， 设F1、F2的坐标分别为(c,0),(c,0)其中F1F22c （2）若ABC中，满足AB4,AC

2BC，求三角形ABC的面积的最大值.

【答案】解：（1）取线段F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设F1、F2的坐标分别为(c,0),(c,0)F1F22c． 设动点坐标

M(x,y)„„1分

根据题意可得

MF1MF2

a(a0且a1) „„„„„„„„„„„„２分

MF1(xc)2y2，MF2(xc)2y2

即(xc)ya(xc)y

2

2

2



22

 „„„„„„„„„„„„４分

c(a21)22ac22

)y() „„„„„„„„„„„„５分 整理得(x22

a1a1

所以平面内到两个定点F1、F2的距离之商为定值a(a0且a1)的点的轨迹是圆．

c(a21)22aca(a0且a1)，最后整理得(x2)y2(2)2 （用

MF1a1a1

相应给分，其它情形酌情给分） „„„„„„„„„„„„６分

（2）取线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设

MF2

A、B的坐标分别为(2,0),(2,0)．

设顶点C(x,y),y0，根据题意可得

ACBC

2

AC(x2)2y2，BC(x2)2y2

即(x2)y2(x2)y

2

2



22

整理得(x6)

2

2

y232(y0)

即点C落在除去两点的圆(x6)y32上．„„„„„10分 又SABC

2

1

AByC2yC，0yC42„„„„„12分 2

(SABC)max82„„„„„14分

【解析】略

的两个焦点，点P在双曲线上且满足112．设F1,F2为双曲线F1PF2900，则F1PF2的面积是（ ）

【答案】A 【解析】设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x-y的值，再根据∠F1PF2=90°，

22222

求得x+y的值，进而根据2xy=x+y-（x-y）求得xy，进而可求得△F1PF2的面积． 解：设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y） 根据双曲线性质可知x-y=4， ∵∠F1PF2=90°， 22

∴x+y=20

∴2xy=x+y-（x-y）=4 ∴xy=2

∴△F1PF2的面积为

222

1

xy=1 2

故答案为A

113．已知直线l:y=kx-1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点，求弦AB中点P的轨迹方程.

【答案】3x2-y2=9(y＞1或y≤1).

【解析】如右图所示，

设P（x,y）,A(x1,y1)，B（x2,y2）.

ykx1,

由题意得2 2

3xy1.

得3x2-(kx-1)2=1,

整理得(3-k2)x2+2kx-2=0.①

则x1、x2是关于x的方程①的两根.

2

3k0,∴ 22

(2k)4(3k)(2)0.

∴k∈

∪（

又∵x1+x2消去k得3x2-y2=9(y＞1或y≤1).

114．△

的三个顶点都在双曲线上,一边的两个端点是B(0,6)和C(0,-6),另两边斜率求双曲线的方程

.

依题意将点B的坐标代入方程可得a=6,

设

A(x0,y0)(x0≠

0),①

②

由①②消去y0,

0≠0,∴b2=81.

115

t为参数）被双曲线x2y21所截得的弦长。 （12分）

【答案】把直线参数方程代为标准参数方

代入

x2y21

得t24t60,设其两根为t1,t2，则

t1t24 tt6

12

【解析】略

116．已知中心在原点，顶点A1,A2在x

（I）求双曲线的方程；

的双曲线经过点P(6,6) G，与双曲线交于不同的两点M,N，问是否存在直线l(II)动直线l经过A1PA2的重心

使G平分线段MN。试证明你的结论

x2y2

【答案】（I）设所求的双曲线方程为2

21eP(6,6)，

ab所以

x2y2

1。 所求所求的双曲线方程为

912

(II)由条件P,A1,A2的坐标分别为(6,6)、(3,0)、(3,0)，G点坐标为(2,2) 假设存在直线l使G(2,2)平分线段MN,设M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)

22

12x19y1108.......(1)

(1)得2(2) 2

12x29y2108.......(2)

2212(x12x2)9(y12y2)(x1x2)(x1x2)9(y1y2)(y1y2)

又

x1x2yy2yy24

2,12,即x1x24,y1y24.1kMNk1 22x1x23

12x29y2108

4

l的方程为y2(x2) 由 4

3y2(x2)

3

消去y整理得x24x280(4)24280所求直线不存在。 【解析】同答案

117．已知双曲线的焦点在x轴上，两个顶点间的距离为2，

(1)求双曲线的标准方程；

(2)写出双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

【答案】（1）x1（2）y

2

【解析】(1)

1(a>0,b>0)，则2a＝2,所以a＝1.

设双曲线的一个焦点为(c,0),一条渐近线的方程为bx－ay＝0，则焦点到渐近线的距离

d

b

x1.

2

(2)双曲线的实轴长为2，虚轴长为

(

0)，离心率

y

118．（本题满分12分）

已知双曲线的两焦点为F1(1,0),F

2(1,0)（Ⅰ）求该双曲线的标准方程；

（Ⅱ）若点P

tanF1PF2的值。 【答案】解：

在

F1PF2

【解析】略

119．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1:2x2y21.

（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（4分）

（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2y21相切，求证：OP⊥OQ；（6分）

（3）设椭圆C2:4x2y21. 若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值.

（6分） 【答案】（1

【解析】（1）双曲线C1:

2

1

（2）见解析；（3

y2



1

过点A

分

所以所求三角形的面积1分

（2）设直线PQ的方程是

yxb.因直线与已知圆相切， b22. 6分

yxb22由2，得x2bxb10. 2

2xy1

设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则

x1x22b

. 2

x1x2b1

又y1y2(x1b)(x2b)，所以



OPOQx1x2y1y22x1x2b(x1x2)b2

2(b21)b2bb2b220，故OP⊥OQ. 10分

（3）当直线ON垂直于x轴时，|ON|=1，|OM

O到直线MN

当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y

kx y

kx

由22

4xy1，则直线OM的

分

设O到直线MN的距离为d，因为(|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2，

d

综上，O到直线MN的距离是定值. 16分