不定积分公式
不定积分小结
一、不定积分基本公式
x a+11
1 x dx = +C a ≠−1 (2) dx =ln x +C
a
3 a dx =+C 4 sin x dx =−cos x +C ln a
5 cos x dx =sin x +C 6 tan x dx =−ln cos x +C
7 cot x dx =ln sin x +C 8 sec x dx =ln sec x +tan x +C 9 csc x dx =ln csc x −cot x +C 10 sec 2x dx =tan x +C 11 csc 2x dx =−cot x+C 12 13 15 17 dx x +adx a −x 1
x
dx 1+x2dx
x
a x
=arctan x +C
1
a −x
=a arctan a +C 14 x −a =2a ln a+x+C =2a ln a −x +C 16 =arcsin a+C 18 x
1
a+x
=arcsin x+C
=ln x+ x±a +C
2
x a x
19 a 2−x 2dx = a 2−x 2+arcsin +C
2
x a
20 dx = ±ln x+ +C
二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得） 1 Dn= sinnxdx(详情请查阅教材166页) −cos xsinn−1xn−1
则Dn=+Dn−2(求三角函数积分)
易得Dn：n 为奇数时，可递推至D 1= sin x dx =−cos x +C ； n 为偶数时，可递推至D 2= sin 2x dx =2−dx
2 In= 详情请查阅教材173页
1x2n−1
则In+1=+I
n易得In可递推至I1= x +a=a arctan a +C
dx
1
x
x
sin 2x 4
+C ；
（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）
三、普遍方法 (一) 换元积分法：
第一类换元积分法(凑微分法)
这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。
首先我们来看一下最常见的一类有理函数的例子
x
例1：
注意到分母根号下为二次，其导数为一次，而分子正好就是一次，通过凑微分和 配方可以得到解决。 x =− −2x +1 +1
1
1d(5+x −x 2) 11
=−+
1
=− 5+x −x +dx
( ) 2−(x−12
2
2
12x −12 =−5+x −x ++C 3x
例2： dx
与例1类似，我们有：
x
dx =
3
1
4x 3+2x −x 42
1
dx
1
1d x 4+x 2+1 1
= − 例3：
d x 2+2 x 2+2 +
12
2
后面套公式就好啦
dx
dx 1dx d(tanx)
= =
1d(tanx) ==arctan (tanx) +C () +tan x 2
接下来举几个我们可能不太熟悉的例子，不容易凑成微分。 例4：1
a − x
=32
a − x
)
32
2= x 至此可以套用公式了
1
3例5：
12x
dx = 1+
2dx ，注意到
31
的导数为−3ln 2， 至此可以用凑微分法了
x x sinx
例6： dx = dx
注意到sin x −x cos x 的导数为x sinx
第二类换元积分法
（1）利用三角函数进行代换：sin 2x +cos 2x =1
tan 2x +1=sec 2x cot2 x +1=csc 2x
换元时必须要注意变量的范围，保证范围的等价性（通过例题体会） 例如以下两个基本积分公式
2
x a x
a −x dx = a −x +arcsin +C
2
xa
x±adx= x±a±ln x+ x±a +C
dx
例： 利用tan 2x +1=sec 2x ，令x =3tan t ，这里x 可以取到全体实数，那么 ππ
t 取 −, 就可以保证x 取到全体实数，因为t 的范围直接影响到三角
函数的正负，所以这一点在涉及到开根号的三角函数表达式时尤为重要。
dx 3
则： = cos 4t dt 至此， cos 4t dt 有多种求法，比如说直接用递推公式，见第五页：
πn
cosxdx利用cos x =sin(−x) 和 sinnxdx求得
令一种解法：
cos 4t dt = cos 2t(1−sin 2t) dt = cos 2t dt − cos 2t sin 2tdt 利用倍角公式可以解出。
（2）倒代换，经常用在分母多项式次数较高的情况下 1
例： dx ，令x =，容易求出原函数
(二) 分部积分法
μd ν=μν− νd μ
应用分部积分法时，需要把被积函数看作两个因式μ及d ν之积，如何 选取这两者是很关键的，选取不当，将使积分愈化愈繁. 积分时应注意 d ν比较好积，同时μ的选取应使其倒数比μ简单，两者应兼顾。 例：
xe arctan
x
1+x 2
x
dx =e arctan
x
x −
e arctan
x
1+x 2
dx
=e arctan
x − e arctan
x
1x
−
−xe arctan 1+x 2
x
dx
=e arctan
x
x −1x
−
xe arctan 1+
x 2 2dx
则：
xe arctan
1+x 2 dx =
x −1arctan
x
+C
这个函数就有多种拆分方法，需要我们多尝试几次才能解出，并且用到了 轮换，应注意。其实 sin ln x dx 也用到了轮换，详情请查阅教材165页。
