无限长非均匀圆柱对平面波散射的彩虹特性研究

第２９卷第１１期

光学学报

Ｖ０１．２９。Ｎｏ．１１２００９年１１月

ＡＣＴＡＯＰＴＩＣＡＳＩＮＩＣＡ

Ｎｏｖｅｍｂｅｒ，２００９

文章编号：０２５３—２２３９（２００９）１１—３２２２—０５

无限长非均匀圆柱对平面波散射的彩虹特性研究

姜会芬１

李道勇１

韩香娥２

（１临沂师范学院，山东临沂２７６００５；２西安电子科技大学理学院，陕西西安７１００７１）

摘要以梯度折射率聚合物光纤为例，利用非均匀柱粒子的洛伦茨一米氏（Ｌｏｒｅｎｚ—Ｍｉｅ）理论和德拜（Ｄｅｂｙｅ）级数研

究了非均匀柱粒子的一阶、二阶彩虹强度分布特点。针对不同阶次彩虹问存在相干现象这一特点，提出了低通、带通滤波和逆快速傅里叶变换（ＩＦＦＴ）方法，将各阶彩虹从相互干涉的强度分布中分离重建出来，并且与Ｄｅｂｙｅ级数模拟的结果进行了比较，吻合得很好；讨论了分层柱粒子的双重一阶彩虹现象，利用Ｌｏｒｅｎｚ—Ｍｉｅ理论和Ｄｅｂｙｅ级数模拟了双重一阶彩虹的强度分布。关键词

物理光学；粒度测量；分层柱；彩虹；梯度折射率聚合物光纤

中图分类号０４３６文献标识码

Ａ

ｄｏｉ：１０．３７８８／ＡＯＳ２００９２９１１．３２２２

ＣｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆＰｌａｎｅ

Ｗａｖｅｓ７

ＲａｉｎｂｏｗＳｃａｔｔｅｒｅｄｂｙＩｎｆｉｎｉｔｅ

ＩｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓＣｙｌｉｎｄｅｒ

ＪｉａｎｇＨｕｉｆｅｎｌ

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Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｉｎｔｅｎｓｉｔｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｆｉｒｓｔａｎｄｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｒａｉｎｂｏｗｓｏｆｇｒａｄｅｄ．ｉｎｄｅｘ

ｐｏｌｙｍｅｒｏｐｔｉｃａｌｆｉｂｅｒ（ＧＩ—ＰＯＦ）ａｒｅｓｔｕｄｉｅｄｂｙＬｏｒｅｎｚ—ＭｉｅｔｈｅｏｒｙａｎｄＤｅｂｙｅｓｅｒｉｅｓ．Ｂｙｕｓｉｎｇｌｏｗｐａｓｓｆｉｌｔｅｒ，ｂａｎｄ

ｆｉｌｔｅｒａｎｄｉｎｖｅｒｓｅｆａｓｔＦｏｕｒｉｅｔｒａｎｓｆｏｒｍｔｏｔｈｅｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅｉｎｔｅｎｓｉｔｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓｏｆ

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ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓｏｆｅａｃｈｏｒｄｅｒｃａｎ

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ｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓｏｆＤｅｂｙｅｓｅｒｉｅｓｗｅｌｌ．Ｔｗｉｎｆｉｒｓｔ

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ｐｈｙｓｉｃａｌｏｐｔｉｃｓ；ｐａｒｔｉｃｌｅｓｉｚｉｎｇ；ｍｕｌｔｉｌａｙｅｒｅｄｃｙｌｉｎｄｅｒ：ｒａｉｎｂｏｗ；ｇｒａｄｅｄ—ｉｎｄｅｘｐｏｌｙｍｅｒｏｐｔｉｃａｌｆｉｂｅｒ

