第三讲小船渡河问题

第三讲小船渡河问题；竖直平面内的圆周运动

一、设v水为水流速度，v船为船相对静水速度,θ为v船与河岸的夹角,d为河宽，船的实际运动分解为两个方向处理。

二、小船渡河问题的分析与求解方法：

小船渡河问题可以分为四类，即能否垂直于河岸过河、过河时间最短、过河位移最短和躲避障碍四类，考查最多的仍是过河最短时间和最短位移两类。

1、若Vc>Vs，小船要垂直于河岸过河，过河路径最短，应将船头偏向上游，如图1所示：此时过河时间

图2

2、若Vc

。

s

LV

sLcosVc

3、若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图所示：此时过河时间 （d为河宽），此时小船一

定在对岸下游处靠岸。

三、典型题

题型一（Vc>Vs）

1、小船在200m宽的河中横渡，水流速度为2m/s，船在静水中的航速是4m/s，求： （1）怎样渡河时间最短？最短时间多少？此时渡河位移？ （2）怎样渡河位移最小？此时渡河时间？

2、在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为V1，摩托艇在静水中的航速为V2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d， 如图 ①若战士要想在最短时间内将人送上岸，则 A．摩托艇的头部应向上游开

B．摩托艇的头部应正对O点开

C．摩托艇的头部应向下游开

D．摩托艇的头部应向上游或下游开

②若战士在最短时间内将人送上岸，则最短的时间为

d

A．V1

C．V D． 2V1

③若战士在最短时间内将人送上岸，则登陆的地点距O点的距离

2

2

d

B．V2

d

21

22

dV2

A．；

3、小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后40s到达对岸下游120m处，若船头保持与河岸成α角向上游航行，在出发后50s到达正对岸，求： （1）水流的速度；

（2）船在静水中的速度； （3）河的宽度；

（4）船头与河岸的夹角α

1

dV1

V

B．0 C．V2

22

21

dV2

dV2

D．V1

4、在民族运动会上有一个骑射项目,运动员骑在奔驰的马背上,弯弓放箭射击侧向的目标,假设运动员骑马奔驰的速度为v1,运动员静止时射出的弓箭速度为v2,跑道离固定目标的最近距离为d,则 A.要想命中目标且箭在空中飞行时间最短,运动员放箭处离目标的距离为dv2/v1

d1v2

B.要想命中目标且箭在空中飞行时间最短,运动员放箭处离目标的距离为C.箭射到靶的最短时间为d/ v2

D.只要击中侧向的固定目标,箭在空中运动合速度的大小v =

2

2

22

v2

v1v2

5、船以恒定的速率渡河，水流速度恒定(小于船速)，已知河床宽d，船在静水中的速度是v1，水流速度是v2,求船最短时间过河的时间T1和最短位移过河的时间T2的比值

6、如图半径为R的大圆盘以角速度ω旋转，如图，有人站在盘边P点上，随盘转动．他想用枪击中在圆盘中心的目标Ｏ，若子弹速度为vo，则 （ ） A.枪应瞄准目标Ｏ射击

B.应瞄准PＯ的右方偏过角射击，且cos =ωR/v0 C.应瞄准PＯ的左方偏过θ角射击，且tan =ωR/v0

D.应瞄准PＯ的左方偏过角射击，且sin =ωR/v0

7、如图所示，河水流速为v一定，船在静水中的速度为v，若船从A点出发船头分别朝AB、AC方向划行到达对岸，已知划行方向与河的垂线方向夹角相等，两次的划行时间分别为tAB、tAC，则有（ ） A．tAB > tAC B．tAB

8、船在静水中速度为v1水流速度为v2，河宽为d。，当船头垂直向对岸航行时，则（ ） v2

B 当船速不变，水流速度增大时过河时间不变 C 过河时间最短

D 当船速不变，水流速度增大时，过河时间变长 题型二（Vc

=3 m/s，它要渡过一条水流速度

=5 m/s，河宽150 m的河流，若认为河流笔直且足够长，

则可断定：（ ）

A．小船可能到达出发点的正对岸 B．小船渡河的最短位移是150 m C．小船渡河时间不能少于50s D．小船根本不可能渡河到达对岸

2、甲船对静水的速度为v1，以最短时间过河，乙船对静水的速度为v2，以最短位移过河，结果两船运动轨迹重合，河速恒定不变，则两船过河时间之比为（ ）

A、v1/v2 B、v2/v1 C、(v1/v2)2 D、(v2/v1)2 3、船在400米宽的河中横渡，河水流速是4m/s，船在静水中的航速是2m/s，试求： （1）要使船到达对岸的时间最短，船头应指向何处？最短时间是多少？ （2）要使船航程最短，船头应指向何处？最短航程为多少 题型三

1、一小船正在渡河，如图所示，在离对岸30m时，其下游40m处有一危险水域，若水流速度为5m/s，为了使小船在危险水域之前到达对岸，那么小船从现在起相对于静水的最小速度应为多大？这时船头的航向如何？

2

2、如图所示，一条小船位于100m宽的河正中A点处，从这里向下游100m处有一危险区，当时水流速度为4m/s，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是( )

A．

4383

m/s B．m/s C．2m/s D．4m/s 33

题型四

1、在抗洪抢险中，战士驾驶冲锋舟救人，假设江岸是平直的，洪水沿江而下，水的流速为5m/s，舟在静水中的航速为l0m/s，战士救人的地点A离岸边最近点0的距离为50m如图，问： (1)战士要想通过最短的时间将人送上岸，求最短时间为多长?

(2)战士要想通过最短的航程将人送上岸，冲锋舟的驾驶员应将舟头与河岸成多少度角开?

