立体几何的表面积与体积
个性化辅导讲义
学生: 管笑澜 科目: 数学 第 1 阶段第 3 次课
针对性练习
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基础热身
1.已知几何体的三视图如图K36-1所示,则该几何体的表面积为( ) A .80+7π B .96+7π C .96+8π D .96+9π
图K36-1
图K36-2
2.一个空间几何体的三视图及其尺寸如图K36-2所示,则该空间几何体的体积是( )
147
C .14 D .7 33
3
K36-3所示(单位:m) ,则该几何体的体积为(
)
-3
99
A
.4 m3 m 3 C .3 m 3 D. m 3
24
4.某品牌香水瓶的三视图如图K36-4(单位:cm) ,则该几何体的表面积为( )
ππππ
95-⎫ cm 2 B. ⎛94-⎫ cm 2 C. ⎛94+ cm 2 D. ⎛95+⎫ cm 2 A. ⎛2⎭2⎭22⎭⎝⎝⎝⎝能力提升
5.已知一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图K36-5所示,则这个四棱锥的体积是( ) A .1 B .2 C .3 图K36-5
6.一个棱锥的三视图如图K36-6,则该棱锥的全面积为( )
图K36-6
图K36-8
图K36-7
A .280 B .292 C .360 D .372
8.某三棱锥的侧视图和俯视图如图K36-8所示,则该三棱锥的体积为( )
A .43 B .83
C .123 D .243 如图K36-9(单位:cm) ,将图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的体积为(单位:cm 3)( ) 9.
140π
160πA .40π B. C .50π
33
10.一个底面半径为1,高为6的圆柱被一个平面截下一部分,如图K36-10,截下部分的母线最大长度为2,最小长度为1,则截下部分的体积是________.
课后练习
1.若某几何体的三视图(单位:11所示,则此几何体的体积是________ cm3
.
2.在三棱柱ABC -A ′B ′C BB ′,CC ′上,且BP =2PB ′,CQ =3QC ′,若三棱柱的体积为V ,则四棱锥A -BPQC 的体积是________.
3.(10分) 如图K36-12所示的△OAB 绕x 轴和y 轴各旋转一周,分别求出所得几何体的表面积.
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4、已知某几何体的俯视图是如图K36-13所示的矩形,正视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6,高为4的等腰三角形.
(1)求该几何体的体积V ; (2)求该几何体的侧面积S .
5.正三棱锥的高为1,底面边长为
作业答案
【基础热身】
1.C [解析] 这个空间几何体上半部分是底面半径为1,高为4的圆柱,下半部分是棱长为4的正方体,故其全面积是2π×1×4+π×12+6×4×4-π×12=96+8π.故选C.
2.A [解析] 这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台,这个四棱台的高是2,上底面是
114
边长为1的正方形,下底面是边长为2的正方形,故其体积V (121×2+22) ×2=.
33
3.C [解析] 根据视图还原几何体.这个空间几何体的直观图如下,其体积是3 m3.
4.C [解析] 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱.上面四ππ1
棱柱的表面积为2×3×3+12×1-=30-2π×1=π,下面部分的表面积为
442πππ
2×4×4+16×2-64-. 故其表面积是94+442
1
5.B [解析] 13-4=3,底面积是2×2=2,故其体积为×2×3=2. 故选B.
36.A [解析] 根据给出的三视图,这个三棱锥是一个底面为等腰直角三角形、一个侧面垂直于底面的三棱锥,其直观图如图所示,其中PD ⊥平面ABC ,D 为BC 中点,AB ⊥AC ,过D 作ED ⊥AB 于E ,连接PE ,由于AB ⊥PD ,AB ⊥DE ,故AB ⊥PE ,PE 即为△P AB 的底边AB 上的高.在Rt △PDE 中,PE =5,侧面P AB ,111
P AC 面积相等,故这个三棱锥的全面积是2××6×5+6×662×4=48+122.