１

引言

德拜（Ｄｅｐｙｅ）级数［６］研究非均匀柱粒子的彩虹特粒度分析的光散射法以其快速、非接触测量等性。以梯度折射率聚合物光纤为例，模拟了非均匀优点日益受到人们的重视。彩虹技术的早期研究主柱粒子的彩虹强度和频谱分布特点，针对不同阶次要针对均匀折射率粒子，许多学者已经对均匀球、柱的彩虹存在干涉现象这一特点。提出了低通、带通粒子的彩虹强度、频谱分布特点做过大量研究，并将滤波方法和逆快速傅里叶变换（ＩＦＦＴ）方法Ｈ］。重彩虹技术广泛地应用于粒度测量领域［１“］。近几建了相应折射率分布的一阶、二阶彩虹的强度分布，年，考虑到许多实际过程中的粒子温度分布通常是并与非均匀柱粒子的Ｄｅｂｙｅ级数模拟结果进行比较，利用非均匀柱粒子的Ｌｏｒｅｎｚ—Ｍｉｅ理论和Ｄｅｂｙｅ级数分析了分层粒子的双重一阶彩虹现象，为非均匀粒子尺寸参量和折射率分布的测量提供了重要的利用广义洛伦茨一米氏（Ｌｏｒｅｎｚ—Ｍｉｅ）理论［５１和

理论依据。

收稿日期：２００９０３—０６；收到修改稿Ｅｔ期：２００９—０４—２８基金项目：教育部科学技术研究重点项目（１０６１４９）资助课题。

作者简介：姜会芬（１９７８一），女，博士，讲师，主要从事小粒子光散射理论及测试技术方面的研究。

非均匀的，非均匀粒子尺寸和折射率分布的测量在大量工业应用过程中变得尤为重要，彩虹法是其中最有效、快捷的测试方法之一。

Ｅ—ｍａｉｌ：ｊｉａｎｇｈｕｉｆｅｎ＠ｌｙｔｕ．ｅｄｕ．ｃｎ

１１期姜会芬等：无限长非均匀圆柱对平面波散射的彩虹特性研究

３２２３

２梯度折射率聚合物光纤一阶、二阶

彩虹强度分布

图１（ａ）为利用Ｌｏｒｅｎｚ—Ｍｉｅ理论［５１模拟的横磁波（ＴＭ）垂直入射梯度折射率聚合物光纤一阶彩虹范围内的散射强度分布。相应的模拟参量：直径ｄ一１０００肚ｍ，中心折射率和表面折射率分别为１＂／。一１．４９和７＂／。一１．４７，指数分布因子ｇ一２．０，分层数ｍ一３００，入射波长为Ａ一６３２．８ｎｍ，角度范围

ｌ６

１５６。～１６１。，角度步长为０．００２。。图１（ｂ）为一阶彩虹对应的强度微分频谱分布，其频谱结构可以分为Ａ，Ｂ，Ｃ三部分其参量与图１（ａ）同。Ａ部分对应于一阶彩虹的低频艾里（Ａｉｒｙ）结构；Ｂ部分对应于叠加在Ａｉｒｙ分布之上的高频涟波（ｒｉｐｐｌｅ）结构，其中有一个非常强的谱峰，对应的频率称之为ｒｉｐｐｌｅ频率，记为ｆｒ。ｌｅ；Ｃ部分频谱可以解释为表面波对一阶彩虹的影响∞１。

（ｂ）

ｌ４

一

ｌ２ｌＯ０８０６０４Ｏ２

Ｂ

Ｏｌ

√

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ

ｔＯ

Ｃ

‰。．／＼一

图１一阶彩虹角范围内的散射强度分布（ａ）及对应于图１（ａ）的强度微分频谱分布（ｂ）

Ｆｉｇ．１（ａ）Ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｉｎｔｅｎｓｉｔｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｆｉｒｓｔｏｒｄｅｒｒａｉｎｂｏｗａｎｄ（ｂ）ｉｎｔｅｎｓｉｔｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｓｐｅｃｔｒｕｍ

Ｆｉｇ．１（ａ）

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

图２（ａ）为二阶彩虹角范围内的散射强度分布，模拟参量：ｄ一１０００肚ｍ，扎。一１．４９，，ｚ，一１．４７，ｇ一２．０，ｍ一３００，入射波长为Ａ一６３２．８ｎｍ。可见散射强度中除了二阶彩虹低频和高频结构之外还存在有其他成分，而且不能仅用表面波来解释。图２（ｂ）中频谱分布更明显地说明这一点。频谱分布中除了二阶彩虹的频谱结构之外，还有其他更高