(3)如果水的流速是10m/s，而舟的航速(静水中)为5m/s，战士想通过最短的距离将人送上岸，求这个最短的距离．

2、如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB。若水流速度不变，两人在靜水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为（ ）

A．t甲＜t乙 B．t甲＝t乙 C．t甲＞t乙 D．无法确定

3、船在静水中速度为水流速度为v，河宽为d。，当船头垂直向对岸航行时，则：（ ） A．实际航程最短 B．当船速不变，水流速度增大时过河时间不变 C．过河时间最短 D．当船速不变，水流速度增大时，过河时间变长

4、河边有M、N两个码头，一艘轮船的航行速度恒为v1，水流速度恒为v2，若轮船在静水中航行从M到N的时间是t，则 （ ）

A．轮船在M、N之间往返一次的时间大于t B．轮船在M、N之间往返一次的时间小于t C．若v2越小，往返一次的时间越短 D．若v2越小，往返一次的时间越长

5、如图所示，甲、乙两运动员同时从水流湍急的河岸下水游泳，甲在乙的下游且游速大于乙．欲使两人尽快在河中相遇，则应选择的游泳方向是（ ）

A．都沿虚线方向朝对方游 B．都偏离虚线向下游方向

C．甲沿虚线、乙偏离虚线向上游方向 D．乙沿虚线、甲偏离虚线向上游方向

竖直平面内的圆周运动的临界问题

竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。

临界问题的分析方法：首先明确物理过程，正确对研究对象进行受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找出临界值。

１．“绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。 （注意：绳对小球只能产生拉力）

a

图6-11-1

b

3

（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用

v2

mg =m  v临界R

（2）小球能过最高点条件：v

（3）不能过最高点条件：v

（当v

（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道） ２．“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况 （注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。

）

b

图6-11-2

（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg（F为支持力）

（2）当0 F > 0（F为支持力） （3）当v =

F=0

（4）当vF随v

增大而增大，且F >0（F为拉力）

【案例剖析】

例1．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是 （ ） A．球过最高点时，速度为零

B．球过最高点时，绳的拉力为mg

2vC．开始运动时，绳的拉力为m DL

例2：如图6-11-3所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端 O为圆心，使小球做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是 （ ）

A．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零 B．球过最高点时，最小速度为C．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反

D．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力

例3．绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m = 0.5kg，绳长L = 40cm，求： （１）为使桶在最高点时水不流出，桶的最小速率？

（２）桶在最高点速率v = 3m/s时，水对桶底的压力？ 【

知识链接】

如图6-11-4所示，地球可以看作一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地球半径R（约为6400km）。地面上有一辆汽车，重量是G = mg，地面对它的支持力是F。汽车沿南北方向行驶，不断加速。根据上面的分析，汽车速度越大，地

面对它的支持力就越小，会不会出现这样的情况：速度 大到一定程度时，地面对车的支持力是零？这时驾驶员 与座椅之间的压力是多少？驾驶员身体各部分之间的压 力是多少？他这时可能有什么感觉？（g取10m/s２）

练习

图6-11-4

1．如6-11-5所示，细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端O计空气阻力，用F表示球到达最高点时细线对小球的作用力，则F可能 （ ）

4

图6-11-6

图6-11-5

A．是拉力B．是推力C．等于零

D．可能是拉力，可能是推力，也可能等于零 2．（1999年 全国）如图6-11-6所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是 （ ）

A．a处为拉力，b处为拉力B．a处为拉力，b处为推力C．a处为推力，b处为拉力D．a处为推力，b处为推力

3．长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端与光滑的水平轴相连。现给小球一个初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，已知小球在最高点时的速度为v，则下列叙述正确的是 （ ）

A．v

B．v由零逐渐增大，向心力也逐渐增大

C．v由零逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大 D．v

4．质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力是 （ ）

A．0 B．mg C．3mg D．5mg

5．长为L的细绳一端拴一质量为m计空气阻力，设小球通过最低点和最高点时的速度分别为v1和v2F1、F2，则 （ ）

A．v

1 B．v2= 0 C． F1= 5mg D．F2= 0

6．质量可忽略，长为L的轻棒，末端固定一质量为m的小球，要使其绕另一端点在竖直平面内做圆周运动，那么小球在最低点时的速度v必须满足的条件为 （ ）

A．v

B．v

C．v≥

2 D．v

7．如图6-11-7所示，一个高为h的斜面，与半径为R的圆形轨道平滑地连接在一起。现有一小球从斜面的顶端无初速地滑下，若要使小球通过圆形轨道的顶端B而不落下，则斜面的高度h应为多大？

8．如图6-11-8所示，杆长为L，杆的一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个

系统绕杆的另一端O在竖直平面内作圆周运动，求：

（1）小球在最高点A时速度vA为多大时，才能使杆对小球m的作用力为零？

（2）小球在最高点A时，杆对小球的作用力F为拉力和推力时的临界速度是多少？

图6-11-7

（3）如m = 0.5kg, L = 0.5m, vA= 0.4m/s, 则在最高点A和最低点B时, 杆对小球m的作用力各是多大? 是推力还是拉力? 【拓展提高】

9．如图6-11-9所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道ABCD

D点为轨道最高点，DB为竖直线，AC为水平线，AE为水

平面，今使小球自A点正上方某处由静止释放，且从A点进入 圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终 通过最高点D，则小球在通过D点后 （ ）

A．会落到水平面AE上

B．一定会再次落到圆轨道上 C．可能会落到水平面AE上 D．可能会再次落到圆轨道上 10．如图6-9-10所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放 图6-11-9 置，AB段平直，质量为m的小球以水平初速度v0射入圆管。

（1）若要小球能从C端出来，初速度v0多大？ （2）在小球从C端出来瞬间，对管壁压力有哪 几种典型情况，初速度v0各应满足什么条件？

v

图6-11-8

家长签名：

5