一般情况下，被积函数形如e ax sin bx ，e ax cos bx ，P m x e ax ，P m x sin bx ， P m x cos bx ，P m x (lnx) n ，P m x arctan x ，⋯就可以尝试分部积分法轻松 求得原函数，其中P m x 表示m 次多项式。
例
xe x
⎰(1+x ) 2x
xe x
⎰(x +1) 2(x +1) e x -e x e x e x =⎰dx =⎰-dx 22
x +1(x +1) (x +1) e x e x e x 1x
=⎰-⎰=dx +e d ⎰x +1⎰1+x x +1(x +1) 2e x e x 1=⎰+-⎰x
x +11+x 1+x e x =+C 1+x
(三) 特殊函数积分法
1、有理函数的不定积分
参考教材171页有关有理函数分解定理的说明，比较繁琐，但要掌握。
关键在于将有理函数分解为要求的形式，并会解决分解后的各种函数的积分，其实我们可以将其归结为两种形式：
b
1 dx (其中a, b 为常数，m 为正整数)
b
当m =1时， dx =b ln x −a +C
b b(x−a) −m+1
当m ≠1时， dx =+C
cx +d
2 dx(其中a, b, c, d 为常数，n 为正整数)
对于分子，我们可以将其凑为x 2+ax +b 的导数和某一常数之和，第一部分容 易求得，第二部分利用第一页的递推公式： In= 则In+1
dx
详情请查阅教材173页
1x2n−1=+I n
dx
1
x
易得In可递推至I1= x +a=a arctan a +C 以下几例用于练习有理式的分解和计算： dx
例1：
dx dx dx
例2： ==dx
例3： (教材175页的方法较为简便)
2、三角函数有理式的积分
常用技巧：（1）凑微分 例1： sin m x cosn x dx
若m 和n 都是偶数，利用sin 2x +cos 2x =1将其化为同名函数。 若m 或n 为奇数，则拆开一个凑成微分，然后再化为同名函数，之后再利用（二、）中的递推公式。
cos x 1
例2： dx = d(tanx)
dx
利用已经解得的 的结果
π
补充一点： cosnxdx利用cos x =sin(−x) 和 sinnxdx求得
1tann−1xnn−2
tanxdx= tanx(−1) dx=− tann−2xdx n
这就得到了 tanxdx的递推公式，事实上还可以将其看作 sin m x cosn x dx 的特殊形式，只不过m=-n罢了，当然可以用 sin m x cosn x dx 的求解方法。 (2)倍角公式、积化和差 例： sin5x sin7xdx (3)分项技巧
1sin 2x +cos 2x 11
例1： dx = dx = dx + dx
至此第一项可以继续分项或者利用倍角公式，第二项可以直接套用（二、）中的递推公式或者利用分部积分求解，实际上递推公式也是由分部积分法得到的。
dx 1sin x +α −(x+β)
例2： = dx =
1cos (x+β) cos (x+α)
− dx ，这里利用了三角和公式，
至此可以直接套用基本积分表了。(α≠β)
dx 12sin x +cos x
例3： = + dx
=
2dx 2−d(cosx −sin x) + 4
ππ2
= sec(x−+tan(x−) −arctan(cosx −sin x) +C
（此题较为复杂，大家需要认真看）
2
（4）配凑法 例 I =⎰假设I 1=⎰
c o s x
d x
a c o s x +b s i n x cos x
d x ，
a cos x +b sin x
I 2=⎰
s i n x
d x
a c o s x +b s i n x 则
aI 1+bI 2得到
aI 1+bI 2=⎰d x =x +C 1---------（1）
bI 1-aI 2得到
bI 1-aI 2=⎰
b cos x -a sin x
d x
a cos x +b sin x
1
=⎰d(a cos x +b sin x ) ------（2） a cos x +b sin x =ln |a cos x +b sin x |+C 2
由（1）与（2）解得：
b a I 1=2ln |a cos x +b sin x |+x +C .
a +b 2a 2+b 2
a b
I 2=2ln |a cos x +b sin x |+x +C . 222
a +b a +b
（5）万能公式：(1)令μ=tan 2，则sinx =1+μ cosx=1+μ tanx =
2μ2
dx=(三角函数次数较低时效果较好) x
2μ
1−μ2
μ21
2 令μ=tanx ，则sinx =± cosx=± 注意正负号的判断 dx=例：
1
(三角函数次数较高时效果较好） dx
(用第一种变换)
d μ
= (转化为容易的有理积分)
3、简单无理函数的积分
（1）当被积函数是x 与 (ax+b) (cx+d) 的有理式时，采用变换μ
= ，就可化为有理函数的积分
n
n
例：11+x 1+x = dx ，设t =代换即可 （2）当被积函数是x 与 ax +bx +c 的有理式时，通常先将ax 2+bx +c 配方，再用三角变换化为三角有理式的积分或直接利用积分公式计算。 例：dx
=dx
x +1=tan t 即可
附：另类题目：确定A 和B ，使下式成立
dx A sin x dx
=+B 解：两边同时求导，化简整理可得：Ab +Ba + Aa +Bb cos x =1
Ab +Ba =1从而有：
Aa +Bb =0当a 2≠b 2时，解得A =a −b ，B =a −b 当a 2=b 2时, 无解。
−b
a