３２２ｌｌＯ

频率成分，并且强度非常大，决不能仅仅解释为表面波的影响。文ｉ＠Ｅ７３中提到对一定折射率的均匀粒子的彩虹现象中存在低阶彩虹（一阶、二阶）与高阶彩虹（三阶以上）的干涉叠加现象。下文利用非均匀柱粒子的Ｄｅｂｙｅ级数‘６１清楚地解释了这种干涉叠加现象。

Ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ

ａｎｇｌｅ／（。）

图２（ａ）二阶彩虹角范围内的散射强度分布，（ｂ）对应于图２（ａ）的强度微分频谱分布

Ｆｉｇ．２（ａ）Ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｉｎｔｅｎｓｉｔｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｒａｉｎｂｏｗ

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ

ｔＯ

ａｎｄ（ｂ）ｉｎｔｅｎｓｉｔｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｓｐｅｃｔｒｕｍ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

Ｆｉｇ．２（ａ）

３梯度折射率聚合物光纤一阶、二阶

彩虹强度分布的重建

根据一阶、二阶彩虹强度和频谱分布特点，利用

低通和带通滤波方法‘“，一阶、二阶彩虹的低频Ａｉｒｙ结构和单纯的一阶、二阶彩虹可以重建出来。对图１（ｂ）中Ａ部分频谱范围为ｏ～７．０（。）＿１进行滤波重建，得到图３（ａ）星号线所示的一阶彩虹的低频Ａｉｒｙ

光学学报

分布。利用非均匀柱粒子的Ｄｅｂｙｅ级数展开［６１对相同参量的一阶彩虹的Ａｉｒｙ分布进行模拟，具体参量为ｄ一１０００弘ｍ，强＝１。４７，ｎｏ一１．４９，ｍ一１０００，光线与柱粒子表面相互作用次数ｐ一２，模拟结果见图３（ａ）中虚线所示。结果表明二者吻合得很好。

对图２（ｂ）中（Ａ＋Ｂ）频谱范围为Ｏ～１７．０（。）叫部分进行滤波重建，得到曲线图３（ｂ）星号线所示的单纯的一阶彩虹的归一化的散射强度分布，摒除了

表面波的影响。利用非均匀柱粒子的Ｄｅｂｙｅ级数［６３展开模拟了相同参量的一阶彩虹的强度分布，具体参量为ｄ一１０００且ｍ，孢１—１．４７，行。一１．４９，优一

１０００，Ｐ＝２＋Ｐ删＋Ｐｒｅｆ。其中Ｐｄｉｆｒ表示被粒子衍射

的光线与柱粒子表面相互作用次数，Ｐ耐表示被粒子表面直接反射的光线与柱粒子表面相互作用次数。图３（ｂ）中虚线表示一阶彩虹的强度分布。比较结果表明，二者的强度角分布的角位置吻合得非常好。

图３（ａ）重建的一阶彩虹的Ａｉｒｙ分布，（ｂ）重建的一阶彩虹强度分布与Ｄｅｂｙｅ级数模拟结果

Ｆｉｇ．３（ａ）ＴｈｅｒｅｃｏｎｓｔｒｕｎｔｉｏｎｏｆａｉｒｙｉｎｔｅｎｓｉｔｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｆｉｒｓｔｒａｉｎｂｏｗｓｉｍｕｌａｔｅｄｂｙＩＦＦＴａｎｄＤｅｂｙｅｓｅｒｉｅｓａｎｄ

ｔｈｅ（ｂ）ｒｅｅｏｎｓｔｒｕｎｔｉｏｎｏｆｉｎｔｅｎｓｉｔｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｆｉｒｓｔｒａｉｎｂｏｗ

ｓｉｍｕｌａｔｅｄｂｙＩＦＦＴａｎｄＤｅｂｙｅｓｅｒｉｅｓ

同样，利用低通和带通滤波的方法口］，对图２（ｂ）中的频谱Ａ与Ｂ部分频谱范围为０～５（。）－１进行ＩＦＦＴ可以得到单纯的二阶彩虹的强度分布，如图４星号线所示。并与非均匀柱粒子的Ｄｅｂｙｅ级数［６１模拟的二阶彩虹的强度分布（图４虚线所示）进行比较。结果表明，二者的强度分布角位置吻合得非常好。

