网上购物中的数学问题

网上购物中的数学问题

摘 要

当今社会，网购已成为一种常见的消费方式.随着物流行业的兴盛，如何用最短的时间，最节约成本的方案，完成送货任务显得尤为重要.针对本案例，我们采用了大量的科学分析方法，并进行了多次反复验证，得出如下结果：

1：根据所给问题及有关数据，我们将题目中给出的城市，及其之间的线路可看成一个赋权连通简单无向图，采用了求这个图最小生成树的办法，求出最优线路.在此基础上，我们通过观察分析计算对上述结果进行修正，得出最终结果.

2：根据所给问题，我们发现当货物不能一次送完时，中途需返回取货，而返回路径当然越短越好，可通过求途中两点最短路径的方法求出.

关键字：送货线路优化、赋权连通简单无向图、 Excel、最小生成树.

一、问题重述

现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个工厂为了自身的发展需要以最快的速度及时将产品送达所需单位，现有实业公司，该实业公司生产专业生产某专用设备产品，专用设备产品该每件重达5吨（其长5米，宽4米，高6米），该实业公司库房设在北京，所有货物均由一货机送货，该机种飞机翼展88.40米（机身可用宽20米），机长84米（可用长50米），机高18.2米（可用14米），最多可装载250吨货物，起飞全重达600吨，平均速度为900公里/小时）将货物送至全国各个省辖市（图1所示红色圆点，除北京之外共19个省辖市），假定货机只能沿这些连通线路飞行，而不能走其它任何路线；但由于受重量和体积限制，货机可中途返回取货.经过的各个省市都要一定的停靠费用和停靠时间（停靠时间为常量2小时），假设经过某个省市的停靠费用为：

停靠费用=5000元×该省市的消费指数；

问题1：若图示中19个省辖市每个省辖市只要一件产品请设计送货方案，使所用时间最少， 标出送货线路.

问题2：若图示中19个省辖市需求量见表1，请设计送货方案，使所用时间最少.

问题3：若该实业公司为了花费最少，针对问题1和问题2分别求出花费、标出送货线路.

二、基本假设

1.假设货物在存放中，货物与货物之间无空隙. 2.飞机在出行送货期间，无天气突变等突发状况.

3.飞机自身无任何故障，并且在空中始终以平均速度为900公里/小时. 4.假定货机只能沿着图中的连通路线飞行，而不走其他的路线.

三、符号说明

在地图上城市可以用点表示如北京可用A4表示，详细见下表.

AiAj ：点Ai到点Aj的线段

权（1） ：表示题目中给出的两城市之间的权，如北京—上海（A1A5）的权（1）为9.

权（2） ：表示通过两城市之间路程所花费的时间，如北京—上海（A1A5）的权（2）为9*100/900+2=3（小时）

权（3） ：表示通过两城市之间路程的花费，如北京—上海（A1A5）的权（3）为9*2500+1.85*5000=31750（小时），1.85为两城市指数的平均值.

V ：A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9，A10，A11，A12，A13，A14，A15，A16，A17，A18，A19，A20的集合.

E ：A1A2，A1A3，A1A5，A1A6，A2A4，A3A10，A4A10，A4A12，A4A13，A4A16，A4A5，A4A7，A5A14，A5A15，A6A14，A6A8，A7A10，A7A12，A7A19，A8A9，A9A11，A10A11，A10A19，A10A20，A11A12A，12A18，A13A16，A13A17，A17A18，A19A20的集合.

W ：V中点之间的权（2）的集合，则G=（V，E，W）表示赋权连通简单无向图

M ：V中点之间的权（3）的集合，则F=（V，E，M）表示赋权连通简单无向图

四、问题的分析

当今社会，网购已成为一种常见的消费方式.随着物流行业的兴盛，如何用最短的时间，最节约成本的方案，完成送货任务显得尤为重要.

针对本案例，城市可以看成点，而他们之间的连线既可以看成是时间，也可以看成成本，那么就构成了两个赋权连通简单无向图，这个问题就转化成求这两种情况下，两种图的最小生成树问题.

五、模型的建立

问题1：

根据题目意思，两城市之间的时间=权（1）*100/速度+2（单位：小时） 例如北京到上海A4A5权（1）是17，则

定义V为A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9，A10，A11，A12，A13，A14，A15，A16，A17，A18，A19，A20的集合，定义E为A1A2，A1A3，A1A5，A1A6，A2A4，A3A10，A4A10，A4A12，A4A13，A4A16，A4A5，A4A7，A5A14，A5A15，A6A14，A6A8，A7A10，A7A12，A7A19，A8A9，A9A11，A10A11，A10A19，A10A20，A11A12A，12A18，A13A16，A13A17，A17A18，A19A20的集合，定义W为V中点之间的权（2）的集合，则G=（V，E，W）表示图.