222
7.C [解析] 由题中的三视图知,该几何体是由两个长方体组成的简单组合体,下面是一个长、宽、高分
别是8,10,2的长方体,上面竖着的是一个长、宽、高分别为6、2、8的长方体,那么其表面积等于下面长方体的表面积与上面长方体的侧面积之和,即S =2(8×10+8×2+10×2) +2(6×8+2×8) =360.
8.A 根据三视图可知,在这个三棱锥中其侧视图的高就是三棱锥的高、俯视图的面积就是三棱锥的底面积,其中俯视图的宽度和侧视图的宽度相等,所以侧视图的底边长是2,由此得侧视图的高为3,此即为1
三棱锥的高;俯视图的面积为66×=
3
4
9.B 由图中数据,根据圆台和球的体积公式得V 圆台=×[π×22(π×2)×(π×5)+π×52]=52π,V 半球
3411616140
=×23×=所以,旋转体的体积为V 圆台-V 半球=52π-π=π(cm3) . 32333
3π
10. [解析] 这样的几何体我们没有可以直接应用的体积计算公式,根据对称性可以把它补成如图所示的21
圆柱,这个圆柱的高是3,这个圆柱的体积是所求的几何体体积的2倍,故所求的几何体的体积是×π×12×3
2=3π2
1.144该空间几何体为一四棱柱和一四棱台组成的,四棱柱的长宽都为4,高为2,体积为4×4×2=32,1
四棱台的上下底面分别为边长为4和8的正方形,高为3,所以体积为3×(424×8+82) =112,所
3以该几何体的体积为32+112=144. 2.
17
[解析] 四棱锥A -BPQC 与四棱锥A -BB ′C ′C 具有相同的高,故其体积之比等于其底面积之比,36
23
由BP =2PB ′,CQ =3QC ′得BP ′,CQ =CC ′,设平行四边形BB ′C ′C 的高为h ,则其面积S
[1**********]
′+′⎫·=CC ′·h ,则梯形BPQC 的面积等于⎛h =CC ′·h ,故V . -BPQC =A 4⎭2⎝3242424A -BB ′C ′C
1217217
而V A -BB ′C ′C =V -V A -A ′B ′C ′=V -=V ,故V A -BPQC =×V =.
3324336
3.[解答] 绕x 轴旋转一周形成的空间几何体是一个上下底面半径分别为2,3,高为3的圆台,挖去了一
个底面半径为3,高为3的圆锥,如图(1),其表面积是圆台的半径为2的底面积、圆台的侧面积、圆锥的
侧面积之和.圆台的母线长是,圆锥的母线长是3,故其表面积S 1=π·22+π(2++=(4+10+92)π.绕y 轴旋转一周所形成的空间几何体是一个大圆锥挖去了一个小圆锥,如图(2),此时大圆锥的底面半径为3,母线长为2,小圆锥的底面半径为3,母线长为10,这个空间几何体的表面积是
这两个圆锥的侧面积之和,故S 2=π·3·32+10=2+10)π.
4.[解答] 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥. 1
(1)V =×(8×6) ×4=64.
3
(2)该四棱锥有两个侧面P AD 、PBC 是全等的等腰三角形,且BC 边上的高为h 1=另两个侧面P AB 、PCD 也是全等的等腰三角形,且AB 边上的高为h 211
×6×42+×8×5⎫=40+242. 因此S =2⎛2⎝2⎭
5.[解答] 过P A 与球心O 作截面P AE 与平面PCB 交于PE ,与平面ABC 交于AE . 因△ABC 是正三角形,
易知AE 即是△ABC 中BC 边上的高,又是BC 边上的中线,作为正三棱锥的高PD 通过球心,且D 是三角113
形△ABC 的重心,据此及底面边长为6,即可算出DE 26=2,
332
⎫2
42+⎛⎝2⎭=2,
2
42+⎛⎝2=5,
r 1-r r 1-r
PE =1+2)2=3,由△POF ∽△PED ,知,∴,∴r =6-2.
DE PE 2313
∴S 表=S 侧+S 底=3×63+×6) 2=92+63.
24