８３。～１１０。左右，并且各个Ａｉｒｙ峰的角位置是朝大角度排列的。二者有一定的重叠区域，因此在图２（ａ）中除了二阶彩虹的成分外，更高频率的成分包含１５阶彩虹以及二阶和１５阶彩虹的相干成分。

Ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ

ａｎｇｌｅ／（。）

图５利用Ｄｅｂｙｅ级数模拟的二阶彩虹和十五阶彩虹

归一化的Ａｉｒｙ分布曲线

图４重建的二阶彩虹的强度分布和Ｄｅｂｙｅ级数

模拟结果

Ｆｉｇ．４

Ｔｈｅｒｅｃｏｎｓｔｒｕｎｔｉｏｎｏｆｉｎｔｅｎｓｉｔｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅ

Ｆｉｇ．５

Ｔｈｅｒｅｃｏｎｓｔｒｕｎｔｉｏｎｏｆｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ａｉｒｙｉｎｔｅｎｓｉｔｙ

ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｓｅｃｏｎｄａｎｄｔｈｅｆｉｆｔｅｅｎｔｈｏｒｄｅｒ

ｒａｉｎｂｏｗｓｓｉｍｕｌａｔｅｄｂｙＤｅｂｙｅｓｅｒｉｅｓ

ｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｒａｉｎｂｏｗｓｉｍｕｌａｔｅｄｂｙＤｅｂｙｅｓｅｒｉｅｓ

为了更清楚地解释图２中高频成分，利用非均匀柱粒子的Ｄｅｂｙｅ级数∞１数值模拟了二阶彩虹（Ｐ一３）和十五阶彩虹（夕一１６）的Ａｉｒｙ分布曲线，如图５。可见，二阶彩虹的分布范围为８３。～９５。，各个Ａｉｒｙ峰的角位置是朝小角度排列的。１５阶彩虹的分布范围为

４双层柱粒子的双重一阶彩虹现象

如图６，当平面电磁波垂直照射到在轴双层柱粒子上时，～部分光线（用ａ表示）在内层１中经过一次内表面反射后透射出来，另一部分光线（用口表示）在外层２内表面经过一次反射后透射出来。由

１１期姜会芬等：无限长非均匀圆柱对平面波散射的彩虹特性研究

３２２５

于各层的折射率不同，这两部分光线对应的彩虹Ａｉｒｙ峰角位置也不同，因此出现了所谓的双一阶彩虹现象‘８Ｉ，利用双一阶彩虹现象可以测量双层粒子的厚度。

＾

图６双一阶彩虹的Ｄｅｂｙｅ模型

Ｆｉｇ．６

Ｄｅｂｙｅｍｏｄｅｌｏｆｔｗｉｎｆｉｒｓｔｏｒｄｅｒｒａｉｎｂｏｗｓ

图７为分别利用Ｌｏｒｅｎｚ－－Ｍｉｅ理论［５１和Ｄｅｂｙｅ级数Ｅ６３模拟的双层柱粒子对平面波散射的一阶彩虹强度角分布图，其计算参量为：Ａ一６３２．８ｎｍ，ｎ。一１，Ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ

ａｎｇｌｅ“。）

图７归一化双一阶彩虹强度角分布

Ｆｉｇ．７

Ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｉｎｔｅｎｓｉｔｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ

ｏｆｔｗｉｎｆｉｒｓｔｏｒｄｅｒｒａｉｎｂｏｗｓ

如果不考虑粒子对平面波的直接反射和衍射的算参量为：Ａ一６３２．８ｎｍ，地一１，柙１—１．３３３，咒２—１．２，ｚ・＝４８２５，ｚｚ＝５０００。图８仅仅给出了口光线和卢光线干涉形成的双一阶彩虹的低频Ａｉｒｙ结构。

●ｎ．８

Ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ

ａｎｇｌｅ／（。）

图８归一化双一阶彩虹Ａｉｒｙ强度角分布

Ｆｉｇ．８

ＮｏｒｍａｌｉｚｅｄＡｉｒｙｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｉｎｔｅｎｓｉｔｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ

ｏｆｔｗｉｎｆｉｒｓｔｏｒｄｅｒｒａｉｎｂｏｗｓ

图９为利用Ｄｅｂｙｅ级数邸３模拟了分别由ｄ光线和口光线形成的一阶彩虹的Ａｉｒｙ强度分布，其计算参量为：Ａ＝６３２．８

ｎｍ，咒３—１，７ｚｌ一１．３３３，ｎ２—１．２，

ｚ，一４８２５，ｚ：一５０００。曲线ａ，口依次代表内层和外层的一阶彩虹Ａｉｒｙ角分布，可以明显看出，外层彩虹角位置相对于内层的彩虹角位置发生了明显地偏移，相应的Ａｉｒｙ峰也出现了显著增强地变化。

ｌ

ｌｌｌｌＯＯＯＯ

图９双一阶彩虹Ａｉｒｙ分布Ｄｅｂｙｅ级数模拟

Ｆｉｇ．９

ＡｉｒｙｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｉｎｔｅｎｓｉｔｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｗｉｎｆｉｒｓｔｏｒｄｅｒｒａｉｎｂｏｗｓｓｉｍｕｌａｔｅｄｂｙＤｅｂｙｅｓｅｒｉｅｓ

５

结论

以梯度折射率聚合物光纤为例，利用非均匀柱

粒子对平面波散射的散射场计算的改进算法和Ｄｅｂｙｅ级数，模拟了特定折射率分布的非均匀柱粒子一阶、二阶彩虹的散射强度分布。根据强度分布

特点，利用ＩＦＦＴ重建了单纯的一阶、二阶彩虹的散卵１—１．３３３，２＇１２—１．２，ｚ１—４８２５，ｚ２—５０００。图中实线表示利用Ｌｏｒｅｎｚ—Ｍｉｅ理论模拟的一阶彩虹范围总的散射强度分布，从图中可以明显地看出双一阶彩虹现象，其中口彩虹是ａ光线经内层１粒子内表面一次反射后干涉形成的，卢彩虹是由ｐ光线经外层２内表面经过一次反射后透射出来形成的。由于两部分光线在粒子中经过的路径不同，散射强度肯定包含了不同的粒子信息，因此可以用来反演粒子

直径、折射率分布等参量。同样利用Ｄｅｂｙｅ级数模拟了上述参量的１３２。～１４６。范围内总的散射强度分布，包括粒子表面直接反射的光线和衍射光线的作用，Ｐ的取值范围为１～３００，如图７中星号线所示。结果表明二者吻合得很好。

作用，仅仅考虑经历内层和外层一次内表面反射的光线（即夕一２）对散射场的贡献，模拟结果见图８。其计

射强度角分布。还讨论了双层柱粒子的双重一阶彩虹现象。

３２２６

光

学参

考文献

１

ＪａｍｅｓＨｏｒｎ，Ｎｏｒｍａｎ

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ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ

ｂｙ

ａ

ｍｕｌｔｉｌａｙｅｒｅｄ

ｃｙｌｉｎｄｅｒ

ａｎｄ

ｉｔｓ

学报２９卷

ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＡｃｔａＯｐｔｉｃａＳｉｎｉｃａ，２００７，２７（２）：２６５～２７１姜会芬，韩香娥，李仁先．垂直入射时无限长分层柱电磁散射的改进算法及应用［Ｊ］．光学学报．２００７，２７（２）：２６５～２７１

６

ＲｅｎｘｉａｎＬｉ，Ｘｉａｎｇ’ｅＨａｎ，ＨｕｉｆｅｎＪｉａｎｇｅｔ

ａ１．．Ｄｅｂｙｅｓｅｒｉｅｓ

ｏｆ

ｎｏｒｍａｌｌｙｉｎｃｉｄｅｎｔ

ｐｌａｎｅ

ｗａｖｅ

ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ

ｂｙ

ａｎ

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ｃｙｌｉｎｄｅｒ［Ｊ］．Ａｐｐｌ．Ｏｐｔ．，２００６，４５（２４）：６２５５～６２６２

７

ＪｉａｎｇＨｕｉｆｅｎ，Ｈａｎ

Ｘｉａｎｇ’ｅ，

Ｒｅｎ

Ｋｕａｎｆａｎｇ

ｄ

ａ１．．

Ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｆ

ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ

ｏｆｔｈｅｓｅｃｏｎｄａｎｄｆｉｆｔｈｒａｉｎｂｏｗｓ

ａｎｄ

ｉｔｓ

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８

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ｄａ１．．

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ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ

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