根据最小生成树的求法可以求出改图G的最小生成树如图

沿着最小生成树的路线相对较短，为：A4—A5—A15—A5—A14—A6—A8—A9—A11—A10—A20—A10—A19—A10—A11—A12—A18—A17—A13—A16—A4—A7—A4—A2—A1—A3—A1—A2—A4

经过观察上面下划线的部分A11—A10—A20—A10 —A19—A10—A11并不是最短的，经计算这个路线A11—A10—A20—A19—A10—A11比上一个段，所以用之替换，得到最短的线路为：

A4—A5—A15—A5—A14—A6—A8—A9—A11—A10—A20—A19—A10—A11—A12—A18—A17—A13—A16—A4—A7—A4—A2—A1—A3—A1—A2—A4

可以将相邻两点的权（2）相加，和即为花费，经过计算上述线路所花时间是76.44444小时，为最短时间.

问题2：

根据题目意思，两城市之间运输的价格=权（1）*2500+平均指数*5000（单位：价格）

例如北京到上海A4A5权（1）是17，北京的指数为1.9，上海为1.8，则先求出平均指数（1.9+1.8）/2=1.85，根据公式可得

北京到上海A4A5关于时间的运输价格的权为9*2500+1.85*5000=31750（小

定义M为V中点之间的权（3）的集合，则P=（V，E，M）表示图，根据最小生成树的求法可以求出改图P的最小生成树如图

同样的，沿着最小生成树的路线相对较短，为：A4—A5—A15—A5—A14—A6—A8—A9—A11—A10—A20—A10—A19—A10—A11—A12—A7—A12—A18—A17—A13—A16—A4—A2—A1—A3—A1—A2—A4

经过观察上面下划线的部分A11—A10—A20—A10—A19—A10—A11并不是最短的，经计算这个路线A11—A10—A20—A19—A10—A11比上一个段，所以用之替换，得到最短的线路为：

A4—A5—A15—A5—A14—A6—A8—A9—A11—A10—A20—A10 —A19—A10—A11—A12—A7—A12—A18—A17—A13—A16—A4—A2—A1—A3—A1—A2—A4

可以将相邻两点的权（3）相加，和即为花费，经过计算上述线路所花运输花费是687000元，为最少花费.

六、模型的优缺点

1、优点：

⑴、本文总共有三个问题，给出了在各种约束条件下的最短时间以及最少花费的计算方法，具有较强的实用性和通用性，在日上生活中经常可以用到。

⑵、在忽略其他条件限制的最短时间问题中，我们采用最小生成树方法进行求解，并用了枚举法进行验证，经过大量的计算使结果更准确，更符合实际情况，从而达到解决实际问题的目的。

⑶、对于加入了省辖市需求量的问题当中，我们在第一问的基础上，我们再次利用最小生成树的方法，进行计算验证得出结果，解决实际问题。

⑷、在本题目的最后一问当中，给出了计算在货物体积和重量等多个限制条件下的最优化解法，采用最小生成树算法解决了这个与实际问题非常接近的问题，具有很好的实际意义。

2、缺点：

⑴ 本题中我们做了许多假设是为使问题便于研究，，这或许对模型的实际意义或多或少产生影响。

⑵ 问题中节点过多，需要到量的精密计算，多次重复因此很难做到求出的结果就是最优解。

⑶ 本问题中所建立的模型，是舍弃了某些影响因素的结果，尽管这些因素的影响很小，但会使所求结果与实际生活中实际结果产生偏差。

七．模型的推广

我们所研究的问题建立了三个模型，这三种模型对于许多数学问题的解题方法和途径都有一定的指导和帮助作用。第一问当中利用最小生成树的方法来解决的，以此种优化方法来解决现实生活中所遇到的许多问题。例如：旅游最短线路问题、货物运送问题、邮递问题以及管道输水等实际问题。求解这些问题的，可以参考本文中的方法，对于其他一下问题也可以借鉴我们给出来的算法，经过大量的计算得出最优解。第二问中是加入了限制条件的运货最优问题，对此我们也可以利用最小生成树方法求解在有需求量约束的前提下最短线路的模型，然后综合比较得出的。在日常生活中，可以利用该模型来求解与最优树和最大流量有关的实际问题。在第一问和第二问的基础上所延伸出来的第三个问题也可以采用该算法解决实际问题。这类问题在实际生活中随处可看见，且都可以应用这些模型进行解决。在讲将实际问题抽象为具体数学问题的时候，根据数学建模的思想以及步骤，会做出一定的假设，因此会导致一定的误差，因此不同的实际问题，要

根据具体情况认真考虑，得出最优的设计方案，对于解决实际问题具有很重要的意义.

八、参考文献

[1] [2] [3] [4] [5]

方世昌；离散数学. 西安：西安电子科技大学出版社. 2009 http://baike.baidu.com/view/288214.html?tp=0_11

http://baike.baidu.com/view/3613695.htm

http://wenku.baidu.com/view/ab3e143567ec102de2bd8967.html

http://www.docin.com/p-189236.html