第一章数值计算与误差分析
第一章 数值分析的基本概念
1. 在下列各对数中，x 是精确值x 的近似值，试估计x 的绝对误差和相对误差，并指出各近似数中有效数字的位数.
（1） x =π, x *=3. 1 （2） x =1/7, x *=0. 143 （3） x =100/7, x *=14. 3
**
解：（1） 近似数 x 的绝对误差为 e (x ) =x -x =3. 1-π≈0. 0416，相对误差为
*
e r (x ) =
e (x ) *
x =3. 1作为π的近似值有两位有效数字. ，所以≈0. 0134*
|x |
*
（2） 绝对误差e (x ) =x -x =0. 143-1/7≈0. 0143, 相对误差
e r (x ) =
1e (x ) -2*
e (x ) ≈0. 0143≤⨯10. 由于，所以近似数 x 有两位有效数字. ≈0. 001*
2|x |
*
（3）绝对误差e (x ) =x -x =. 3-100/7≈0. 0143
*
1
⨯10-1, 相对误差e r = 2
2. 已知四个数：x 1=26.3，x 2=0.0250， x 3= 134.25，x 4=0.001. 试指出各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x1 x2 x3和μ1= x3 x4 /x1的相对误差限.
解：x 1=26.3, ｎ=3, |e(x 1)|=0.05, e r (x 1)=e(x 1)/∣x 1∣=0.19011×10-2.
x 2=0.0250, ｎ=3, e(x 2)=0.00005, δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2 x 3= 134.25, ｎ=5, e(x 3)=0.005, δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10-4.
x 4=0.001, ｎ=1, δx 4=0.0005, δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5.
由公式：e r （μ）= e（μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σn i=1∣∂f /∂x i ∣δx i , e r （μ1）≦1/∣μ1∣［x 2 x 3δx 1+ x1 x 3δx 2 +x1 x 2δx 3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049
e r （μ2）≦1/∣μ2∣［-x 3 x 4/ x21δx 1+ x 4/ x1δx 3 + x3 / x1δx 4］ =0.49707.
**
3. 设 x 是精确数x >0的近似值， x 的相对误差界是0.2，求ln x 的相对误差界.
解：e r ≦Σn i=1∣∂f /∂x i ∣δx i
1/ x·δx=δr x/㏑x=0.2/㏑x , =1/㏑x ·
即 e r ≦0.2/㏑x .
4. 长方体的长宽高分别为50cm ，20cm 和10cm ，试求测量误差满足什么条件时其表面积的误差不超过1cm 2.
解：S=2（xy+yz+zx）,
δr S ≦［(x+y)δz+(y+z)δx+(z+x)δy］/∣xy+yz+zx∣, δx =δy =δz
δr z ≦(x+y+z)δx /∣xy+yz+zx∣
5. 已知p (x ) =(x -10) 4+0.200(x -10) 3+0.0500(x -10) 2-0.00500(x -10) +0.00100
，用秦九
韶方法计算p (10.11). 计算结果保持三位有效数字. 并求此问题的条件数Cond (f (x )) .
解：计算多项式p (x ) 的秦九韶方法为：
p (x ) =(x -10)((x -10)((x -10)((x -10) +0.200) +0.0500) -0.0500) +0.00100.
故
p (10.11)=0.11(0.11(0.11(0.11+0.200) +0.0500) -0.0500) +0.00100
=0.0014676=0.147⨯10.
据定义，计算函数f (x ) 问题的条件数为：
-2
Cond (f (x )) =
所以该问题的条件数为：
df (x ) /f (x ) xf '(x )
=.
dx /x f (x )
Cond (p (10.11))=
10.11*p '(10.11)
=0.6291.
p (10.11)
6. 改变下列表达式，使计算结果更准确. （1
x >>1. （2）
11-x
-, |x |
（3）(1-cos x ) , x ≠0, |x |
x >>1.
x 解：（1
（避免两相近数相减） （2）
11-x 2x 2
. -=
1+2x 1+x (1+2x )(1+x )
2
(1-cos x ) sin x . （3）=
x x (1+cos x )
（4
7.
计算
1) 6≈1.414. 利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差最小.
（1
（3
（2
）(3-3 （4
）99- 解：计算各项的条件数
xf ' (x )
cond (f (x )) =.
f (x )
f 1(x ) =
1
, cond (f 1(x )) |x =1.414=20.4804
(x +1) 6
f 2(x ) =(3-2x ) 3, cond (f 2(x )) |x =1.414=49.3256 f 3(x ) =
1(3+2x )
3
, c o n d (3f (x ) =) 1|. 4=14x
49. 4448
f 4(x ) =99-7x 0c , o n d 4(f (x x |1=4=) 1) . 4由以上可知，第一种算法误差最小.
8. 试导出计算积分I n =
⎰
1
4949
1⎛1x n ⎫
, n =1, 2, 的递推公式I n = -I n -1⎪. 用此递推
4⎝n 1+4x ⎭0
公式计算积分 I n , n =1,2,3的近似值，计算结果取三位有效数字. 分析上述利用上述递推公式计算的误差传播情况，由此判断该算法的稳定性.
x n 14x n +x n -1-x n -11n -1x n -1
解：I n =⎰=⎰=(⎰x dx -⎰) ,
1+4x 401+4x 401+4x 00
∴I n =
1111
11
(-I n -1) . 4n
用该递推公式计算 I n , n =1,2,3的近似值结果如下：
1
I 0=⎰
11
dx =ln5≈0.402, 1+4x 40
I 1=1(1-I 0) ≈0.150, I 2=1(1-I 1) ≈0.213， 44
11
I 3=(1-I 2) ≈0.197, I 4=(1-I 3) ≈0.201.
44
该递推公式计算的误差为
1(-1) n
e n =I n -I n =-(I n -1-I n -1) =... =n e 0.
44
可见，随着计算的进行，误差逐步减小，所以该算法是数值稳定的.